丁虎平
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切換思維和方法,靈活突圍
丁虎平
在近幾年中考命題中,“統(tǒng)計與概率”涉及的問題背景不斷翻新,命題者用智慧設計出一道道亮麗的風景,因此我們的思維也要緊緊跟上.
在求平均數(shù)和方差時,如果數(shù)據(jù)較大,計算會很繁瑣,我們可以設法將較大的數(shù)化為較小的數(shù),簡化運算.
1.巧用零頭,計算平均數(shù)
例1(2015·溫州)某公司需招聘一名員工,對應聘者甲、乙、丙從筆試、面試、體能三個方面進行量化考核,甲、乙、丙各項得分如下表:
筆試 面試 體能甲83 79 90 乙85 80 75 丙80 90 73
(1)根據(jù)三項得分的平均分,從高到低確定三名應聘者的排名順序;
(2)該公司規(guī)定:筆試、面試、體能得分分別不得低于80分、80分、70分,并按60%,30%,10%的比例計入總分,根據(jù)規(guī)定,請你說明誰被錄用.
【巧思妙解】(1)選80分作為“基準”,分別計算各項成績與80的差,得到每一項成績的“零頭”,計算這些“零頭”的平均數(shù)再加上80即可.
∴84>81>80,
∴排名順序為甲、丙、乙.
(2)將第(1)小題中得到的“零頭”利用加權平均數(shù)的計算公式進行計算,再加上80即可.
由題意可知,甲不符合規(guī)定.
∴82.5>82.3,
∴錄用乙.
【解法說明】這種解法利用了平均數(shù)的性質(zhì):若一組數(shù)據(jù)“x1,x2,x3,…,xn”的平均數(shù)為,則另一組數(shù)據(jù)“x1+m,x2+m,x3+m,…,xn+m”的平均數(shù)為+m.用這個性質(zhì)在求算術平均數(shù)和加權平均數(shù)時可以化大為小,化繁為簡,事半功倍.
2.巧用零頭,計算方差
例2(2015·鎮(zhèn)江)某商場統(tǒng)計了2015 年1~5月A、B兩種品牌的冰箱的銷售情況,并將獲得的數(shù)據(jù)繪制成折線.
(1)分別求該商場這段時間內(nèi)A、B兩種品牌冰箱月銷售量的中位數(shù)和方差;
(2)根據(jù)計算結(jié)果,比較該商場1~5月這兩種品牌冰箱月銷售量的穩(wěn)定性.
【常規(guī)思路】(1)從圖中讀取數(shù)據(jù),然后排序求出中位數(shù),直接利用方差的計算公式計算方差;
(2)根據(jù)方差的大小判斷穩(wěn)定性.
【巧思妙解】選取一個數(shù)據(jù)作為基準,用每一個數(shù)據(jù)減去這個基準,然后再利用方差的計算公式進行計算.
(1)由圖可知:A種品牌1~5月的銷量分別為:15,17,16,13,14,按照從小到大的順序排列得到:13,14,15,16,17;B種品牌1~5月的銷量分別為:10,14,15,16,20,
∴該商場這段時間內(nèi)A、B兩種品牌冰箱月銷售量的中位數(shù)分別為15臺、15臺.
下面計算方差:
A種品牌1~5月的銷量分別為:15,17,16,13,14,選13作為基準,用每個月的銷量減去13得到一組新的數(shù)據(jù):2,4,3,0,1,
B種品牌1~5月的銷量分別為:10,14,15,16,20,選取15作為基準,用每個月的銷量減去15得到一組新的數(shù)據(jù):-5,-1,0,1,5,
∴該商場1~5月A種品牌冰箱月銷售量較穩(wěn)定.
【解法說明】方差實質(zhì)是各個數(shù)據(jù)相對于平均數(shù)的波動程度,根據(jù)方差的性質(zhì)可知:設一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)是,則方差為;而另一組數(shù)據(jù)x1+m,x2+m,x3+m,…,xn+m的平均數(shù)為+m,此時相應的方差s′2=,因此對于一組較大的數(shù)據(jù),我們可以選取一個適當?shù)臄?shù)作為基準,然后用每一個數(shù)據(jù)減去這個基準得到一組新的較小的數(shù)據(jù),然后計算這一組新數(shù)據(jù)的方差即可.此外,也可以直接算出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù),然后將每一個數(shù)據(jù)減去這個平均數(shù)得到一組新的較小的數(shù)據(jù),然后計算這一組新數(shù)據(jù)的方差也可以達到同樣的目的,
總之,利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,將較大的數(shù)轉(zhuǎn)化為較小的數(shù),巧用“零頭”,簡化運算.
在初中數(shù)學中,解決概率問題,常用的方法是畫樹狀圖法或列表法,即采用列舉的方法列出所有可能的結(jié)果,再進行計算.但是有些概率題,我們可以換一種思維方式再輔以列舉法,往往能夠比較簡便地得到答案.下面,結(jié)合幾道題介紹一些解概率題的巧妙方法.
例3(2014·寧波)如圖1,在2×2的正方形網(wǎng)格中有9個格點,已經(jīng)取定點A和B,在余下的7個點中任取一點C,使△ABC為直角三角形的概率是().
圖1
圖2
【常規(guī)思路】通過列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有的情況.
例4(2014·雅安)若我們把十位上的數(shù)字比個位和百位上數(shù)字都小的三位數(shù)稱為“V”數(shù),如756,326,那么從2,3,4這三個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的三位數(shù)中任意抽取一個數(shù),則該數(shù)是“V”數(shù)的概率為______.
【常規(guī)思路】通過列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有的情況.
例5(2014·嘉興)有兩輛車按1,2編號,舟舟和嘉嘉兩人可任意選坐一輛車.則兩人同坐2號車的概率為_________.
【常規(guī)思路】通過列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有的情況.
例6小明和小麗做游戲,規(guī)則如下:小明轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤(轉(zhuǎn)盤被分成二等分,若指針指向分割線則重新轉(zhuǎn)一次),得到一個數(shù)字,小麗拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次,得到一個數(shù)字,若這兩個數(shù)字的乘積是奇數(shù),則小明贏,否則小麗贏.問這個游戲公平嗎?
【常規(guī)思路】通過列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有的情況.
【另辟蹊徑】轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,有兩個等可能的結(jié)果:數(shù)字1和2;拋擲骰子有6個等可能的結(jié)果:數(shù)字1-6.數(shù)字1與1-6這六個數(shù)字的乘積中有3個奇數(shù)3個偶數(shù),數(shù)字2與1-6這六個數(shù)字的乘積均為偶數(shù),顯然不公平.
(作者單位:江蘇省鎮(zhèn)江市宜城中學)