邵艷
?
“圓”來如此簡單
——2015年江蘇無錫中考卷第26題思路解析
邵艷
研習2015年全國各地中考數(shù)學卷,常常為有些試題的精巧構思、苦心經(jīng)營而感動.比如2015年江蘇無錫卷第26題沒有圖形,但是求解時卻對幾何圖形中的線段、線段中點、角平分線、平行四邊形(包括菱形)、圓、直角三角形、軸對稱等知識全面覆蓋,是一道不可多得的好題,下面為同學們講解該題,希望同學們有所收獲.
(2015·無錫,10分)已知:平面直角坐標系中,四邊形OABC的頂點分別為O(0,0)、A(5,0)、B(m,2)、C(m-5,2).
(1)是否存在這樣的m,使得在邊BC上總存在點P,使∠OPA=90°?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(2)當∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上時,求m的值.
【思路講解】
(1)由B、C坐標特征知道B、C兩點均在直線y=2上;問題又明確指出∠OPA= 90°,則可以確認點P應該在以OA為直徑的圓上.如圖1,以OA為直徑的圓(圓心為點M)交直線y=2于點P、P′(想一想,為什么會有兩個交點?因為⊙M的半徑為2.5,而直線y=2到x軸的距離為2),選取其中一個交點P研究,連接PM,作PH⊥OM于H點,在Rt△PHM中,由勾股定理可得HM=1.5,所以P(1,2),點P、P′關于直線x=2.5對稱,根據(jù)對稱性得P′(4,2).
圖1
接著來分析邊BC的運動范圍,如圖2,設線段BC在直線y=2上從左側平移而來,當端點B接觸到點P時,此時點P有可能出現(xiàn)在邊BC上,此時點B對應的橫坐標m=1;
隨著BC不斷右移,當點C到達P′時,點P′還可能出現(xiàn)在邊BC上,此時點C對應的橫坐標m-5=4,即m=9.
離開P′時,點P、P′就都不可能出現(xiàn)在邊BC上了.就是說當1≤m≤9時,邊BC上總存在點P,使∠OPA=90°.
(2)首先解讀強化條件“當∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上”,這說明OQ⊥AQ(理由是兩直線平行,同旁內角的平分線互相垂直).也就是說上一問中的點P、P′就可能是第(2)問中的Q點.于是構造圖3分析:
圖圖22
圖3
當點Q落在點P(1,2)上時,此時容易得出Q為BC中點,于是點B坐標為(3.5,2),即m=3.5;
如圖4,當點Q′落在點P′(4,2)上時,同樣可求出點B坐標為(6.5,2),即m=6.5.
綜上,m=3.5或6.5.
圖4
【點評】一般情況下,存在性問題如果涉及90°的角時,常常要和直角三角形的外接圓聯(lián)系到一起.這是由于在圓的學習中,有多個概念或定理涉及90°.比如:圓周角定理推論中直徑所對的圓周角為直角;在圓中,90°的圓周角所對的弦是直徑;直角三角形的外接圓是以斜邊為直徑的圓等等.(作者單位:江蘇省南通市通州區(qū)西亭初中)