潘海波

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分類討論之后，還需驗證取舍
——以2015年蘇州卷壓軸題為例

潘海波

分類討論思想方法是中考試卷必考方法，旨在考查同學(xué)們思維是否縝密.然而有些考題分類討論之后，卻又面臨著取舍關(guān)要過，這是怎么回事呢？請看蘇州卷壓軸題.

（2015·蘇州，10分）如圖1，在矩形ABCD中，AD=a cm，AB=b cm（a＞b＞4），半徑為2 cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切.現(xiàn)有動點P從A點出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動，當(dāng)點P到達(dá)D點時停止移動；⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移，移動到與CD相切時立即沿原路按原速返回，當(dāng)⊙O回到出發(fā)時的位置（即再次與AB相切）時停止移動.已知點P與⊙O同時開始移動，同時停止移動（即同時到達(dá)各自的終止位置）.

（1）如圖①，點P從A→B→C→D，全程共移動了_______cm（用含a、b的代數(shù)式表示）；

（2）如圖①，已知點P從A點出發(fā)，移動2 s到達(dá)B點，繼續(xù)移動3 s，到達(dá)BC的中點.若點P與⊙O的移動速度相等，求在這5 s時間內(nèi)圓心O移動的距離；

（3）如圖②，已知a=20，b=10.是否存在如下情形：當(dāng)⊙O到達(dá)⊙O1的位置時（此時圓心O1在矩形對角線BD上），DP與⊙O1恰好相切？請說明理由.

圖1

【思路講解】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)可以很快得出答案為a+2b.

（3）主要是分兩種情況討論，即⊙O首次到達(dá)⊙O1的位置，⊙O在返回途中到達(dá)⊙O1的位置，討論后再進(jìn)行取舍.我們在下面將展示不同解法，供同學(xué)們從不同角度理解.

【規(guī)范解答】（1）a+2b.

（2）∵在整個運(yùn)動過程中，點P移動的距離為（a+2b）cm，

圓心O移動的距離為2（a-4）cm，

由題意，得a+2b=2（a-4）.①

∵點P移動2 s到達(dá)B點，即點P用2 s移動了b cm，

∵點P移動的速度與⊙O移動的速度相等，

∴這5 s時間內(nèi)圓心O移動的距離為5× 4=20（cm）.

（3）存在這種情形.

解法一：設(shè)點P移動的速度為v1cm/s，⊙O移動的速度為v2cm/s，

圖2

如圖2，設(shè)直線OO1與AB交于點E，與CD交于點F，⊙O1與AD相切于點G.

若PD與⊙O1相切，切點為H，則O1G= O1H.

易得△DO1G≌△DO1H，

∴∠ADB=∠BDP，

∵BC∥AD，

∴∠ADB=∠CBD，

∴∠BDP=∠CBD，

∴BP=DP.

設(shè)BP=x cm，

則DP=x cm，PC=（20-x）cm，

在Rt△PCD中，由勾股定理，可得PC2+ CD2=PD2，

∴此時點P移動的距離為

∵EF∥AD，

∴△BEO1∽△BAD，

∴EO1=16，

∴OO1=14.

①當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O1的位置時，⊙O移動的距離為14 cm，

∴此時PD與⊙O1不可能相切；

②當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O1的位置時，⊙O移動的距離為2×（20-4）-14=18（cm），

∴此時PD與⊙O1恰好相切.

①當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O1的位置時，⊙O移動的距離為14 cm≠18 cm，

∴此時PD與⊙O1不可能相切；

②當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O1的位置時，⊙O移動的距離為2×（20-4）-14=18（cm），

∴此時PD與⊙O1恰好相切.

∴此時PD與⊙O1不可能相切；

∴此時PD與⊙O1恰好相切.

【反思回顧】第（2）問利用了P與⊙O的路程相等，速度相等得出方程組是解題關(guān)鍵，再利用路程與時間的關(guān)系，得出速度，最后利用速度乘時間得出結(jié)果；第（3）問利用了相等時間內(nèi)速度的比等于路程的比，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等時間內(nèi)速度的比等于路程的比是解題關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省常州市東青實驗學(xué)校）