周紅

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明辨條件，精準識別特殊四邊形

周紅

在數(shù)學模擬考試中，我們在選擇題的第5題位置上選用了一道有關四邊形的考題，然而全班卻有四分之一的學生選錯，其實這個題目很簡單，看來還有不少同學對平行四邊形的判定需要認真復習，下面我們先看這道考題：

例1（2015·連云港）已知四邊形ABCD，下列說法正確的是（）.

A.當AD=BC，AB∥DC時，四邊形ABCD是平行四邊形

B.當AD=BC，AB=DC時，四邊形ABCD是平行四邊形

C.當AC=BD，AC平分BD時，四邊形ABCD是矩形

D.當AC=BD，AC⊥BD時，四邊形ABCD是正方形

【講解】一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，A不正確；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，B正確；對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，C不正確；對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，D不正確.故選B.

為了辨清特殊四邊形的條件，以下再搜集一些平時易錯的習題，羅列如下，供同學們糾錯.

例2判斷下列說法是否正確.

（1）有三個角相等的四邊形是矩形；

（2）對角線相等的四邊形是矩形.

【錯解】（1）正確；（2）正確.

【剖析】（1）是把矩形的識別方法記錯了，應是“有三個角是直角的四邊形是矩形”，其中的條件是“三個角是直角”而不是“三個角相等”.（2）中錯誤地認為“對角線相等的四邊形是矩形”，對矩形的識別方法理解不透徹.我們知道只有在平行四邊形中加上“對角線相等”的條件，得到的才是矩形.

【正解】（1）錯誤；（2）錯誤.

例3如圖1，已知在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線與BC交于點E，∠B的平分線與AD交于點F，AE與BF交于點O，求證：四邊形ABEF是菱形.

圖1

【錯解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，所以∠ABE+∠BAF=180°.

∵AE、BF分別是∠BAF、∠ABE的平分線，

即∠AOB=90°，

∴AE⊥BF，所以四邊形ABEF是菱形.

【剖析】本題的推理看似嚴密，實際上忽略了菱形的判定條件，只有對角線垂直的四邊形不是菱形，必須還要說明對角線互相平分，或者再說明四邊形是平行四邊形才能判定它是菱形.

【正解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∴∠ABE+∠BAF=180°.

∵AE、BF分別是∠BAF、∠ABE的平分線，

即∠AOB=90°，所以AE⊥BF.

∵∠4=∠AFB，∠4=∠3，

∴∠3=∠AFB，

∴AF=AB.同理BE=AB，所以AF=BE.

又∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∴四邊形ABEF是菱形.

小試身手

1.（2015·梅州）下列命題正確的是（）.

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

C.對角線相等的四邊形是矩形

D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

圖2

參考答案

1.D

2.2解析：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠B=90°.

由折疊可知AO=AD，CO=BC，

∠AOE=∠COF=90°，

∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，

∴∠CAB=30°，∠ACB=60°，

∵AB∥CD，∴∠OAE=∠FCO，

又∵AO=CO，∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，

∴EF與AC互相垂直平分，

∴四邊形AECF為菱形，

（作者單位：江蘇省海安縣海陵中學）