沈小正， 王 彪

(1.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212003;2.江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

基于壓縮感知理論的聲矢量陣方位估計(jì)方法*

沈小正1， 王 彪2

(1.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212003;2.江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

水下目標(biāo)在方位估計(jì)搜索空間中具有稀疏性，基于聲矢量傳感器陣空間稀疏模型實(shí)現(xiàn)小樣本條件下的方位估計(jì)，結(jié)合壓縮感知(CS)理論框架下方位估計(jì)的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)平滑l0范數(shù)快速精確的求解來(lái)估計(jì)目標(biāo)方位角,該方法具有運(yùn)算速度快、高分辨的特點(diǎn)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真從運(yùn)算時(shí)間、分辨力等方面與常規(guī)波束形成(CBF)算法和最小方差無(wú)失真響應(yīng)(MVDR)算法進(jìn)行比較分析，驗(yàn)證了該方法的可行性與有效性。

壓縮感知； 聲矢量傳感器陣； 方位估計(jì)； 平滑l0范數(shù)

0 引 言

矢量水聽(tīng)器技術(shù)是一種探測(cè)水中聲能流方向與強(qiáng)度的新技術(shù)，矢量水聽(tīng)器不僅具有與頻率無(wú)關(guān)的偶極子指向性[1,2]，適用于低頻信號(hào)的檢測(cè)和測(cè)量，與由聲壓水聽(tīng)器組成的陣列相比，在達(dá)到相同的技術(shù)指標(biāo)的前提下，其體積和重量均小得多。矢量水聽(tīng)器可以同時(shí)接收聲壓和振速信息，拓展了后置信號(hào)處理空間，聲矢量陣的方位譜估計(jì)性能優(yōu)于聲壓陣。

聲矢量陣方位估計(jì)方法方面取得了很多研究成果，包括ML方法[3]、CAPON算法[4]、ESPRIT算法[5]、MMUSIC[6]，這些的方位估計(jì)方法可以分為以下兩類(lèi)：波束掃描類(lèi)算法、子空間類(lèi)算法[7]。文獻(xiàn)[8]全面地分析了ESPRIT算法幾種處理方式的內(nèi)在機(jī)理，并提出一種角度融合的方法有效提高了方位估計(jì)的性能，降低了隨著角度變化算法所帶來(lái)波動(dòng)誤差。但是ESPRIT方法需要對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行奇異值分解或者對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，計(jì)算復(fù)雜度比較高，一旦接收陣元的數(shù)量較大，對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理的計(jì)算量也大大增加。文獻(xiàn)[9]提出MI-MUCIS算法下的聲矢量傳感器陣的方位角(DOA)估計(jì)，該算法充分利用了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)不變性，且DOA估計(jì)應(yīng)用了簡(jiǎn)單的一維搜索，在一定程度上減少了運(yùn)算量，提高了穩(wěn)健性，但在小快拍數(shù)或低信噪比條件下，算法的穩(wěn)健性和估計(jì)精度不夠，當(dāng)信源數(shù)估計(jì)存在誤差時(shí)，算法性能有一定下降。稀疏信號(hào)分解類(lèi)算法不同于以上算法，通過(guò)為信號(hào)空間提供簡(jiǎn)潔、離散、自適應(yīng)的表達(dá)形式，將信號(hào)分布在有限的掃描位置上，很好降低了信號(hào)的處理成本。文獻(xiàn)[10]將稀疏分解理論運(yùn)用在聲矢量陣上進(jìn)行方位估計(jì)，通過(guò)構(gòu)造出與陣列流行對(duì)應(yīng)的過(guò)完備原子庫(kù)來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，采用正交匹配追蹤的方法實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的方位估計(jì)。雖然,OMP算法相對(duì)于MP算法計(jì)算速度有所提高，但OMP算法屬于貪婪迭代類(lèi)算法，算法的收斂速度較慢。

本文提出一種基于壓縮感知理論的聲矢量陣方位估計(jì)方法，利用特定矩陣將稀疏信號(hào)投影到一個(gè)低維的空間上，并根據(jù)信號(hào)的稀疏先驗(yàn)條件，通過(guò)對(duì)平滑l0范數(shù)快速精確的求解來(lái)估計(jì)目標(biāo)方位角。仿真結(jié)果表明：該方法相對(duì)于傳統(tǒng)的方位估計(jì)算法提高方位估計(jì)的精確性，得到更加尖銳的指向性波束、更低的旁瓣，實(shí)現(xiàn)了全方位的方位估計(jì)。

1 基于壓縮感知的聲矢量陣方位估計(jì)模型

建立基于空間稀疏表示的聲矢量陣方位估計(jì)模型，假設(shè)有L個(gè)遠(yuǎn)程水聲目標(biāo)，接收陣列為含有M個(gè)矢量傳感器陣元的均勻線陣，用矩陣形式表示陣元的輸出為

Y=A(θ)S+N

(1)

為了保證信號(hào)方位估計(jì)的精度，需要多次采樣快拍，快拍數(shù)為W,即

Yw=A(θ)Sw+Nw,w=1,…，W

(2)

將整個(gè)水聲目標(biāo)空間劃分為K個(gè)空間位置，且K>L，則為用戶(hù)定義的K個(gè)采樣角度范圍可以表示為θ～k=[θ～1,θ～2,…，θ～K],k=1,…,K。此時(shí)構(gòu)造掃描矩陣為

Φ=[a(θ～1),a(θ～2),…,a(θ～K)],

a(θ～k)=a(θk)?u(θk)

(3)

水聲目標(biāo)信號(hào)的方位角被包含在這K個(gè)角度中。此時(shí)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稀疏信號(hào)S～ ∈RK×1的重構(gòu)與恢復(fù)問(wèn)題。在K個(gè)稀疏空間上陣列輸出可以表示為

Yw=Φ S～w+Nw

(4)

式中 S～w為K×L的矢量，S～w中只有少數(shù)L個(gè)元素不為零，其余均為零，且每一個(gè)不為零的元素都對(duì)應(yīng)一個(gè)目標(biāo)，每一個(gè)不為零元素的位置都對(duì)應(yīng)一個(gè)目標(biāo)的方位角度。

根據(jù)壓縮傳感理論，構(gòu)造一個(gè)N×3M的高斯隨機(jī)矩陣B作為投影測(cè)量矩陣，則壓縮傳感的方位估計(jì)模型為

X=BYw=B Φ S～w+BNw

(5)

模型模型變?yōu)槿缦?/p>

(6)

2 平滑l0范數(shù)的基本原理

對(duì)于上文所述式(5)的求解問(wèn)題，可以通過(guò)求解如下的最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)解決

argmin‖S～w‖0,s.t.X=B Φ S～w+BNw

(7)

式中 ‖S～w‖0為求S～w的l0范數(shù)，其值為稀疏矢量S～w中非零元素個(gè)數(shù)，表示稀疏矢量S～w的稀疏度。

平滑l0范數(shù)法用連續(xù)的高斯函數(shù)來(lái)逼近高度不連續(xù)的l0范數(shù)，這種方法避免了應(yīng)用梯度法求解式(7)時(shí)不連續(xù)函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。其中,該高斯函數(shù)可以定義[11]

(8)

式中Sw=[S1S2…SN]T列矢量中的一個(gè)元素，w∈[1N]。所以,由式(8)可知當(dāng)σ→0時(shí)，函數(shù)fσ(Sw)的取值取決于Sw矢量的值，并且分別逼近于某一個(gè)值，即

(9)

即，隨著σ→0，當(dāng)Sw=0時(shí)函數(shù)fσ(Sw)逼近值1；當(dāng)Sw≠0函數(shù)fσ(Sw)逼近值0。同時(shí)式(9)也可以改寫(xiě)為

(10)

由l0范數(shù)原理可知，此時(shí)當(dāng)σ→0時(shí)，1-fσ(Sw)的函數(shù)值是對(duì)l0范數(shù)的一個(gè)凹逼近，并且函數(shù)值隨著σ值的減小變得更為陡峭，對(duì)l0范數(shù)凹逼近的效果也就越好，當(dāng)σ很小時(shí)(如σ=0.01) ，函數(shù)值接近l0范數(shù)。此時(shí),如果定義如下函數(shù)

(11)

根據(jù)式(10)可知，當(dāng)σ→0時(shí)，有‖S‖0≈N-Fσ(S)近似成立。此時(shí)式(5)所述信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題可以改寫(xiě)為

min{N-Fσ(S)},s.t.X=BΦS～w+BNw

(12)

這樣,最小化l0范數(shù)問(wèn)題就等價(jià)于當(dāng)σ充分小時(shí)的最大化Fσ(S)問(wèn)題。

由式(10)可知：當(dāng)σ較小時(shí)，函數(shù)1-fσ(Sw)是對(duì)l0范數(shù)的一個(gè)凹逼近，其值隨著Sw的改變而變化較大，會(huì)出現(xiàn)較多的局部極小值，不易進(jìn)行優(yōu)化；當(dāng)σ較大時(shí)，函數(shù)1-fσ(Sw)值變化較小，易于進(jìn)行優(yōu)化，但是此時(shí)函數(shù)1-fσ(Sw)卻不是對(duì)l0范數(shù)的一個(gè)較好的凹逼近。因此，為避免最優(yōu)化‖S‖0過(guò)程中N-Fσ(S)陷入局部極小值，采取逐步減小σ的方法，對(duì)每個(gè)σ值，利用最速上升法求Fσ(S)的最大值，并將該d值作為下一次迭代的初值,這樣就能夠避免N-Fσ(S)陷入局部極小值，從而得到最優(yōu)解。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)假定陣列為均勻線型陣列，陣元個(gè)數(shù)M=10，陣元間隔d=λ/2，信號(hào)頻率為1 500 BZ。投影矩陣Φ為N×3M的隨機(jī)高斯矩陣，且壓縮數(shù)N=20。目標(biāo)空間離散數(shù)K=361，目標(biāo)數(shù)J=2，水聲目標(biāo)的真實(shí)方位角為[-10° 10°]。加入的噪聲為均值為0的高斯白噪聲，信噪比SNR=15 dB，快拍次數(shù)n=100。

3.1 壓縮感知聲矢量陣方位估計(jì)

在所述實(shí)驗(yàn)條件下用本文所提方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。從圖中可以看出，所提方法能夠準(zhǔn)確地估計(jì)出目標(biāo)的DOA，因此,本文所提方法實(shí)現(xiàn)水聲目標(biāo)的DOA估計(jì)是可行的。

圖1 本文方法實(shí)現(xiàn)水聲目標(biāo)方位估計(jì)Fig 1 DOA estimation result by algorithm of this paper

3.2 各算法角度分辨能力比較分析

將實(shí)驗(yàn)待估計(jì)的目標(biāo)方向角度設(shè)為DOA=[-1°1°]，其他參數(shù)不變，結(jié)果如圖2。由圖2分析可以清晰的看出：當(dāng)待估計(jì)的角度非常較近時(shí)，最小方差無(wú)失真響應(yīng)(MVDR)方法和常規(guī)波束形成(CBF)方法基本失效，已不能分辨兩個(gè)角度。但本文所提算法依然能準(zhǔn)確地分辨出兩個(gè)目標(biāo)，且具有很尖銳的峰值較低的旁瓣，與傳統(tǒng)方法相比，本文所提方法具有較高的分辨率。

圖2 DOA=[-1° 1°]時(shí)三種算法分辨率比較Fig 2 Comparison of three algorithms with DOAs of -1° and 1°

3.3 各算法運(yùn)算耗時(shí)比較分析

在所述實(shí)驗(yàn)條件下CBF,MVDR和本文方法三種算法實(shí)現(xiàn)方位估計(jì)所用的時(shí)間，分別為0.213 7，0.225 9,0.262 7s?？梢钥闯觯核岱椒▽?shí)現(xiàn)DOA估計(jì)所用的時(shí)間與其他兩種方法比較接近，在耗時(shí)接近的條件下提高了分辨率。

3.4 不同輸入SNR下各算法誤差分析

將信噪比SNR設(shè)置為[10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10](dB)，其他參數(shù)保持不變。

從圖3可以看出：在SNR較小時(shí)(小于4dB)，CBF算法估計(jì)均方根誤差大于MVDR算法估計(jì)均方根誤差，而本文所提的算法在SNR≥-2dB時(shí)，均方根誤差值就已經(jīng)為0，SNR<4dB時(shí)性能也同樣優(yōu)于MVDR算法和CBF算法。

圖3 不同信噪比下DOA估計(jì)均方根誤差Fig 3 RMSE of DOA estimation with different SNR

4 結(jié) 論

通過(guò)與傳統(tǒng)CBF和MVDR算法的比較實(shí)驗(yàn)證明:本文方法精度高，且具有較高的空間分辨率，在低信噪比小樣本下仍然具有較好的估計(jì)性能，實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)空間全方位搜索。

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Direction of arrival estimation method for acoustic vector sensor array based on compressed sensing theories*

SHEN Xiao-zheng1, WANG Biao2

(1.School of Naval Architecture and Ocean Engineering,Jiangsu University of Science and Technology,Zhenjiang 212003,China;2.School of Electronic and Information,Jiangsu University of Science and Technology,Zhenjiang 212003,China)

According to sparsity of direction of arrival of underwater target in its search space，direction of arrival estimation based on acoustic vector sensor array is realized using special sparse model in small samples case.Estimate the DOA by Smoothl0Norm,combined with characteristics of compressed sensing(CS) theory,and this method has features of fast operating speed and high resolution.Simulation results verify the feasibility and effectiveness of the proposed algorithm by comparing with conventional beamforming(CBF)and minimum variance distortionless response(MVDR)algorithms through operation time,recolution and so on.

compressed sensing(CS); acoustic vector sensor array; ditection of arrival estimation; smoothl0Norm

10.13873/J.1000—9787(2016)07—0035—03

2015—10—16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11204109，11574120)； 江蘇省高校自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(12KJB510003，13KJB510007)

TB 566

A

1000—9787(2016)07—0035—03

沈小正(1990-),男 ，江蘇東臺(tái)人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槁暿噶總鞲衅麝嚵行盘?hào)處理。