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        三角形中有關(guān)中點(diǎn)問(wèn)題的解題策略

        2016-08-20 02:01:33楊樹艷
        初中生世界 2016年23期
        關(guān)鍵詞:位線平分線等腰三角

        楊樹艷

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        三角形中有關(guān)中點(diǎn)問(wèn)題的解題策略

        楊樹艷

        數(shù)學(xué)是思維的體操,聯(lián)想是一種非常重要的思維品質(zhì),善于聯(lián)想是尋求解決問(wèn)題的重要方法.當(dāng)你遇到三角形中有關(guān)中點(diǎn)的問(wèn)題時(shí),你會(huì)產(chǎn)生哪些聯(lián)想呢?但愿本文能給你帶來(lái)一定的啟示.

        一、遇到等腰三角形底邊上的中點(diǎn)聯(lián)想到“三線合一”

        例1 如圖1,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)M為BC中點(diǎn),MN⊥AC于點(diǎn)N,則MN等于().

        圖1

        【分析】連接AM,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AM⊥BC,根據(jù)勾股定理求得AM的長(zhǎng),再根據(jù)直角三角形的面積公式即可求得MN的長(zhǎng).

        解:連接AM,∵AB=AC,點(diǎn)M為BC中點(diǎn),

        ∴AM⊥CM,BM=CM(三線合一),

        ∵AB=AC=5,BC=6,∴BM=CM=3,

        在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,根據(jù)勾股定理得:

        二、遇到直角三角形斜邊上的中點(diǎn)聯(lián)想到“斜邊上的中線,等于斜邊的一半”

        例2(2015·宿遷)如圖2,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別為AB,AC,BC的中點(diǎn).若CD=5,則EF的長(zhǎng)為_______.

        圖2

        【分析】已知CD是Rt△ABC斜邊AB的中線,那么AB=2CD.EF是△ABC的中位線,則EF應(yīng)等于AB的一半.

        解:∵△ABC是直角三角形,

        CD是斜邊上的中線,

        ∴AB=2CD=2×5=10,

        ∵EF是△ABC的中位線,

        三、遇到三角形中兩邊的中點(diǎn),聯(lián)想“三角形的中位線定理”

        例3(2015·無(wú)錫)已知:如圖3,AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線,AD⊥BE,AD=BE=6,則AC的長(zhǎng)等于_______.

        圖3

        解:過(guò)D點(diǎn)作DF∥BE,

        ∵AD是△ABC的中線,AD⊥BE,

        ∴F為EC中點(diǎn),AD⊥DF.

        ∵AD=BE=6,

        ∵BE是△ABC的角平分線,AD⊥BE,

        ∴△ABG≌△DBG,

        ∴G、E分別為AD、AF的中點(diǎn).

        例4(2015·巴中)如圖4,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD、AE分別為△ABC的中線和角平分線,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AE于點(diǎn)H,并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F,連接DH,則線段DH的長(zhǎng)為_______.

        圖4

        【分析】首先證明△ACF是等腰三角形,則AF=AC=3,HF=CH,則DH是△BCF的中位線,利用三角形的中位線定理即可求解.

        解:∵AE為△ABC的角平分線,CH⊥AE,∴△ACF是等腰三角形,∴AF=AC,

        ∵AC=3,∴AF=AC=3,HF=CH,又AD為△ABC的中線,

        ∵AB=5,

        ∴BF=AB-AF=5-3=2,

        ∴DH=1.故答案為:1.

        四、兩條線段相等,為全等提供條件(遇到兩平行線截得線段的中點(diǎn)時(shí),常聯(lián)想“八字型”全等三角形)

        例5 如圖5(甲),在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,點(diǎn)B、C、G在同一直線上,M是AE的中點(diǎn).

        (1)探究線段MD、MF的位置及數(shù)量關(guān)系,并證明;

        圖5

        (2)將圖5(甲)中的正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使正方形CGEF的對(duì)角線CE恰好與正方形ABCD的邊BC在同一直線上,得圖5(乙)原問(wèn)題中的其他條件不變. (1)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化?寫出你的猜想并加以證明.

        【分析】(1)延長(zhǎng)DM交EF于點(diǎn)P,由AM= EM,可證△ADM≌△EPM,得DM=PM,根據(jù)△DFP是直角三角形即可解題;

        (2)延長(zhǎng)DM交CE于點(diǎn)N,連接FN、DF,易證∠DAM=∠NEM,可證△ADM≌△ENM,得EN=AD,DM=MN,可證CD=EN,即可證明△CDF≌△ENF,得DF=NF,即可解題.

        解:(1)MF⊥DM,MF=DM.

        證明如下:

        延長(zhǎng)DM交EF于點(diǎn)P,

        ∵正方形ABCD和正方形FCGE,

        ∴AD∥EF,∠MAD=∠MEP,

        ∠CFE=90°.

        ∴△DFP是直角三角形.

        ∵M(jìn)為AE的中點(diǎn),∴AM=EM.

        在△ADM和△EPM中,

        ∴△ADM≌△EPM(ASA),

        ∴DM=PM,∴M是DP的中點(diǎn),

        ∵FD=CF-CD=CF-AD=EF-PE=PF,

        ∴△DFP是等腰直角三角形,

        ∴FM⊥DM.

        (2)結(jié)論依舊成立,證明如下:

        延長(zhǎng)DM交CE于點(diǎn)N,連接FN、DF,

        ∵CE是正方形CFEG的對(duì)角線,

        ∴∠FCN=∠CEF=45°,

        ∵∠DCE=90°,∴∠DCF=45°,

        ∵AD∥BC,∴∠DAM=∠NEM,

        在△ADM和△ENM中,

        ∴△ADM≌△ENM(ASA),

        ∴EN=AD,DM=MN,

        ∵AD=CD,∴CD=EN,

        在△CDF和△ENF,

        ∴△CDF≌△ENF(SAS),

        ∴DF=NF,∠DFC=∠NFE,

        又∵∠CFE=90°,

        ∴∠DFN=90°,

        ∴△DFN是等腰直角三角形,

        ∴DM=FM,DM⊥FM.

        會(huì)學(xué)比學(xué)會(huì)更重要,方法比知識(shí)更重要.要解決三角形中有關(guān)中點(diǎn)的問(wèn)題就必須學(xué)會(huì)聯(lián)想,通過(guò)作輔助線創(chuàng)造條件,運(yùn)用等腰三角形底邊中線、直角三角形斜邊中線、三角形中位線的性質(zhì)或倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形等與中點(diǎn)有關(guān)的策略解決問(wèn)題.

        (作者單位:江蘇省鹽城市明達(dá)中學(xué))

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