◇ 江蘇 吉佩軍

高中數(shù)學解題教學中常用的化歸思想方法研究

◇ 江蘇 吉佩軍

化歸思想是指在研究數(shù)學問題的過程中,將原問題通過變形使之轉(zhuǎn)化為學生熟悉的、具體的、簡單的問題,從而使問題得以快速有效解決.在高中數(shù)學解題教學中,教師要抓住問題本質(zhì),有效滲透化歸思想方法,從而幫助學生掌握解題技巧,提升學生遷移能力和解題能力.對此,筆者從自身教學實踐入手,分析高中數(shù)學解題教學中常用的化歸思想,以供參考借鑒.

1 巧借特殊化法,嘗試特例,出其不意

特殊化是數(shù)學解題中一種重要化歸思想方法,它是將亟待解決的問題化歸為一種特殊形式,然后從特殊形式中尋找原問題的結論及解決方法.許多數(shù)學問題存在著一定的特殊性,借助特殊化將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為可變元素的特殊值、特殊函數(shù)、特殊位置等,往往可以使問題迎刃而解.

取a＝b＝c,則∠A＝∠B＝∠C＝60°,可得

2 利用構造法,建立模型,化解難題

構造法,即在解題過程中,根據(jù)題設已知條件和結論的特殊性,構造出符合題意的數(shù)學模型,將未知化為已知,從而使問題得以快速有效解決.比如,在不等式證明問題中借助構造法構造輔助函數(shù),可將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,再利用函數(shù)性質(zhì)求解.

證明 設u＝x＋1/x,則f(u)＝u＋1/u.因為x＋1/x≥2,則u≥2.設2≤α≤β,則

因為2≤α≤β,所以αβ＞1,α－β＜0.所以f(a)－ f(β)＜0,f(x)在[2,＋∞)上單調(diào)遞增,因此

又如,在解某些函數(shù)最值問題時,我們可以根據(jù)題意中的幾何意義,借助構造法構造幾何圖形,引導學生充分利用幾何圖形的直觀性解題,往往可以達到事半功倍的效果.

圖1

fmin(x)故f(x)最小值為

3 妙用換元法,變形轉(zhuǎn)換,化難為易

換元法,即在解決數(shù)學問題的過程中,通過設元、轉(zhuǎn)化、變形,將陌生問題轉(zhuǎn)化為學生熟悉的問題.換元法是數(shù)學解題中較為常見的思想方法,靈活巧妙地運用換元法對數(shù)學問題進行轉(zhuǎn)換,可以簡化解題過程、提高學生解題效率.在平時解題教學中,教師要立足實際,巧借換元法,化繁為簡、化難為易.

例4 已知a2＋b2＝4,x2＋y2＝9,求ax＋by的最大值.

一般地,若題目中存在a2＋b2＝r2(r≥0),可設a＝rcosα,b＝rsinα進行三角換元,將原問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關的問題,然后再運用三角函數(shù)知識對問題進行求解.

由a2＋b2＝4,可設a＝2cosα,b＝2sinα;由x2＋y2＝9,可設x＝3cosβ,y＝3sinβ.

于是有ax＋by＝6cosacosβ＋6sinasinβ＝6cos(a－β)≤6,當且僅當a－β＝2kπ(k∈Z)時,上式中等號成立.

故ax＋by的最大值為6.

化歸思想方法的巧妙運用,對于發(fā)展學生思維潛能、提升學生遷移運用、分析問題以及解決問題的能力發(fā)揮著積極的促進作用.在平時解題教學中,教師要結合典型例題,有效滲透化歸思想方法,從而幫助學生掌握解題方法、提升學生解題能力.

江蘇省建湖縣第二中學)