吳元平，陳莉（五邑大學 數(shù)學與計算科學學院，廣東 江門 529020）

單位圓內高階齊次線性微分方程解與小函數(shù)的關系

吳元平，陳莉
（五邑大學 數(shù)學與計算科學學院，廣東 江門 529020）

高階齊次線性微分方程；單位圓；小函數(shù)；收斂指數(shù)

1 引言與問題

2000年，J.Heittokangas[5]首先在其博士論文中系統(tǒng)地研究了單位圓上的微分方程解的增長性，之后國內學者也開始了相關研究[6-9].

2002年，陳宗煊[3]研究了高階齊次線性微分方程，得到了如下關于解的增長級的結果：

定理A假設 A0（z） ,… ,Ak-1（z ）是Δ內解析函數(shù)且滿足：1）σ （ Aj）＜ σ（A0）, j= 1,2 … ,k-1；或者2）A0（z）是可允許的， A1（ z） ,… ,Ak-1（z ）是不可允許的，那么：的每個非零解 f具有無窮級.

2008年，曹廷彬和儀洪勛[4]進一步研究了方程（1），得到了如下關于解的超級結果：

定理B假設 A0（z） ,… ,Ak-1（z ）在Δ內解析，如果那么方程（1）的所有解 f（≠ 0）都滿足 σ2（f）= σM（A0）≥ σ（A0）.

陳宗煊等[1]首先研究了關于一類二階微分方程解與小函數(shù)的關系，此后關于高階微分方程解與小函數(shù)的關系得到了大量的關注.而單位圓上的高階微分方程解與小函數(shù)關系的研究結果較少，金謹[2]結合定理B，證明了如下結果：

定理C設 A0（z）, A1（z ）,… ,Ak-1（z ）是單位圓Δ內的解析函數(shù)，且則方程（1）的不恒為零解析解 f（ z）滿足

其中， φ（ z ）是 f（ z）的小函數(shù).

自然地，我們考慮在定理A的條件下，如何得到方程的解與小函數(shù)的關系，即：

定理 設 A0（z）, A1（ z） ,… ,Ak-1（z ）是單位圓Δ內的解析函數(shù)，A0（z）是可允許的，A1（ z），…， Ak-1（z ）是不允許的，且 max ｛Aj（z）, j = 0,1,…,k-1｝=σ＜∞，則方程（1）不恒為零解析解 f（ z）滿足

其中， φ（ z ）是 f（ z）的有窮級小函數(shù).

注：令 k= 2，如果 A1= 0，則得到文獻[10]的定理1，故本文定理推廣了文獻[10]的結果.

2 所需引理

引理1[3]723設 f（ z）是單位圓Δ內的亞純函數(shù)，k是自然數(shù)，則其中且滿足，若 f（ z）是有窮級，則

引理2[2]756設不恒為零的 f（ z）是微分方程（1）的解， g（ z） = f（ z）- φ （z），則

引理3[2]756設不恒為零的 f（ z）是微分方程（1）的解， w（ z） = f ′（z）- φ （z），則

引理4[2]757設不恒為零的 f（ z）是微分方程（1）的解， h（ z） = f ′（z）- φ （z），則

引理5[4]723設 f 是Δ內解析函數(shù) σ （ f ）= σ＜+∞，那么對任意充分大的 ε ＞ 0，當 r ∈ ［ 0,1）且充分接近1時，有

引理6[11]設 f （ z）是單位圓Δ內的亞純函數(shù)，則 σ （f）≤ σ （f）≤ σ （f ）+1.M

3 定理的證明

證明 設不恒為零的 f （ z）是微分方程（1）在單位圓Δ內的解析解.由定理A知， σ （ f ）=∞；又由引理6知， σM（f ）=∞.

令g（ z） = f（ z）-φ （z）,w（ z） = f ′ （z）-φ （z）,h（ z） = f ′ （z）-φ （z），則 f（ z） ,f ′（z ） ,f ′ （z ）取小函數(shù)φ（z ）的點分別是 g （ z）,w（ z）,h（ z）的零點，且有

因為 A0（z）是單位圓Δ內的可允許的解析函數(shù)， A1（ z） ,… ,Ak-1（z ）都是單位圓Δ內的不可允許的解析函數(shù)，所以

假定有φ（k）+ Ak-1φ（k-1）+ Ak-2φ（k-2）+…+A1φ ′+A0φ=0，則

同理，由引理3和引理4可得：

因此：

又φ（ z ）是 f（ z）的小函數(shù)，因此微分方程（1）的所有不恒為零的解析解 f（ z）都滿足

[1]陳宗煊，孫光鎬.一類二階微分方程的解與小函數(shù)的關系[J].數(shù)學年刊，2006,27A(4):431-442.

[2]金謹.單位圓內高階齊次線性微分方程解與小函數(shù)的關系[J].應用數(shù)學學報，2014,37(4):754-764.

[3]陳宗煊.一類單位圓內微分方程解的性質[J].江西師范大學（自然科學版），2002,26(3):272-281.

[4]曹廷彬，儀洪勛.關于單位圓內解析系數(shù)的二階線性微分方程解的復振蕩[J].數(shù)學年刊，2007,28A(5): 719-732.

[5]HEITTOKANGAS J.On complex differential equations in the unit disc[J].Ann Acad Sci Fenn Math Diss,2000, 122:1-54.

[6]XU Junfeng,ZHANG Zhanliang.Growth order of meromophic solutions of higher-order linear differential equations[J].Kyungook Math J,2008,48:123-132.

[7]CAO Tingbin,CHEN Zongxuan,ZHENG Xiumin,et al.On the iterated order of meromorphic solutions of higher order linear differential equations[J].Ann of Diff Equ,2005,21(2):111-122.

[8]CAO Tingbin,YI Hongxuan.The growth of solutions of linear differential equations with coefficients of iterated order in the unit disc[J].Math Anal Appl,2006,319(1):278-294.

[9]李葉舟.單位圓盤上二階微分方程解的增長性[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學，2002,18(4):295-300.

[10]甘會林，孔蔭瑩.單位圓內二階線性微分方程的解及其導數(shù)的不動點[J].江西師范大學學報（自然科學版），2008,32(6):671-673.

[11]CHEN Zongxuan.The fixed points and hyper order of solutions of second order complex differential equations [J].Acta Math Sci Ser A Chin Ed,2000,20(3):425-432.

[責任編輯：熊玉濤]

Relationship Between Solutions of the Higher Order Homogeneous Differential Equation and the Small Functions in the Unit Disc

WU Yuan-ping,CHEN Li
(School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)

higher order homogeneous differential equation;unit discs;small functions;convergence indexes

O174.5

A

1006-7302（2016）03-0010-04

2016-03-28

吳元平（1989—），男，廣東廣州人，在讀碩士生，主要從事復分析研究.