宋成學

新疆生產建設兵團第六師教育局教研室

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探究《解直角三角形的應用》講解方法

宋成學

新疆生產建設兵團第六師教育局教研室

利用解直角三角形來解決實際問題在新疆初中學業(yè)水平考試中的出題頻率很高，分值也較大，因此，解直角三角形可以說是初中階段的考察的一個重要的內容。對于學生來說，這是必須讓學生掌握的。而對于老師來說如何對本知識點進行講解，是值得進行研究的。解直角三角形的重點是讓學生學會數(shù)學思想。數(shù)學思想是解決數(shù)學問題的靈魂，在初中數(shù)學中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，需要我們去挖掘并應用于解題過程。本節(jié)所用的數(shù)學思想有：分類思想、方程思想和轉換思想。分類思想，就是當被解決的問題包含兩種或兩種以上的可能情況時，則需要按不同的情況分類來解決的一種思想方法；方程思想是一種重要的解題思想方法，在解決與直角三角形和相似三角形有關計算問題，往往從問題中構造方程，通過解方程解決問題；轉化思想是數(shù)學問題的一種重要的思想方法，轉化思想把未知的轉化為已知的、把抽象的轉化為具體的、把一般轉化為特殊等等，都是轉化思想的重要體現(xiàn)。

《解直角三角形的應用》一節(jié)共需兩個課時，但如何利用這兩個課時讓學生很好的掌握本節(jié)知識，這需要教師對本節(jié)課進行典型事例匯總，總結出本節(jié)在中考中?？碱}型的演變和典型圖形。對于解直角三角形的考題而言，大多都是雙直角三角形的習題，雙直角三角形是指一條直角邊重合，另一條直角邊共線的兩個直角三角形。解這類問題的基本思路是：運用“遇斜化直”的數(shù)學思想，即通過作輔助線（斜三角形的高線）把它轉化成為雙直角三角形問題，然后根據已知條件與未知元素之間的關系，利用解直角三角形的知識來求解下面就如何對本節(jié)知識點進行整合談談自己的觀點。

一、第一類典型例題分析

人教版九年級數(shù)學下冊第28.2.2應用舉例中共給出了兩個例題，其中比較重要的是第二個例題：

例題：熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高？

本題考察的是題中有兩個直角三角形時的分析方法，這類題型的掌握對學生后期的學習和訓練提供的很多幫助，因為，很多情景和題型都是有本題演變而來。

例如：第76頁的例5：如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠？（結果取整數(shù)）

如果教師在講解中把第一個例題講解透徹，作為典型圖例模型，讓學生理解分析這種圖例的結題方法，那么，76頁的例5，學生就會自己輕松的解決，因此，我們在教學中，總結第一個解直角三角形的應用典型圖例模型一：

本模型有兩種設問方式：（1）已知AB和兩個角，求BD；（2）已知AC和兩個角，求BD。

二，第二類典型例題分析

通過例題來總結圖例模型是一種對教材整合的方法，但除了例題，教材中的練習題我們也不能忽視。例如，教材第76頁的練習1：

如圖，建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為50°，觀察底部B的仰角為45°，求旗桿的高度。

這一試題的圖例特征也是我們在試卷中經常見到的一種，它的情景不僅僅是在測量建筑物的高度上，在航海航空方面的習題中也是經常見到的，例如課本教材第77頁的練習第一題：海中有一個小島A，它的周圍8海里范圍內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？

這個圖例的設問情景有很多，再比如測量類的：某中學九（2）班數(shù)學活動小組利用周日開展課外實踐活動，他們要在湖面上測量建在地面上某塔AB的高度.如圖3，在湖面上點C測得塔頂A的仰角為45°，沿直線CD向塔AB方向前進18米到達點D，測得塔頂A的仰角為60°.已知湖面低于地平面1米，請你幫他們計算出塔AB的高度（結果保留根號）。

這類試題的分析也主要是圍繞解兩個直角三角形來進行的，但在解直角三角形的過程中運用了方程的思想，比如最后一題的解題方法為：延長CD交AB的延長線于E，則AE⊥CE。

設AB=x，在Rt△ADE中，因為AE=x+1，∠AED=60°，

在Rt△ACE中，因為∠C=45°，所以CE=AE=x+1，

通過設塔構造方程解決問題，使問題易于理解.同時本題也體現(xiàn)了一種建模思想.因此，我們可以把這類試題圖例作為第二個典型模型進行講解。

通過這兩個典型圖例模型的講解，可以比較系統(tǒng)的讓學生掌握利用解直角三角形來解決實際問題的方法。遇到類似的問題，可以引導學生巧妙的作出輔助線，將問題轉化成這兩個典型圖例模型，從而，達到學生自己解決問題的目的，也體現(xiàn)了數(shù)學建模中將未知問題轉化成已知問題的基本思想。