楊賀龍,韓立國(guó),陳　雪

(吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春130026)

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波場(chǎng)相位相關(guān)時(shí)移全波形反演

楊賀龍,韓立國(guó),陳雪

(吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春130026)

全波形反演(FWI)算法對(duì)低頻信息和初始模型的依賴比較嚴(yán)重,容易發(fā)生周波跳躍現(xiàn)象而陷入局部極小點(diǎn)。為減少周波跳躍現(xiàn)象對(duì)全波形反演的影響,提出了波場(chǎng)相位相關(guān)時(shí)移全波形反演算法,在反演之前對(duì)模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,提高觀測(cè)數(shù)據(jù)和模擬數(shù)據(jù)的匹配程度;同時(shí)為減少初始模型對(duì)FWI的影響,利用Curvelet變換的多尺度特性,在反演的不同階段選擇不同尺度的數(shù)據(jù)參與反演,從而改善全波形反演因初始模型誤差較大而出現(xiàn)周波跳躍的問(wèn)題。利用Marmousi模型對(duì)波場(chǎng)相位相關(guān)時(shí)移全波形反演算法進(jìn)行了測(cè)試,結(jié)果表明,該反演算法以及利用Curvelet變換多尺度數(shù)據(jù)參與反演可以明顯改善FWI對(duì)低頻信息和初始模型的依賴,得到較好的反演結(jié)果。

頻率域全波形反演;波場(chǎng)相位相關(guān);Curvelet變換;多尺度

全波形反演方法(FWI)充分利用了疊前地震記錄中的有效信息,其反演精度比常規(guī)反演方法高。自20世紀(jì)80年代LAILLY首次在時(shí)間域嘗試應(yīng)用波形反演方法后[1],很多學(xué)者對(duì)FWI理論進(jìn)行了研究[2-10]。然而,在實(shí)際應(yīng)用中,這種高精確度反演算法面臨著很多問(wèn)題,其中主要問(wèn)題之一就是該方法對(duì)初始模型和低頻信息依賴嚴(yán)重,容易出現(xiàn)周波跳躍現(xiàn)象。當(dāng)理論波場(chǎng)和觀測(cè)波場(chǎng)的相位差大于半個(gè)周期時(shí),就會(huì)出現(xiàn)周波跳躍現(xiàn)象。周波跳躍問(wèn)題限制了全波形反演的實(shí)際應(yīng)用,由于全波形反演是一個(gè)局部?jī)?yōu)化過(guò)程,當(dāng)出現(xiàn)周波跳躍現(xiàn)象時(shí),全波形反演就會(huì)陷入局部極值點(diǎn),從而不能得到準(zhǔn)確的速度模型。

解決這個(gè)問(wèn)題的方法很多。最常用的方法是兩步速度建模法[11-12],即首先利用傳統(tǒng)的層析成像方法得到一個(gè)平滑的速度模型,然后以這個(gè)平滑模型為初始模型,利用全波形反演得到一個(gè)分辨率更高的成像結(jié)果。另一個(gè)相似的方法是聯(lián)合波動(dòng)方程層析成像和全波形反演[13-14],但上述兩種方法計(jì)算量大。為了避免周波跳躍現(xiàn)象,CHOI等[15]提出了“相位纏繞”(phase wrapping)的頻率域波形反演方法,以減小地震數(shù)據(jù)的相位差異。BI等[16]提出了數(shù)據(jù)選擇策略的全波形反演方法,將相位差在半個(gè)周期之外的數(shù)據(jù)切除,保證參與反演的數(shù)據(jù)都在半個(gè)周期之內(nèi)。HU等[17]提出了通過(guò)2個(gè)相差不大的頻率波場(chǎng)得到低波數(shù)成分的全波形反演方法。這些方法都在一定程度上改善了周波跳躍對(duì)全波形反演的影響。

本文在頻率域全波形算法的基礎(chǔ)上,提出了波場(chǎng)相位相關(guān)時(shí)移FWI算法,以此來(lái)改善周波跳躍現(xiàn)象對(duì)全波形反演的影響;同時(shí)利用Curvelet變換的多尺度思想,在反演過(guò)程中使用不同尺度的觀測(cè)數(shù)據(jù)信息,減小了全波形反演對(duì)初始模型的依賴。Marmousi模型數(shù)據(jù)測(cè)試表明方法有效。

1　全波形反演理論

全波形反演方法充分利用了疊前地震記錄中的走時(shí)和振幅信息,其反演精度要比旅行時(shí)層析成像和偏移速度分析等常規(guī)方法高。全波形反演可以在時(shí)間域、頻率域和Laplace域中進(jìn)行,各有其優(yōu)點(diǎn)[18-19]。其中頻率域全波形反演具有受地下介質(zhì)復(fù)雜性影響較小、計(jì)算速度快、非線性問(wèn)題影響小、只需要少量離散的頻率就可以得到可靠的成像等優(yōu)點(diǎn),在現(xiàn)有的計(jì)算機(jī)水平下是較容易實(shí)現(xiàn)的一種方法。

在反演問(wèn)題中,目標(biāo)函數(shù)C(m)一般定義為實(shí)際地震數(shù)據(jù)dobs與模擬地震數(shù)據(jù)dcal之間的差,用L2范數(shù)表示為:

(1)

全波形反演是一個(gè)不斷迭代優(yōu)化的過(guò)程,更新后的模型m可表示成初始模型m0與模型更新量Δm之和:

(2)

為了求取目標(biāo)函數(shù)的最小值,將方程(1)在m0處泰勒展開(kāi),舍去高階項(xiàng),兩端對(duì)m求導(dǎo)并用矩陣形式表示,得:

(3)

(4)

有很多種算法求解方程(1),比如最速下降法、牛頓法、擬牛頓法等局部?jī)?yōu)化算法和Monte Carlo方法、遺傳算法、模擬退火算法等全局優(yōu)化算法[20-21]。在保證成像精度的前提下,為了節(jié)約計(jì)算量和內(nèi)存,本文選用L-BFGS算法作為全波形反演的優(yōu)化算法。

L-BFGS優(yōu)化算法是一種擬牛頓算法,是為了解決BFGS算法占用內(nèi)存過(guò)大而提出的一種有限內(nèi)存的BFGS算法[22-24]。與BFGS算法不同的是,L-BFGS算法不需要直接求取Hessian矩陣,而是采用有限的梯度向量對(duì)對(duì)Hessian矩陣進(jìn)行更新,減少了存儲(chǔ)量,也提高了計(jì)算效率。其迭代更新公式為:

(5)

式中:Hk為近似逆Hessian矩陣;αk為搜索步長(zhǎng);gk為目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。L-BFGS算法的優(yōu)化更新只需要計(jì)算梯度,因此大大節(jié)約了計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)量。其更新公式為:

(6)

式中:

(7)

即Hk+1是利用有限個(gè)向量對(duì){sk,yk}對(duì)Hk更新得到的,通常只需要儲(chǔ)存3～5個(gè)向量對(duì)就能隱式表達(dá)Hessian矩陣。相比較而言,L-BFGS算法在計(jì)算精度、收斂速度以及計(jì)算成本上要比其它的優(yōu)化算法更適合于FWI,而且基于L-BFGS算法的FWI具有一定的抗噪能力,對(duì)初始模型的依賴程度較其它優(yōu)化算法要低。

2　波場(chǎng)相位相關(guān)時(shí)移算法

由于全波形反演是一個(gè)局部?jī)?yōu)化過(guò)程,對(duì)初始模型和低頻信息的依賴較高,因此容易出現(xiàn)周波跳躍現(xiàn)象,使反演陷入局部極小而得不到準(zhǔn)確結(jié)果。周波跳躍問(wèn)題是全波形反演在實(shí)際應(yīng)用中的重要限制因素,尤其是在實(shí)際資料缺少低頻信息時(shí),由于強(qiáng)非線性性,更容易出現(xiàn)周波跳躍現(xiàn)象。圖1為周波跳躍現(xiàn)象的示意圖,圖1a和圖1c表示理論波場(chǎng),圖1b表示觀測(cè)波場(chǎng)。對(duì)比圖1b和圖1c,可發(fā)現(xiàn)其波峰對(duì)應(yīng)時(shí)刻之差小于半個(gè)周期,即相位差小于π/2時(shí),就不會(huì)出現(xiàn)周波跳躍現(xiàn)象,能夠正確更新模型;而對(duì)比圖1a和圖1b,第k個(gè)波峰對(duì)應(yīng)時(shí)刻之差大于半個(gè)周期,即相位差大于π/2,此時(shí)會(huì)出現(xiàn)周波跳躍現(xiàn)象。

圖1　周波跳躍現(xiàn)象示意a 理論波場(chǎng)1; b 觀測(cè)波場(chǎng); c 理論波場(chǎng)2

借鑒數(shù)字圖像相關(guān)方法的思想,模擬地震記錄和觀測(cè)地震記錄之間的誤差可以看做數(shù)字圖像相關(guān)方法中基準(zhǔn)圖像和變形圖像之間的變形,在單道記錄上只是單個(gè)方向上的平移。因此,在全波形反演中,由不準(zhǔn)確的速度模型產(chǎn)生的波場(chǎng)擾動(dòng)可以看作是一種偏離真實(shí)波場(chǎng)的“變形”,而反演的目的可以看作是通過(guò)更新速度模型,使這種變形逐漸減小,使得模擬數(shù)據(jù)不斷逼近觀測(cè)數(shù)據(jù)。當(dāng)變形過(guò)大時(shí),如果沒(méi)有對(duì)得到模型大尺度構(gòu)造有關(guān)鍵作用的低頻信息,反演就容易陷入局部極值點(diǎn),導(dǎo)致反演失敗。因此,我們可以使用相關(guān)方法估計(jì)模擬波場(chǎng)偏離真實(shí)波場(chǎng)的位置,先將這種變形減小,然后再進(jìn)行反演,將速度模型逐步逼近真實(shí)模型。根據(jù)周波跳躍產(chǎn)生的原因,在反演之前,先對(duì)觀測(cè)地震記錄和模擬地震記錄的相位信息做互相關(guān)計(jì)算,根據(jù)互相關(guān)系數(shù)的大小對(duì)模擬地震記錄進(jìn)行時(shí)移,然后再進(jìn)行全波形反演,以此來(lái)改善低頻信息不足時(shí)周波跳躍現(xiàn)象對(duì)全波形反演的影響。假設(shè)模型是無(wú)衰減的彈性介質(zhì),且相位不隨著波傳播而改變。具體過(guò)程為:

1) 在反演之前,首先對(duì)模擬數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行互相關(guān)運(yùn)算,考慮到偏移距的影響,逐道求取互相關(guān)系數(shù):

(8)

式中:Cr為互相關(guān)系數(shù);i為道數(shù);N為檢波點(diǎn)數(shù)。

2) 取相關(guān)系數(shù)最大時(shí)的τ值,并對(duì)模擬波場(chǎng)進(jìn)行時(shí)移:

(9)

(10)

為證明方法的有效性,利用Marmousi模型進(jìn)行了測(cè)試,圖2a和圖2b分別為Marmousi模型和初始速度模型。將反演起始頻率選為7Hz,終止反演頻率為15Hz,分別進(jìn)行常規(guī)全波形反演和波場(chǎng)相位相關(guān)全波形反演,反演結(jié)果分別為圖2c和圖2d。對(duì)比圖2c和圖2d可以看到,由于缺少足夠的低頻信息,常規(guī)全波形反演方法沒(méi)有得到準(zhǔn)確的結(jié)果,而改進(jìn)后的波場(chǎng)相位相關(guān)全波形反演方法反演結(jié)果的精度得到明顯提高。以圖2b為速度模型進(jìn)行正演模擬,正演頻率為7Hz,得到模擬波場(chǎng),再將模擬波場(chǎng)進(jìn)行波場(chǎng)相位相關(guān)時(shí)移得到時(shí)移后的波場(chǎng),將這2個(gè)波場(chǎng)分別與理論觀測(cè)波場(chǎng)求相位差剖面,如圖3所示。對(duì)比圖3a和圖3b可以發(fā)現(xiàn),經(jīng)過(guò)時(shí)移后的波場(chǎng)與理論波場(chǎng)的匹配效果更好,周波跳躍現(xiàn)象得到了明顯改善,說(shuō)明了方法的有效性。

圖2　Marmousi模型(a),初始速度模型(b),常規(guī)FWI反演結(jié)果(c)以及波場(chǎng)相位相關(guān)FWI反演結(jié)果(d)

圖3　兩種波場(chǎng)與觀測(cè)波場(chǎng)的相位差剖面a 模擬波場(chǎng); b 時(shí)移波場(chǎng)

3　Curvelet變換多尺度全波形反演

近年來(lái),Curvelet變換[25]由于其獨(dú)特性而受到研究人員的日益關(guān)注。Curvelet變換由小波變換發(fā)展而來(lái),克服了小波變換在表達(dá)圖像邊緣的方向特性等方面的內(nèi)在缺陷,已經(jīng)顯示出其在圖像處理中的發(fā)展?jié)摿?。Curvelet多尺度變換可以對(duì)時(shí)空信號(hào)進(jìn)行最稀疏的表達(dá),能夠獲得最優(yōu)的非線性逼近。在去噪方面,根據(jù)Curvelet變換理論,在含有噪聲的信號(hào)中,較大的Curvelet系數(shù)對(duì)應(yīng)于有效信號(hào),反之為噪聲[26]。因此Curvelet變換不僅可以很好地衰減隨機(jī)噪聲,并且能較好地保持有效信號(hào)。Curvelet系數(shù)可表示為信號(hào)與小波函數(shù)的內(nèi)積:

(11)

式中:j表示尺度;l表示方向;k表示位移;f為信號(hào);φj,l,k為小波函數(shù)。

一個(gè)圖像經(jīng)過(guò)Curvelet變換后,其系數(shù)可分為3個(gè)尺度層:第1層稱為Coarse尺度層,是由低頻系數(shù)組成的一個(gè)矩陣;第2層為Detail尺度層,根據(jù)圖像的大小又被分割為不同的方向,是由中高頻系數(shù)組成的矩陣;第3層稱為Fine尺度層,是由高頻系數(shù)組成的一個(gè)矩陣[27]。變換后第1層系數(shù)即Coarse層系數(shù)對(duì)應(yīng)的是模型的大尺度構(gòu)造,隨著層數(shù)的增加,對(duì)構(gòu)造的刻畫越精細(xì)。

在全波形反演中,多尺度方法是增加算法穩(wěn)定性的常用方法,常用的多尺度方法有分頻反演法和變網(wǎng)格法等。結(jié)合Curvelet變換系數(shù)的多尺度特性,本文提出了一種新的多尺度方法。在反演的不同階段,根據(jù)反演頻率的大小,結(jié)合Curvelet變換,采用不同的模型(圖2a,圖4a和圖4b),分別提取地震資料不同尺度的數(shù)據(jù)。圖5a,圖5b,圖5c分別為由圖2a,圖4a,圖4b模型計(jì)算出的模擬地震記錄,圖5e,圖5f分別為由觀測(cè)地震記錄中提取出的不同尺度的地震記錄,其中圖5d的尺度與圖5b 對(duì)應(yīng),圖5e的尺度與圖5c對(duì)應(yīng)。

在全波形反演從低頻到高頻順序反演的過(guò)程中,地震數(shù)據(jù)的尺度選擇不斷精細(xì),即速度模型精度低時(shí)使用地震資料的大尺度數(shù)據(jù),即圖5e對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù),并隨著反演速度模型的精度不斷提高,逐漸加入地震資料的精細(xì)尺度信息,過(guò)程如圖6所示。這樣,模擬地震記錄能夠更好的與實(shí)際地震記錄進(jìn)行匹配,減小了周波跳躍的可能性,得到滿足全局最優(yōu)解的反演結(jié)果。

圖4　Marmousi模型的Coarse層系數(shù)對(duì)應(yīng)的模型(a),Coarse+Detail層系數(shù)對(duì)應(yīng)的模型(b)

圖5　由圖2a所示Marmousi模型計(jì)算得到的模擬地震記錄(a),由Coarse層系數(shù)對(duì)應(yīng)的模型計(jì)算得到的模擬地震記錄(b),由Coarse+Detail層系數(shù)對(duì)應(yīng)的模型計(jì)算得到的模擬地震記錄(c),在圖5a中提取的大尺度數(shù)據(jù)(d),在圖5a中提取的大尺度數(shù)據(jù)加中尺度數(shù)據(jù)(e)

圖6　Curvelet變換多尺度全波形反演示意

為驗(yàn)證Curvelet變換多尺度方法對(duì)改善全波形反演對(duì)初始模型依賴性的效果,利用圖2a所示Marmousi模型進(jìn)行測(cè)試。為說(shuō)明方法的有效性,將初始模型的精度降低,如圖7a。在此基礎(chǔ)上,分別進(jìn)行常規(guī)的頻率域全波形反演和應(yīng)用多尺度的頻率域全波形反演。在初始反演時(shí),使用地震記錄變換后的Coarse層系數(shù)對(duì)應(yīng)的地震記錄,并隨著反演精度的增大,逐漸加入Detail層及Fine層系數(shù)對(duì)應(yīng)的地震記錄,反演結(jié)果分別見(jiàn)圖7b到圖7e?？梢钥闯?由于初始模型的精度較差,常規(guī)反演方法出現(xiàn)嚴(yán)重的周波跳躍現(xiàn)象,不能得到準(zhǔn)確的結(jié)果;而利用Curvelet多尺度策略的方法通過(guò)對(duì)地震數(shù)據(jù)不同尺度的選取,提高了模擬地震數(shù)據(jù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)的匹配精度,減小了全波形反演對(duì)初始模型的依賴,有效壓制了周波跳躍的影響,反演效果得到很大改善。

圖7　FWI初始模型(a),常規(guī)頻率域FWI反演結(jié)果(b),應(yīng)用Curvelet變換Coarse層數(shù)據(jù)的FWI反演結(jié)果(c),應(yīng)用Curvelet變換Coarse+Detail層數(shù)據(jù)的FWI反演結(jié)果(d),應(yīng)用完整數(shù)據(jù)的FWI反演結(jié)果(e)

4　結(jié)束語(yǔ)

周波跳躍問(wèn)題是限制全波形反演在實(shí)際應(yīng)用中的重要因素。本文提出了波場(chǎng)相位相關(guān)時(shí)移算法,在反演之前對(duì)模擬波場(chǎng)進(jìn)行處理,減小模擬波場(chǎng)和觀測(cè)波場(chǎng)之間的相位差,提高了波場(chǎng)匹配精度,進(jìn)而減小周波跳躍現(xiàn)象的影響。應(yīng)用Curvelet變換多尺度方法,在反演的不同階段,根據(jù)反演頻率的大小,分別提取觀測(cè)地震數(shù)據(jù)不同尺度的數(shù)據(jù),在從低頻到高頻順序反演的過(guò)程中,地震數(shù)據(jù)的尺度選擇不斷精細(xì),隨著反演速度模型的精度不斷提高,逐漸加入地震資料的精細(xì)尺度信息,使模擬地震記錄能夠更好的與實(shí)際地震記錄進(jìn)行匹配,減小了FWI對(duì)初始模型的依賴。對(duì)Marmousi模型進(jìn)行全波形反演測(cè)試,結(jié)果表明,波場(chǎng)相位相關(guān)算法以及Cuevelet變換多尺度思想的全波形反演可以有效減少FWI對(duì)低頻信息和初始模型的依賴,為下一步全波形反演在實(shí)際數(shù)據(jù)中的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

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(編輯：朱文杰)

Wavefield phase correlation shifting full waveform inversion

YANG Helong,HAN Liguo,CHEN Xue

(CollegeofGeo-ExplorationScienceandTechnology,JilinUniversity,Changchun130026,China)

Abstract: Full waveform inversion (FWI) is sensitive to low frequency information and initial model and is easy to fall into local minima because of cycle-skipping issue.To reduce the effect of cycle-skipping,we propose wavefield phase correlation shifting FWI method.By processing the simulated data before inversion,we improve the matching degree between observed data and simulated data.We also exploit the multi-scale characteristics of Curvelet transform to reduce the effect of initial model by selecting observed data of different scales information during inversion.Test of frequency-domain FWI based on Marmousi model shows that the inversion result has a better stability,and both of the wavefield phase correlation shifting FWI and the multi-scale Curvelet transform FWI can reduce the dependence of low frequency information and initial model.

frequency-domain full waveform inversion,wavefield phase correlation,Curvelet transform,multi-scale

2015-12-25;改回日期：2016-03-10。

楊賀龍(1988—),男,博士在讀,主要研究方向?yàn)榈卣饠?shù)據(jù)處理。

國(guó)家科技重大專項(xiàng)(2011ZX05025-001-04)資助。

P631

A

1000-1441(2016)04-0568-08DOI:10.3969/j.issn.1000-1441.2016.04.012

This research is financially supported by the National Science and Technology Major Project of China (Grant No.2011ZX05025-001-04).