程 永 巍

(張家口市華瑞房地產(chǎn)開發(fā)有限責(zé)任公司,河北 張家口 075000)

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基于Mindlin公式的群樁基礎(chǔ)柔度矩陣

程 永 巍

(張家口市華瑞房地產(chǎn)開發(fā)有限責(zé)任公司,河北 張家口 075000)

首先簡要介紹了樁基沉降的分析方法和我國規(guī)范相關(guān)規(guī)定，重點講解了基于彈性理論Mindlin解的Geddes公式計算法.利用Mindlin公式對單樁情況進行了沉降計算，得到了一些結(jié)論，在單樁的基礎(chǔ)上利用Mindlin解對3×3群樁基礎(chǔ)過行了柔度矩陣的求解.利用有限元軟件ANSYS模擬了長徑比對沉降的影響，引出有關(guān)Mindlin解應(yīng)用于沉降計算時存在的一些不足點.

單樁;群樁;沉降;ANSYS;Mindlin解;分層總和法;柔度矩陣

0　引　言

隨著我國建設(shè)規(guī)模的擴大，樁基礎(chǔ)領(lǐng)域發(fā)展迅速，樁基礎(chǔ)在減少建筑物沉降，提高地基承載力方面具有獨特的優(yōu)點和不可替代的作用.盡管樁基礎(chǔ)與天然地基上的淺基礎(chǔ)比較，沉降量可大為減少，但隨著高層、超高層建筑物的增多，使得基底荷載越來越大，對基樁承載力和變形提出了更高的要求，在很多情況下，樁基礎(chǔ)也需要進行沉降計算.

本文首先簡要介紹了樁基沉降的分析方法和我國規(guī)范相關(guān)規(guī)定，重點講解了基于彈性理論Mindlin解的Geddes公式計算法.利用Mindlin公式對單樁情況進行了沉降計算，得到了一些結(jié)論.在單樁的基礎(chǔ)上利用Mindlin解對3×3群樁基礎(chǔ)過行了柔度矩陣的求解.利用有限元軟件ANSYS模擬了長徑比對沉降的影響.最后總結(jié)了有關(guān)Mindlin解應(yīng)用于沉降計算時存在的一些問題.

1　沉降分析方法

1.1單樁的沉降分析方法

目前單樁沉降計算方法主要有下述幾種：荷載傳遞分析法;彈性理論法；剪切變形傳遞法；有限單元分析法；邊界元法；混合法；經(jīng)驗法及其他簡化方法.

其中，荷載傳遞分析法的關(guān)鍵在于求解傳遞函數(shù)，研究人員提出了多種形式的傳遞函數(shù)；剪切變形傳遞法假定當(dāng)荷載水平p/pu較小時，樁在軸向荷載作用下沉降較小，樁土之間不產(chǎn)生相對位移，亦即樁沉降時周圍土體亦隨之產(chǎn)生剪切變形，剪應(yīng)力從樁側(cè)表面沿徑向四周擴散到周圍土體中，摩擦樁一般在工作荷載作用時,樁端承擔(dān)的荷載比例較小，沉降主要是由樁側(cè)傳遞的荷載所引起；彈性理論法是對樁土系統(tǒng)用彈性理論方法來研究單樁在豎向荷載作用下樁土之間的作用力與位移之間的關(guān)系，進而得到樁對土、土對樁、樁對樁以及土對土的共同作用模式.

群樁沉降計算方法主要有：等代墩基法；基于彈性理論Mindlin解的Geddes公式計算法；相互作用因子疊加法；沉降比法；有限單元法；邊界元法；混合法等.

1.2群樁的沉降分析方法

1.2.1實體深基礎(chǔ)(等代墩基)法

實體深基礎(chǔ)法是現(xiàn)在工程界應(yīng)用最廣泛的一種計算群樁沉降的方法.該計算模式是將在樁端以上的一定范圍的承臺、樁及樁周土當(dāng)成實體深基礎(chǔ),在此等代墩基范圍內(nèi),不計從地面到樁端平面間的壓縮變形,然后按照擴展基礎(chǔ)的沉降計算方法來計算群樁的沉降.適用于樁距不超過6d的群樁基礎(chǔ).1.2.2彈性理論法

彈性理論法群樁沉降分析的基本假定與單樁相同,其主要依據(jù)是Mindlin解的位移與應(yīng)力解,以此為基礎(chǔ)形成位移法和應(yīng)力法,此外還發(fā)展了一種簡化彈性理論位移法.

1.2.3我國規(guī)范相關(guān)規(guī)定

在計算建筑物的沉降時,國內(nèi)一般運用Mindlin公式或者Boussinesq解來計算附加應(yīng)力.《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》(GB50007-2002)和上海市標(biāo)準(zhǔn)《地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》(DGJ08-11-1999)中也是采用Mindlin解來確定樁基礎(chǔ)荷載作用下地基土中的附加應(yīng)力,最后采用分層總和法計算最終的沉降量.

2　基于Mindlin公式的群樁沉降計算

明德林解是當(dāng)荷載作用于半無限彈性體內(nèi)部時求彈性體內(nèi)部應(yīng)力場的解答.如圖1，半無限彈性體表面坐標(biāo)原點O下c深度點上作用有豎向力Q時，在彈性體內(nèi)任意點M(x,y,z)處，引起的豎向應(yīng)力，按明德林解，可表示為：

(1)

式中,Ip稱為應(yīng)力影響系數(shù).

圖1地基附加應(yīng)力計算示意圖圖2明德林-蓋得斯單樁荷載的分解

蓋得斯根據(jù)樁的傳遞荷載特點，將作用于單樁頂上的總荷載Q分解為樁端阻力Qp和樁側(cè)阻力Qs，而樁側(cè)阻力Qs又可分為均勻分布的總摩阻力Qs1和隨深度線性增加的總摩阻力Qs2所組成，如圖2所示.

Qp=αQ,Qs1=βQ,Qs2=(1-α-β)Q

(2)

其中,α為端阻力占總荷載的比例，β為均布摩阻力占總荷載的比例.系數(shù)α，β應(yīng)根據(jù)當(dāng)?shù)毓こ痰膶崪y資料統(tǒng)計確定.對于一般摩擦樁可假設(shè)樁側(cè)阻力全部是沿樁身線性增長，即β=0.

蓋得斯又根據(jù)明德林解，推導(dǎo)出,和在地基土中產(chǎn)生的附加應(yīng)力計算公式.應(yīng)用這些公式就能計算各類樁在地基中產(chǎn)生的附加應(yīng)力，進而計算出樁基的沉降.這種方法稱為明德林-蓋得斯法，簡稱明德林法.

這樣每根摩擦樁在地基中某點的豎向附加應(yīng)力為該樁的樁端荷載及樁側(cè)荷載產(chǎn)生的豎向附加應(yīng)力和之和.對于有m根樁的情況，再將每根樁在該點所產(chǎn)生的附加應(yīng)力逐根疊加，按下式計算：

(3)

式中,Pi為第i層土中點處產(chǎn)生的附加應(yīng)力.

σzp、k為第k根樁的樁端荷載在第i層中點處產(chǎn)生的附加應(yīng)力：

(4)

如果假設(shè)β=0，則第k根樁的樁側(cè)荷載在該點產(chǎn)生的豎向附加應(yīng)力：

(5)

IP為樁底集中力的應(yīng)力影響系數(shù)，經(jīng)積分得出：

(6)

Is2為樁側(cè)分布荷載沿樁身線性增長時的應(yīng)力影響系數(shù)，經(jīng)積分得出：

(7)

其中,A2=n2+(m-1)2;B2=n2+(m-1)2;F2=n2+m2;n=r/l;m=z/l

然后，仍然按單向壓縮的分層總和法計算沉降.

(8)

式中,s為樁基最終沉降量,mm；n計算分層數(shù)；Esi第i層土在自重應(yīng)力至自重應(yīng)力加上附加應(yīng)力作用段的壓縮模量,MPa;pi樁端平面下第i分層土的豎向附加應(yīng)力平均值;ΨP樁基沉降計算經(jīng)驗系數(shù).

3　壓縮層厚度確定方法

現(xiàn)行規(guī)范中確定壓縮層厚度的方法主要由基礎(chǔ)寬度比法、應(yīng)力比法及變形比法3種.

3.1基礎(chǔ)寬度比法

《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》中給出當(dāng)無相鄰荷載影響、基礎(chǔ)寬度b在1-30 m范圍內(nèi)時，基礎(chǔ)中點地基變形計算深度Zn的簡化計算公式:

(9)

式中,δSi′為在計算深度范圍內(nèi),第i層土的計算變形值;δSni′為計算層深度范圍內(nèi)總的變形值;δSn′為在由計算深度向上取厚度為δz的土層計算變形值，δz根據(jù)基礎(chǔ)寬度確定.

基礎(chǔ)寬度法十分簡單，易于確定，并且總結(jié)了相關(guān)經(jīng)驗數(shù)據(jù)，應(yīng)該算是一種經(jīng)驗的估計，使用很方便，在本次計算中將采用基礎(chǔ)寬度法.應(yīng)力比法沿用至今具有相當(dāng)?shù)慕?jīng)驗，確定計算深度相對簡單，但它沒有考慮到土層的構(gòu)造與性質(zhì)，過于強調(diào)荷載對壓縮層深度的影響，同時由于樁長的增加導(dǎo)致樁端位置處的土體自重應(yīng)力值很大，即樁端平面處附加應(yīng)力的計算值要小于自重應(yīng)力值的20%，有時甚至要小于自重應(yīng)力值的10%，這種情況下算不出樁端下的壓縮沉降，這顯然是不合理的;而變形比法直接考慮了樁端以下土體隨深度增加，壓縮變形量的變化對樁基最終沉降量的影響，但由于沒有考慮荷載對壓縮層厚的影響，計算厚度需要對沉降量的計算才能確定，同時該方法另一缺陷是壓縮層厚度的確定與樁端位置平面處的附加應(yīng)力無關(guān)，即如果地層條件確定，無論上部荷載多大壓縮層厚度是不變的，這顯然不合理.

4　基于Mindlin公式的群樁基礎(chǔ)的柔度矩陣求解

4.1單樁試算

4.1.1基本工況

如圖3所示，取單層土，土層厚度h=20 m，樁徑d=500 mm，樁長l=15 m，土的壓縮模量Es=0.4 Mpa,土的泊松比u=0.3，樁基沉降計算經(jīng)驗系數(shù)Ψp=0.5端阻力占總荷載的比例α=0.15，樁側(cè)阻力占總荷載的比例β=0，樁頂?shù)呢Q向載荷Q=1 N，計算點深度Z=25 m.

4.1.2附加應(yīng)力的計算

M點的豎向附加應(yīng)力為該樁的樁端荷載Qp及樁側(cè)荷載Qs產(chǎn)生的豎向附加應(yīng)力σzp和σzs之和.

P=σzp+σzs

(10)

圖3　單樁沉降計算示意圖

(1)樁端荷載在M點處產(chǎn)生的附加應(yīng)力可得：

其中，

F2=n2+m2=1.6672,A2=n2+(m-1)2=0.444,

B2=n2+(m+1)2=7.111

代入已知條件得：

Ip=0.49(C程序結(jié)果：Ip=0.492735)

(2)樁側(cè)荷載在M點處產(chǎn)生的附加應(yīng)力：

同理代入已知條件得：

Is2=0.298(C程序結(jié)果：Ip=0.297816)

P=σzp+σzs=13.212×10-4N/m2

4.1.3壓縮沉降

附加應(yīng)力p得到后后，按單向壓縮的分層總和法計算沉降，此算例中只考慮了一層土.

4.1.4考慮分層厚度的變化

為探討分層厚度對沉降量的影響，在20 m的土層厚度范圍內(nèi)考慮分層，分層厚度分別采用10 m，4 m，2 m，即考慮分為2層、4層、和10層這三種情況，見表1.利用Mindlin公式按照上述沉降計算的步驟可求各沉降量.

表1　不同分層厚度沉降計算

4.1.5小結(jié)

(1)Geddes應(yīng)力公式是將樁端壓應(yīng)力簡化為作用于樁端的集中力，將樁側(cè)剪應(yīng)力簡化為沿樁身軸線分布的集中力，據(jù)此求得樁端平面以下任一點的豎向應(yīng)力系數(shù).在計算過程中沒有體現(xiàn)樁徑d的影響，但實際情況中顯然樁徑對沉降是有影響的.

(2)由于樁軸線處(x=0,y=0)會引起n=0，在計算樁側(cè)分布荷載沿樁身線性增長時的應(yīng)力影響系數(shù)Is2時，n出現(xiàn)在分母上，利用公式計算會出現(xiàn)奇異點，為避免這一現(xiàn)象，本算例中取x=0.25，y=0處的應(yīng)力作為軸線上的應(yīng)力.

(3)手算樁底集中力的應(yīng)力影響系數(shù)和樁側(cè)分布荷載沿樁身線性增長時的應(yīng)力影響系數(shù)的過程簡單但繁瑣，所以在手算的基礎(chǔ)上利用C語言編寫了計算應(yīng)力影響系數(shù)的程序.將C程序計算結(jié)果對比手算結(jié)果對比，結(jié)果一致，說明程序編寫的正確性.因此，在之后的算例中，為避免重復(fù)簡單而又繁瑣的計算勞動量，都采用C程序來計算應(yīng)力影響系數(shù).

(4)用Mindlin公式計算樁基沉降時，規(guī)范都推薦使用分層總和法,但對土層計算分層厚度的劃分,規(guī)范并沒有給出明確的規(guī)定.本次計算中取了三個不同的分層厚度得到了三個沉降量.

4.23×3群樁柔度矩陣求解算例

4.2.1基本工況

如圖4所示，3×3群樁樁的間距Sa=2 m，其他條件同單樁情況.

圖4　群樁沉降計算示意圖

4.2.2柔度矩陣的求解

柔度矩陣中表示作用于j點的單位力在i點引起的位移.

對于3×3群樁基礎(chǔ)，其柔度矩陣為9×9，如下：

樁之間的相互作用體現(xiàn)在其相對位置的不同，對于3×3群樁基礎(chǔ)相對坐標(biāo)存在六種情況.

表2　群樁沉降計算

續(xù)表：

相對坐標(biāo)(m)|ΔX|=4 |ΔY|=0|ΔX|=4 |ΔY|=2|ΔX|=4 |ΔY|=4Ip(i,j)0.36160.33750.2793Is2(i,j)0.25150.21660.2165沉降量(mm)29.7826.0725.10

得柔度矩陣為：

4.2.3群樁的沉降計算

群樁的沉降計算時，可充分利用其對稱性.

(1)1號樁，3號樁，7號樁，9號樁

(2)2號樁，4號樁，6號樁，8號樁

∑P=11.68×10-3

(3)5號樁

∑P=12.47×10-3

5　單樁的有限元模擬

單樁是群樁分析的基礎(chǔ)，可利用ANSYS對單樁中的附加應(yīng)力分布進行研究.在手算的基礎(chǔ)上，通過有限元模擬不同L/d時樁軸心處樁端下地基土中的沉降.

5.1模型參數(shù)

在均勻單一土層中，參數(shù)的選取與前一節(jié)中單樁試算中基本一致.

樁為線彈性材料：樁長l=15 m，樁的彈性模量E=25 Mpa,樁的泊松比為0.2，密度為2500 Kg/m3，樁的長徑比L/d是變化的；土體為D-P模型材料：土的壓縮模量Es=0.4 Mpa,土的泊松比u=0.3，密度為2000 Kg/m3，粘聚力c=19,摩擦角為32度，膨脹角為30度.

理論上，地基在半空間上是無限延伸的，用有限元來模擬具有一定的局限性.但是，實際上地基中的應(yīng)力影響范圍總是有限的，而且只要邊界取得較大，單元劃分得較為合理，用有限元近似分析的精度是可以接受的.樁身左右取10倍樁徑(5 m)及樁端以下土體分別取20倍樁徑(10 m).

5.2單元的選取

樁身和土體都采用六面體8節(jié)點單元solid45實體單元，每個節(jié)點具有X、Y、Z三個方向的自由度.具有塑性、膨脹、流變、應(yīng)力強化、大變形和大應(yīng)變的能力.

接觸問題一般分為兩類：剛體-柔體的接觸、半柔體-柔體的接觸.ANSYS支持3種接觸方式：點-點、點-面、面-面.本次模擬采用的是剛體-柔體、面-面的接觸.剛性面被當(dāng)作目標(biāo)面，分別用Target169和Target170來模擬2-D和3-D的目標(biāo)面，柔性體的表面被當(dāng)作接觸面，用Contact171、Contact172、Contact173和Contact174來模擬.

5.3邊界條件

位移邊界條件：對土體左右兩側(cè)邊界分別約束其水平位移,對土體底部邊界同時施加水平和豎向約束.

接觸條件：由于樁相對于土來說，彈性模量大得多，所以樁上的面為剛性目標(biāo)面選用Target170，目標(biāo)面對應(yīng)的土體表面為接觸面選用Contact173.

力邊界條件：樁頂作用1N集中力.

5.4單樁沉降分析

樁的直徑取500 mm時，長徑比L/d=30.圖5給出了單樁有限元分析時的網(wǎng)格劃分示意圖；圖6給出了樁與樁周土及樁底與土接觸時設(shè)置的接觸面；圖7給出了Z方向位移云圖.

圖5單樁及樁土有限元模型圖6樁與土的接觸面設(shè)置

圖7Z方向位移云圖圖8不同L/d時單樁的沉降

變化長徑比L/d，使其取比值為30，15，10三種情況，取樁端下2 m、4 m、6 m、8 m、10 m處的位移作比較，如圖8的所示.

可以看出，沿著深度方向沉降衰減很快，隨著L/d的減小樁端下同一深度處的沉降量隨之增大.因此，樁的長徑比L/d是影響群樁基礎(chǔ)受力特性的又一重要因素，但mindlin解中無法體現(xiàn)d的影響.

6　結(jié)　論

本文通過基于Mindlin解的單樁沉降計算和群樁沉降計算，可以得到有關(guān)Mindlin解應(yīng)用于沉降計算時存在的一些問題.

(1)Geddes應(yīng)力公式是將樁端壓應(yīng)力簡化為作用于樁端的集中力，將樁側(cè)剪應(yīng)力簡化為沿樁身軸線分布的集中力，據(jù)此求得樁端平面以下任一點的豎向應(yīng)力.計算結(jié)果會在樁端附近產(chǎn)生較大的應(yīng)力集中現(xiàn)象,導(dǎo)致樁端計算厚度范圍內(nèi)應(yīng)力大大超過土的強度,使計算失真,沉降偏大.

(2)由于樁軸線處(n=0)，豎向應(yīng)力按Mindlin公式計算應(yīng)力影響系數(shù)時會出現(xiàn)奇異點.

(3)Geddes應(yīng)力疊加分層總和法對于大樁群手算很繁瑣，可采用數(shù)值方法計算.本文采用C語言編制了計算應(yīng)力影響系數(shù)的程序.

(4)用Mindlin公式計算樁基沉降時，規(guī)范都推薦使用分層總和法，但對土層計算分層厚度的劃分，規(guī)范并沒有給出明確的規(guī)定.從理論上來說，土層厚度劃得越細，結(jié)果應(yīng)該越精確，但計算機時就將增大，如果劃得粗,沉降值就會變小，這樣，不同的計算分層厚度會對最終沉降產(chǎn)生影響.本次計算中取了三個不同的分層厚度得到了三個沉降量.

(5)Mindlin計算過程中沒有體現(xiàn)樁徑d的影響，也未考慮樁身的彈性壓縮.利用有限元軟件模擬單樁沉降時，對于不同長徑比L/d，樁端以下沉降不同.這說明樁的長徑比L/d是影響群樁基礎(chǔ)受力特性的又一重要因素，但mindlin解中無法體現(xiàn)d的影響.

(6)Mindiin方法計算樁基應(yīng)力的合理性被越來越多的學(xué)者所接受并采用，該法有一個突出特點，就是不同樁距、不規(guī)則布樁、端阻比、側(cè)阻分布模式、樁長度不一等因素均可在計算中如實反映，而Boussinesq應(yīng)力計算方法則無法考慮這些因素.

[1]秋仁東.豎向荷載下樁身壓縮和樁基沉降變形研究[博士學(xué)位論文].中國建筑科學(xué)研究院,2011

[2]徐志英.以明特林(Mindlin)公式為根據(jù)的地基中垂直應(yīng)力的計算公式[J].土木工程學(xué)報,1957,4(4):485～497

[3]吳家龍.彈性力學(xué)[M].上海:同濟大學(xué)出版社,1996

[4]周景星,李廣信,虞石民,王洪瑾.基礎(chǔ)工程[M].北京:清華大學(xué)出版社,2007

[5]建筑樁基技術(shù)規(guī)范(JGJ94-2008).北京:中國建筑工業(yè)出版社,2008

[6]建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范(GB50007-2011).北京:中國建筑工業(yè)出版社，2012

[7]地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范(DGJ08-11-1999).上海:上海市工程建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化辦公室,1999

[8]樁基工程手冊.北京.中國建筑工業(yè)出版社,1995

[9]ANSYS土木工程應(yīng)用實例.中國水利水電出版社,2010

Flexibility Matrix of Group Piles Foundation based on Mindlin Solution

CHENG Yong-wei

(Zhangjiakou Huarui Real Estate Development Co.,Ltd，Zhangjiakou 075000,China)

Firstly,this paper briefly introduces the analyzing methods for pile settlement and some relevant provisions in our standard,and mainly explains Geddes formula based on Mindlin solution of elastic theory as well.Using Mindlin formula, we carried out the settlement calculated for single pile and got some conclusions.On the basis of single pile,the flexibility matrix for a 3×3 group piles foundation is solved.Then,finite element software ANSYS is used to simulate the effect of aspect ratio on the deposition.Finally,combining all the results,we summarized some shortcomings of the Mindlin solution used in settlement calculations.

single pile;group piles foundation;settlement;ANSYS;Mindlin solution;layerwise summation method;flexibility matrix

2015-11-20

程永巍(1987-)，男，助理工程師，主要從事項目前期手續(xù)辦理工作.

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