楊?yuàn)^林, 郭二冬(吉首大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖南 吉首, 416000)

圖像去噪中LLT模型的同倫方法

楊?yuàn)^林, 郭二冬
(吉首大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖南 吉首, 416000)

提出了運(yùn)用具有全局收斂性的同倫方法求解 Lysaker-Lundervold-Tai (LLT)模型, 構(gòu)造了一種逐步減小光滑化參數(shù)的同倫方程, 并給出了有效的路徑跟蹤方法。實(shí)驗(yàn)表明, 該方法收斂速度是不動(dòng)點(diǎn)方法的2倍。

圖像去噪; LLT模型; 不動(dòng)點(diǎn)方法; 同倫方法

自Rudin等[1]提出TV模型以來(lái), 基于變分偏微分方程的圖像處理技術(shù)得到迅速發(fā)展。該技術(shù)結(jié)合了圖像的本質(zhì)特征, 是目前圖像恢復(fù)中能夠保持圖像邊緣的有效方法之一[2–6]。該技術(shù)已廣泛應(yīng)用于圖像去噪、圖像分割、圖像修補(bǔ)、圖像配準(zhǔn)等多個(gè)領(lǐng)域。Lysaker等[7]提出的LLT模型是一種能夠有效抑制TV模型階梯效應(yīng), 保持圖像光滑的高階變分模型。該模型在醫(yī)學(xué)核磁圖像處理中得到很好的應(yīng)用。由于該模型的高度非線性性和奇異性, 求解十分困難。目前主要的求解方法有人工時(shí)間演化方法、不動(dòng)點(diǎn)方法、非線性多重網(wǎng)格方法[8–9]和非光滑牛頓法[2]。牛頓法求解非線性問(wèn)題具有二階收斂性, 由于該方法對(duì)初值要求苛刻, 以觀察圖像作為初值該方法不收斂, 本文考慮運(yùn)用具有大范圍收斂性的同倫方法求解LLT模型[10–11]。

1　LLT模型

二階泛函做正則化項(xiàng)的LLT模型[7]:, 這里z為已知的觀察圖像, u為原始圖像, ?是有界凸集, 通常取, 其中或。為了敘述方便, 本文以為例對(duì)同倫方法進(jìn)行描述。

該變分模型的求解通常轉(zhuǎn)化為求解能量泛函的最優(yōu)性條件, 即Euler-Lagrange方程

由于 Euler-Lagrange方程(1)的奇異性和非線性性程度很高, 人工時(shí)間演化方法和不動(dòng)點(diǎn)方法求解收斂比較困難, 速度非常慢, 而具有二階收斂性的牛頓法, 由于其收斂域很小, 選初值非常困難而沒(méi)法工作, 因此, 本文考慮運(yùn)用具有全局收斂性的同倫方法來(lái)求解方程(1)。

2　同倫方程

同倫方法是具有全局收斂性的一類求解非線性問(wèn)題的方法[5], 注意到當(dāng)光滑化參數(shù)β很大時(shí), 方程(1)的非線性程度低, 容易求解, 因此, 考慮構(gòu)造隨著t從0增加到1而光滑化參數(shù)逐步減小的同倫方程:

當(dāng)t = 0時(shí), H(u, 0) = u – z = 0為線性方程。

光滑化參數(shù)β + (1 - t)/t2隨著t的增大而減小, 對(duì)應(yīng)方程的非線性程度增加。當(dāng)t = 1時(shí), H(u, 1) = g(u) = 0為所求的Euler-Lagrange方程(1)。

3　路徑跟蹤

路徑跟蹤實(shí)際上就是跟蹤H(u, t) = 0的解曲線, 該過(guò)程由預(yù)估和校正2部分交替完成。由于H(u, 0) = u - z = 0的解為觀察圖像z, H(u, t) = 0的非線性程度隨著t的增大而增加, 考慮t自適應(yīng)從0增加到1,跟蹤過(guò)程即求解一列H(u, tk) = 0, 每次預(yù)估采用前一步校正值做為預(yù)估值, 也就是下一步的校正初值。校正過(guò)程采用不動(dòng)點(diǎn)方法求解H(u, tk) = 0。路徑跟蹤的具體過(guò)程如下。

步1, 給定初值。令k = 1, u0= z, t0= 0, 初始步長(zhǎng)為h。

步2, 預(yù)估。令tk= tk-1+ min(h, 1 - tk-1), 如果tk= 1, 以u(píng)k-1做為不動(dòng)點(diǎn)迭代初值, 運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)方法求解H(u, tk) = 0, 得uk, 即Euler-Lagrange方程的解。否則, 轉(zhuǎn)步3。

步3, 校正。以u(píng)k-1做為不動(dòng)點(diǎn)迭代初值, 運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)方法求解H(u, tk) = 0, 得uk, 并記錄迭代次數(shù),并令k = k + 1。

步4. 調(diào)節(jié)步長(zhǎng)。如果校正步數(shù)不超過(guò)3, 增大步長(zhǎng); 如果校正步數(shù)大于6, 減小步長(zhǎng), 轉(zhuǎn)步2。

4　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)圖像是像素為128 × 128的triangular圖像(圖1), 以絕對(duì)殘量減少至10-4為終止條件。

圖1　實(shí)驗(yàn)圖像

表1列出了β取不同的值時(shí), 不動(dòng)點(diǎn)方法所需的迭代次數(shù)和時(shí)間。從表1可以看出, 隨著β的減小, 迭代次數(shù)顯著增多, 運(yùn)算時(shí)間增大。

在β = 10-9、10-10、10-12時(shí), 比較不動(dòng)點(diǎn)方法和同倫方法的收斂速度。表2列出了2種方法總迭代次數(shù)和所用時(shí)間。表2顯示, 不動(dòng)點(diǎn)方法總的迭代次數(shù)和所用時(shí)間大約為同倫方法的2倍。

表1　β取不同值時(shí), 以z為初值的不動(dòng)點(diǎn)迭代次數(shù)和花費(fèi)的時(shí)間

表2　β取不同值時(shí), 不動(dòng)點(diǎn)方法和同倫方法的總迭代次數(shù)和花費(fèi)的時(shí)間

5　結(jié)論

LLT模型是圖像去噪中能夠抑制階梯效應(yīng)保持圖像光滑的一類重要高階變分模型。針對(duì)LLT模型的求解問(wèn)題, 本文提出運(yùn)用逐步延拓光滑化參數(shù)的同倫方法求解Euler-Lagrange方程(1), 并設(shè)計(jì)了有效的路徑跟蹤方法。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明同倫方法不僅能有效求解Euler-Lagrange方程(1), 而且收斂速度是不動(dòng)點(diǎn)方法的2倍。

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(責(zé)任編校: 劉剛毅)P

Homotopy method for LLT model in image denoising

Yang Fenlin, Guo Erdong
(College of Mathematics and Statistics, Jishou University, Jishou 416000, China)

A homotopy method which has globally convergence is used to solve the LLT model in this paper. A homotopy equation is constructed by gradually reducing the smooth parameter, and then an efficient curve tracking is given for solving this equation. Numerical tests show the convergence of this method is more than two times for the fixed point method.

image denoising; LLT model; fixed point method; homotopy method

TB 115.1

1672–6146(2016)03–0076–03

10.3969/j.issn.1672–6146.2016.03.016

楊?yuàn)^林, 478002158@qq.com。

2016–04–18

國(guó)家自然科學(xué)基金(11501243)。