顧　天，李曉麗，趙曙光，鄭鵬遠

(1.東華大學 信息科學與技術(shù)學院，上海 201620； 2.上海電力學院 自動化工程學院，上海 200090)

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基于二分圖的網(wǎng)絡能控性指數(shù)研究*

顧天1，李曉麗1，趙曙光1，鄭鵬遠2

(1.東華大學 信息科學與技術(shù)學院，上海 201620； 2.上海電力學院 自動化工程學院，上海 200090)

網(wǎng)絡系統(tǒng)的規(guī)模不斷擴展，趨向于龐大復雜化。文章針對系統(tǒng)內(nèi)部信息傳遞所帶來的控制滯后等問題，在網(wǎng)絡系統(tǒng)能控的研究基礎(chǔ)上引入能控性指數(shù)的概念，用以描述網(wǎng)絡系統(tǒng)能控的性能指標；基于二分圖提出算法獲得網(wǎng)絡系統(tǒng)能控性指數(shù)，并提供每個控制量相應的控制鏈，為后續(xù)劃分大規(guī)模網(wǎng)絡系統(tǒng)的節(jié)點群等研究工作提供科學依據(jù)。

網(wǎng)絡系統(tǒng)；二分圖；能控性指數(shù)

0　引言

隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，出現(xiàn)了越來越多規(guī)模龐大且結(jié)構(gòu)復雜的網(wǎng)絡，其通常具有空間分布式特征，例如跨區(qū)域的電力網(wǎng)、縱橫交錯的交通網(wǎng)等。對網(wǎng)絡中若干節(jié)點施加控制以實現(xiàn)整個網(wǎng)絡能控，對網(wǎng)絡系統(tǒng)的可控性進行分析，可望在進入定量研究前先得到全局的指導信息[1]，有助于理解各控制量對網(wǎng)絡系統(tǒng)的影響。目前網(wǎng)絡系統(tǒng)的可控性是指在不限制控制步數(shù)的情況下，通過施加控制量使其可控，但隨著網(wǎng)絡規(guī)模的不斷擴大，網(wǎng)絡系統(tǒng)的各個組成部分彼此間傳遞信息或狀態(tài)會帶來控制作用滯后等問題[2]。通過基于能控性指數(shù)的算法研究可以將大網(wǎng)絡系統(tǒng)分散化進行控制，縮短了控制過程。

1　問題描述及判據(jù)

大規(guī)模網(wǎng)絡系統(tǒng)具有極其復雜的結(jié)構(gòu)和不穩(wěn)定性。針對高維性、非線性的大系統(tǒng)，研究其可控性問題十分復雜，可以將其轉(zhuǎn)化為在一定范圍內(nèi)按不同工作點線性化所得的線性系統(tǒng)，進而分析轉(zhuǎn)化后的線性系統(tǒng)是否可控[1]。考慮由n個節(jié)點構(gòu)成的線性時不變網(wǎng)絡系統(tǒng):

(1)

定義1:系統(tǒng)(1)可控的充要條件：

rank[B,AB,A2B...An-1B]=n

(2)

網(wǎng)絡系統(tǒng)可控表明其可由任意初始狀態(tài)受控制器驅(qū)動到達任何所需的最終狀態(tài)[4]。其中矩陣An-1B本質(zhì)上體現(xiàn)了從控制器出發(fā)在n-1步路徑內(nèi)與網(wǎng)絡系統(tǒng)所有節(jié)點建立了聯(lián)系，根據(jù)定義1引入網(wǎng)絡能控性指數(shù)μ，對于n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，能控性指數(shù)μ定義如下：

定義2:系統(tǒng)(1)k步可控的充要條件：

gr[B,AB,A2B...AkB]=n

(3)

滿足式(3)的k的最小值即為能控性指數(shù)μ。

圖1為由4個節(jié)點構(gòu)成的網(wǎng)絡系統(tǒng)，對其進行分析。

圖1　網(wǎng)絡關(guān)系圖

其中常值矩陣A、B為：

分析發(fā)現(xiàn)gr[B,AB,A2B,A3B]=4，符合定義1與定義2，表明該網(wǎng)絡系統(tǒng)可控，也可稱之為3步可控。同時gr[B,AB]=4，符合定義2，而gr[B]<4,則滿足條件的k的最小值為1，即能控性指數(shù)為1，控制鏈如圖2所示。

圖2　控制量與節(jié)點關(guān)系

2　算法

將一個圖的頂點劃分為兩個不相交集U和V，使得連邊分別連接U、V中的頂點，若存在這樣的劃分則此圖就是一個二分圖，而邊數(shù)最多的匹配方法即為最大匹配[5]。通過最大匹配能解決很多實際問題，如棋盤走法、配對問題等。匈牙利數(shù)學家Edmonds對二分圖的最大匹配進行研究并得到一種普適性的匈牙利算法。

2.1匈牙利算法

以圖3為例介紹匈牙利算法的基本思想。

首先從1開始匹配：1-A，2-C，3-A，如圖3加粗路線，此時由于A已匹配給1，因此將1-A轉(zhuǎn)變?yōu)?-B，從而成功匹配3-A，如圖4所示。

圖3　連接關(guān)系

圖4　匈牙利算法步驟1

圖5　匈牙利算法步驟2

繼續(xù)匹配4，4-C，如圖4所示。此時由于C已經(jīng)匹配給2，為了形成更多的匹配邊，因此將4-C轉(zhuǎn)變?yōu)?-D。最終最大匹配方案為1-B、2-C、3-A、4-D，如圖5所示。

2.2算法Aci

研究網(wǎng)絡系統(tǒng)可控性時，可以將網(wǎng)絡表示為二分圖，利用最大匹配理論匹配盡可能多的邊，得出為使網(wǎng)絡可控的一種控制器選取方案，而本文基于可控網(wǎng)絡分析匹配方案以獲取能控性指數(shù)。

假設(shè)網(wǎng)絡系統(tǒng)如圖6所示。

圖6　網(wǎng)絡節(jié)點間關(guān)聯(lián)情況

通過匈牙利算法可知對節(jié)點1、3、5、9施加控制可使該網(wǎng)絡可控，但分析控制方案時會出現(xiàn)圖7所示匹配方式：

圖7　匹配方案

由控制器u5控制的節(jié)點群5-6-7-2-8形成了一條控制鏈，但相比于1、3-4、9-10，該條控制鏈顯得較長，易影響控制作用。

在已知網(wǎng)絡可控的基礎(chǔ)上，從各控制量出發(fā)，根據(jù)節(jié)點間的可達關(guān)系逐步匹配節(jié)點形成或長或短的控制鏈。將一條控制鏈看作一個子系統(tǒng)，當整個系統(tǒng)劃分成若干子系統(tǒng)后，若其分別為k1,k2，…kn步可控，定義其中最大值為kmax，則整個大系統(tǒng)稱為kmax步可控。kmax需盡可能小，當其取值最小時即為能控性指數(shù)μ。

以控制器直接控制的節(jié)點i為起始點，同時進行匹配。由網(wǎng)絡可控可知每個節(jié)點都必存在于匹配邊中，因此若匹配完成后仍有節(jié)點未被匹配，則必須改變某節(jié)點的匹配方式，直至所有節(jié)點均被匹配。

能控性指數(shù)算法Aci描述如下：

(1)列出所有根節(jié)點i(1≤i≤n)；

(2)λ:根節(jié)點i的數(shù)目,設(shè)置k=0；

(3)重復步驟(4)～(6)；

(4)匹配i的可達節(jié)點j(i-j),j∈Ni,若j出現(xiàn)重復則改變前者匹配方式，j的數(shù)目為η,k=k+1,λ=λ+η；

(5)令j為新的根節(jié)點,匹配其可達節(jié)點；

(6)當η=0,λ≠n,節(jié)點σ未匹配(δ可達σ),退回δ所在步驟,改變其匹配方式為δ-σ,從該步驟開始繼續(xù)向下匹配；

(7)直至λ=n，n為網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)目；

(8)所有節(jié)點已存在于匹配邊中,μ=k。

3　仿真與結(jié)論

利用二分圖描述圖6所示網(wǎng)絡，如圖8所示，箭頭表示始端節(jié)點可達末端節(jié)點，例如1指向2表示節(jié)點1可達節(jié)點2。

圖8　網(wǎng)絡(圖6)二分圖

分析圖6網(wǎng)絡，n=10，k=0，起始點為1、3、5、9，λ=4，第一步如圖9所示。

圖9　網(wǎng)絡系統(tǒng)

匹配節(jié)點為2、4、6、10，η=4。此時λ=8，k=1，第二步如圖10所示。

圖10　網(wǎng)絡系統(tǒng)

匹配節(jié)點為8、7。其中4-2，2在第一步就已匹配(舍去)，轉(zhuǎn)變?yōu)?-8，而此步驟已將8分配給了2，改變匹配方式2-10，而10在第一步就已匹配(舍去)，因此2向下不可再匹配，η=2。此時λ=10=n，所有節(jié)點已存在于匹配邊中，k=2，μ=2。

最終匹配方式如圖11所示，控制鏈為：1-2；3-4-8；5-6-7；9-10。同時可驗證gr[B,AB,A2B]=10，k的最小值為2，即能控性指數(shù)μ=2。

圖11　網(wǎng)絡系統(tǒng)

以圖12網(wǎng)絡系統(tǒng)為例，可控性指數(shù)μ=5，通過匹配邊將原本關(guān)聯(lián)復雜的網(wǎng)絡分散化，獲得各條結(jié)構(gòu)簡單明了的控制鏈，使得控制作用更有效。

圖12　網(wǎng)絡系統(tǒng)的控制鏈

4　結(jié)束語

本文引入網(wǎng)絡系統(tǒng)能控性指數(shù)的概念并給出能控性

判據(jù)，在此基礎(chǔ)上提出算法Aci獲得能控性指數(shù)及相應的控制鏈，縮短了控制過程和時間。在實際網(wǎng)絡如電網(wǎng)中，大量節(jié)點具有固定的匹配方式，這樣就能為分析網(wǎng)絡的k步可控性節(jié)省大量時間，同時研究各個控制器所控制的節(jié)點群，可以明顯地從復雜的網(wǎng)絡中得到各條清晰的控制鏈，以各控制器為起始點，只需抓住這個起始點將其從網(wǎng)絡中抽出便可獲知該控制器依次控制的各個節(jié)點。對于研究某些實際網(wǎng)絡模型有很大的參考價值，并可反過來服務于研究控制器的選取。

[1] 席裕庚.動態(tài)大系統(tǒng)方法導論[M].北京：國防工業(yè)出版社,1988.

[2] 李健勇,羅永平,黃道穎,等.網(wǎng)絡控制系統(tǒng)時延分布分析與建模[J].鄭州輕工業(yè)學院學報(自然科學版),2014,29(4):50-53.

[3]LiuYangyu,SLOTINEJJ,BARABA′SIAL.Controllabilityofcomplexnetworks[J].Nature， 2011，473(12)：167-173.

[4] 鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論[M].北京：清華大學出社,2011.

[5] 邵長城,張錫哲.復雜網(wǎng)絡可控性分析與驅(qū)動節(jié)點集拓撲性質(zhì)研究[D].沈陽：東北大學,2012.

Research on index of controllability for network based on bipartite graph

GuTian1，LiXiaoli1，ZhaoShuguang1，ZhengPengyuan2

(1.CollegeofInformationScience&Technology,DonghuaUniversity,Shanghai201620,China;2.CollegeofAutomationEngineering,ShanghaiUniversityofElectricPower,Shanghai200090,China)

Thescaleofthenetworksystemisexpandingandtendstobehugeandcomplex.Aimingattheproblemaboutcontrollagcausedbytheinternalinformationtransmissionofsystem,onthebasisofresearchonthecontrollabilityofnetworksystem,theindexofcontrollabilityisintroducedtocharacterizetheperformanceindices.Thispaperproposesanalgorithmbasedonbipartitegraphandobtainstheindexandcorrespondingcontrolchainofeachcontroller,andthisworkprovidesscientificbasisforresearchonthedivisionofnodegroupinlarge-scalenetworksystem.

networksystem;bipartitegraph;theindexofcontrollability

國家自然科學基金(61203073,61271114,61573239);教育部博士點基金(20120075120008);上海市自然科學基金(16ZR1446700,15ZR1418600)

TP11ADOI： 10.19358/j.issn.1674- 7720.2016.15.006

2016-04-13)

顧天(1992-)，通信作者，男，碩士研究生，主要研究方向：網(wǎng)絡系統(tǒng)可控性。E-mail:gutianlol@126.com。

李曉麗(1980-)，女，博士，副教授，碩士生導師，主要研究方向：復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)控制與優(yōu)化。

趙曙光(1965-)，男，博士，教授，主要研究方向：智能儀器與系統(tǒng)、電子系統(tǒng)設(shè)計自動化。

引用格式：顧天，李曉麗，趙曙光，等. 基于二分圖的網(wǎng)絡能控性指數(shù)研究[J].微型機與應用，2016,35(15)：21-23.