徐新勝　王　誠(chéng)　肖　穎

中國(guó)計(jì)量學(xué)院，杭州，310018

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基于非負(fù)矩陣分解的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性判斷及其應(yīng)用

徐新勝王誠(chéng)肖穎

中國(guó)計(jì)量學(xué)院，杭州，310018

為了快速發(fā)現(xiàn)可重用產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，提出了基于非負(fù)矩陣分解的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性判斷方法。通過(guò)將產(chǎn)品結(jié)構(gòu)鄰接矩陣轉(zhuǎn)化為鄰接向量，構(gòu)建包含全部結(jié)構(gòu)信息的庫(kù)矩陣；利用Multiplicative Updates(MU)算法對(duì)庫(kù)矩陣進(jìn)行非負(fù)矩陣分解，實(shí)現(xiàn)以低維空間向量描述的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)；在此基礎(chǔ)上，通過(guò)計(jì)算低維向量的歐氏距離，可以判斷產(chǎn)品結(jié)構(gòu)之間的相似性；最后通過(guò)實(shí)例對(duì)所提出原理和方法進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明，該方法比目前的相似性判斷方法更高效。

產(chǎn)品結(jié)構(gòu)；非負(fù)矩陣分解；相似性；歐氏距離

0　引言

大規(guī)模定制生產(chǎn)中，針對(duì)客戶定制的產(chǎn)品，從企業(yè)的產(chǎn)品庫(kù)中找到相似的模型或產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，加以充分利用，可以降低定制企業(yè)的成本、縮短交貨期。因此，相似性研究受到了國(guó)內(nèi)外專家與學(xué)者的廣泛關(guān)注。成組技術(shù)[1]是一種傳統(tǒng)的相似性分析方法，通過(guò)分類編碼將零件歸類，或?qū)a(chǎn)品結(jié)構(gòu)歸為一族。此外，基于功能特征的相似性分析[2-3]和面向形狀的相似性分析[4-7]在設(shè)計(jì)、制造領(lǐng)域也得到了應(yīng)用。

產(chǎn)品結(jié)構(gòu)是企業(yè)在長(zhǎng)期設(shè)計(jì)、制造過(guò)程中形成的結(jié)構(gòu)性數(shù)據(jù)，能夠體現(xiàn)出復(fù)雜產(chǎn)品的零部件組成情況與關(guān)聯(lián)關(guān)系[8]，所以，以此為對(duì)象的相似性研究也逐漸引起了關(guān)注。丘宏俊等[9]基于XML文檔結(jié)構(gòu)相似性判定方法，提出了綜合結(jié)構(gòu)操作類型及其成本、節(jié)點(diǎn)位置等信息的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性計(jì)算模型，并在飛機(jī)制造中得到應(yīng)用。Romanowski等[10]基于產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，提出了最小加權(quán)對(duì)稱差的分析方法，將一類無(wú)序的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)樹(shù)歸類到產(chǎn)品族中。Tsai等[11]提出了基于構(gòu)件匹配算法和模糊模式組合的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性判定方法。

然而，上述方法在研究產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性時(shí)，并沒(méi)有考慮產(chǎn)品結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)之間的數(shù)量約束關(guān)系。對(duì)此，Shih[12]提出了基于正交Procrustes分析的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性判定方法，并將其應(yīng)用于產(chǎn)品結(jié)構(gòu)聚類。但這種方法需要對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的鄰接矩陣進(jìn)行奇異值分解，因此，在產(chǎn)品中零部件較多時(shí)，將會(huì)導(dǎo)致計(jì)算過(guò)程步驟多、計(jì)算量大，其實(shí)用性受到一定限制，并且處理過(guò)程比較抽象，無(wú)法直觀地反映產(chǎn)品之間的相似性關(guān)系。

非負(fù)矩陣分解算法具有易于實(shí)現(xiàn)、存儲(chǔ)空間小，而且能夠有效地保持?jǐn)?shù)據(jù)的非負(fù)性等特點(diǎn)[13]，本文基于此提出產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性判定方法，目的是在簡(jiǎn)化計(jì)算步驟的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高相似性判定的高效性，豐富相似性計(jì)算結(jié)果的內(nèi)涵。

1　產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性與非負(fù)矩陣分解

1.1產(chǎn)品結(jié)構(gòu)描述及其相似性分析

通常，產(chǎn)品采用具有層次的結(jié)構(gòu)來(lái)描述。產(chǎn)品結(jié)構(gòu)中，節(jié)點(diǎn)表示產(chǎn)品部件或者零件，邊表示零部件之間的裝配或者隸屬關(guān)系，如圖1所示，從上到下，同一條邊上面的點(diǎn)代表父件，下面的點(diǎn)稱為子件，圖1中的部件a既是c的父件，又是o的子件。邊旁邊的數(shù)字表示生產(chǎn)單位父件時(shí)所需子件的數(shù)量。

圖1　產(chǎn)品結(jié)構(gòu)

對(duì)于圖1描述的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，其對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣如下：

oabcdefghi

大規(guī)模定制生產(chǎn)中，針對(duì)客戶的產(chǎn)品定制需求(通常對(duì)應(yīng)一個(gè)虛擬的產(chǎn)品結(jié)構(gòu))，怎樣從定制企業(yè)的產(chǎn)品庫(kù)中找到最合適的產(chǎn)品實(shí)例或者產(chǎn)品模型，充分重用其零部件在設(shè)計(jì)、制造、質(zhì)量、管理等方面的數(shù)據(jù)和信息，對(duì)于降低大規(guī)模定制產(chǎn)品的生產(chǎn)成本、縮短交貨期，具有重要的意義。

通常，企業(yè)的產(chǎn)品庫(kù)中會(huì)有多個(gè)產(chǎn)品實(shí)例或者模型待選，對(duì)這些產(chǎn)品實(shí)例或模型進(jìn)行統(tǒng)一比較，依照相似性大小排序，可以有效簡(jiǎn)化產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性分析和計(jì)算過(guò)程，提高效率。為實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，本文提出基于非負(fù)矩陣分解(non-negative matrix factorization，NMF)的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性判定方法。

其中，P(*，k)為矩陣P的第k個(gè)列向量;qki是矩陣Q的第k行第i列的元素。上述等式表明βi被從m2維的空間映射到r維空間中(m2

產(chǎn)品結(jié)構(gòu)被定量地表示到這個(gè)低維空間中，于是，通過(guò)計(jì)算目標(biāo)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)與各查詢產(chǎn)品結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的低維向量之間的距離便可以來(lái)判斷產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性。

1.2非負(fù)矩陣分解基本原理

非負(fù)矩陣分解最初由Paatero等[14]于1994年提出，現(xiàn)在已在文本分類、圖像分析、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)等方面得到廣泛應(yīng)用，與其他矩陣分解(奇異值分解、特征值分解)類似，非負(fù)矩陣分解也實(shí)現(xiàn)了線性的維數(shù)約簡(jiǎn)，但要求分解后的所有分量均為非負(fù)實(shí)數(shù)，這種分解方式符合直觀理解：整體是由部分組成的[15]。因此，它能夠在某種意義上抓住產(chǎn)品結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的本質(zhì)[13]，這種特性表明，采用非負(fù)矩陣分解后的降維數(shù)據(jù)保留了原有產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征。

下面對(duì)非負(fù)矩陣分解問(wèn)題的基本原理進(jìn)行說(shuō)明。不失一般性，假設(shè)G=[gij]p×q(gij>0)是任意給定的非負(fù)矩陣，非負(fù)矩陣分解算法的目標(biāo)便是尋找兩個(gè)非負(fù)矩陣Wp×r=[wij]p×r和Hr×q=[hij]r×q，使得

Gp×q=[γ1γ2…γq]p×q=WH=

(1)

其中，矩陣G首先表示為列向量的形式，γi為組成矩陣G的第i列向量(i=1，2，…，r)。

當(dāng)原有矩陣G的各列即γi線性無(wú)關(guān)時(shí)，以這q個(gè)向量為基可以張成一個(gè)線性空間Vq。非負(fù)矩陣分解的運(yùn)算就是把γi從q維線性空間Vq映射到W各列向量張成的r維線性空間Vr中。設(shè)

實(shí)際計(jì)算中，非負(fù)矩陣分解問(wèn)題可以描述成數(shù)學(xué)模型：

(2)

式中，‖*‖F(xiàn)為矩陣的F-范數(shù)。

基于Multiplicative Updates(MU)算法[16]，W和H分別計(jì)算如下：

(3)

(4)

其中，(GHT)ia表示矩陣G和HT相乘后，所得矩陣的第i行第a列元素。式(3)、式(4)描述了一個(gè)迭代-更新過(guò)程，即每一次更新W和H中的元素，均利用原有的W和H進(jìn)行運(yùn)算，研究表明，這種算法是收斂的[16]。

實(shí)際生產(chǎn)中，企業(yè)為了減少產(chǎn)品數(shù)據(jù)冗余，現(xiàn)有產(chǎn)品結(jié)構(gòu)之間不能相互組合而成，因此組成庫(kù)矩陣S的各列βi線性無(wú)關(guān)，這滿足非負(fù)矩陣分解中原有矩陣各列向量線性無(wú)關(guān)的條件，因此該方法可以用來(lái)解決前文所述的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性判斷問(wèn)題。

對(duì)應(yīng)問(wèn)題的描述為求解矩陣P=[pij]m2×r和Q=[qij]r×(n+1)，使得S=PQ，基于MU算法，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的非負(fù)矩陣分解及其相似性判定流程如圖2所示，圖中，I表示迭代總次數(shù)，不同的問(wèn)題中，使‖S-PQ‖F(xiàn)在迭代過(guò)程中達(dá)到穩(wěn)定所需的次數(shù)不盡相同，因此I的選取需要依據(jù)具體問(wèn)題而定。因?yàn)樵撍惴ǖ姆纸饨Y(jié)果與P、Q初始值的選取有關(guān)，因此，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，一般重復(fù)多次計(jì)算矩陣分解過(guò)程，從中選取使‖S-PQ‖F(xiàn)最小的分解作為最終結(jié)果。

圖2　相似性判定算法流程

2　產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性判定的應(yīng)用

為了驗(yàn)證非負(fù)矩陣分解方法的適用性，本文以文獻(xiàn)[12]中某系列電燈的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)(圖3～圖11)為對(duì)象，表1說(shuō)明了編碼對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品零部件名稱。圖3～圖11中連線旁邊的數(shù)字表示生產(chǎn)一個(gè)父件所需要的子件數(shù)量?？蛻舳ㄖ飘a(chǎn)品結(jié)構(gòu)為S1，而D1～D8是企業(yè)現(xiàn)有產(chǎn)品的實(shí)例結(jié)構(gòu)。企業(yè)設(shè)計(jì)人員需要從查詢產(chǎn)品結(jié)構(gòu)(企業(yè)現(xiàn)有產(chǎn)品結(jié)構(gòu))找出與目標(biāo)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)(客戶定制產(chǎn)品結(jié)構(gòu)S1)最相似的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，通過(guò)重用降低定制產(chǎn)品生產(chǎn)成本，縮短交貨期。

圖3　定制產(chǎn)品結(jié)構(gòu)S1

圖4　現(xiàn)有產(chǎn)品結(jié)構(gòu)D1

圖6　現(xiàn)有產(chǎn)品結(jié)構(gòu)D3

圖7　現(xiàn)有產(chǎn)品結(jié)構(gòu)D4

圖8　現(xiàn)有產(chǎn)品結(jié)構(gòu)D5

圖9　現(xiàn)有產(chǎn)品結(jié)構(gòu)D6

圖10　現(xiàn)有產(chǎn)品結(jié)構(gòu)D7

圖11　現(xiàn)有產(chǎn)品結(jié)構(gòu)D8

編碼名稱編碼名稱B1007″基礎(chǔ)部件B1018″基礎(chǔ)部件S10014″黑色燈罩S10115″白色燈罩S10215″乳白色燈罩A100單孔電源部件A101三孔電源部件1100軸端12007″直徑鋼板12018″直徑鋼板1300轂14001/420螺絲1500持釬器1600單孔接口1601三孔接口1700連線部件21003/8″鋼管220016表燈線2300標(biāo)準(zhǔn)插頭引出端

以目標(biāo)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)S1為例，按照如表2所示的零部件排列順序，構(gòu)建鄰接矩陣Zs=[zij]20×20，根據(jù)圖3所示的S1產(chǎn)品零部件關(guān)系以及權(quán)重，可知單個(gè)部件B100需要4個(gè)子零件1400。因?yàn)楸?中部件B100的順序?yàn)?，零件1400的順序?yàn)?3，所以Zs中元素z2(13)=4。依此表示方法類推可知，z12=z14=z17=z29=z2(10)=z2(12)=z7(14)=z7(15)=z7(17)=1，z9(18)=26，Zs中的其余元素均為零。

表2　零部件排列順序

其他產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的鄰接矩陣構(gòu)建方法與此類似，不再贅述。接著按照前文所述，便可得到庫(kù)矩陣S400×9。令r=3，于是庫(kù)矩陣S400×9被分解為P400×3Q3×9的形式。在MATLAB軟件中對(duì)算法編程實(shí)現(xiàn)，計(jì)算得矩陣Q：

矩陣Q中各列表示降維后各產(chǎn)品結(jié)構(gòu)在三維空間中的坐標(biāo)，其中，第1列表示目標(biāo)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，其余各列分別表示查詢產(chǎn)品結(jié)構(gòu)。分別計(jì)算矩陣Q中第1列即[0.11740.00320.1264]T，與第2列至第9列的歐氏距離，即目標(biāo)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)與查詢產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的相似性，列向量之間的距離越小表示對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)之間越相似，結(jié)果如表3所示。

表3　目標(biāo)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)與查詢產(chǎn)品結(jié)構(gòu)之間的相似性結(jié)果

從表3中可以看出，查詢產(chǎn)品結(jié)構(gòu)S1與目標(biāo)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)D1最相似，D6、D8則最不相似，該結(jié)果與文獻(xiàn)[12]的方法計(jì)算結(jié)果相同。定制企業(yè)將會(huì)把產(chǎn)品結(jié)構(gòu)D1及其零部件相關(guān)信息調(diào)出，實(shí)施資源重用，以減少定制企業(yè)在設(shè)計(jì)、管理等方面的工作。

3　算法分析與管理內(nèi)涵

非負(fù)矩陣分解方法主要是通過(guò)降維來(lái)實(shí)現(xiàn)快速相似性計(jì)算，因此具體降維的維度對(duì)于產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的相似性計(jì)算具有重要的影響。為此，在計(jì)算r分別為1、2、4、5時(shí)相似性計(jì)算結(jié)果、矩陣分解所引起的差異E=‖S-PQ‖F(xiàn)以及算法運(yùn)行時(shí)間，并與前文(r=3)的結(jié)果作比較，如表4所示。

表4　r=1，2，3，4，5時(shí)相似性計(jì)算結(jié)果及程序運(yùn)行時(shí)間

注：η為產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似度。

從表4中可以發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算產(chǎn)品結(jié)構(gòu)之間的相似性時(shí)，為了找出最相似的查詢產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，所選取的r不能過(guò)小。因?yàn)閞過(guò)小會(huì)導(dǎo)致E偏大，即分解后的矩陣并不能完整描述原有產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，例如r=1，2時(shí)的計(jì)算結(jié)果差異較大，無(wú)法判斷出最相似的結(jié)構(gòu)產(chǎn)品。r較大時(shí)，需要更多的迭代計(jì)算步驟和時(shí)間，如表4最后一行所示。因此，在滿足工程需求的情況下，企業(yè)可以根據(jù)生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)目標(biāo)，選取合適的r作為相似性計(jì)算的降維目標(biāo)。

同時(shí)，從表3中可以看出，文獻(xiàn)[12]雖然采用了兩種相似性度量方式，卻無(wú)法判斷出D1、D3、D4與目標(biāo)產(chǎn)品S1相似度的差異，通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上D1較D3、D4更相似于S1。本文提出的方法在確保D1、D3和D4相對(duì)于其他產(chǎn)品與S1更相似的基礎(chǔ)上，對(duì)這三者的相似度進(jìn)行了區(qū)分：D1最相似，D4次之，使結(jié)果更為合理。

此外，與文獻(xiàn)[12]相比，本文提出的方法不但計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化、結(jié)果更為合理，而且相似性計(jì)算結(jié)果具有更廣的應(yīng)用范圍，由于上述矩陣Q包含了所有產(chǎn)品結(jié)構(gòu)降維后在三維空間中的坐標(biāo)，如表5所示。

表5　產(chǎn)品結(jié)構(gòu)降維后在三維空間的坐標(biāo)

上述三維坐標(biāo)可以直觀地反映在三維空間圖中，于是，產(chǎn)品設(shè)計(jì)人員通過(guò)分析三維空間圖中各點(diǎn)之間距離的遠(yuǎn)近，不僅能夠直觀、有效地發(fā)現(xiàn)與目標(biāo)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)最相似的查詢產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)實(shí)例庫(kù)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)重用，而且可以發(fā)現(xiàn)各查詢產(chǎn)品結(jié)構(gòu)之間的相似性程度，為實(shí)現(xiàn)相似產(chǎn)品結(jié)構(gòu)實(shí)例融合、減少實(shí)例庫(kù)冗余作準(zhǔn)備。文獻(xiàn)[12]提出的方法則只能夠用于判斷目標(biāo)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)與各個(gè)查詢產(chǎn)品結(jié)構(gòu)之間的相似程度，不能同時(shí)發(fā)現(xiàn)查詢產(chǎn)品結(jié)構(gòu)之間的相似性關(guān)系，因此其應(yīng)用范圍具有局限性。

4　結(jié)論

(1)給出了基于非負(fù)矩陣分解的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)相似性計(jì)算的思路及其數(shù)學(xué)描述。

(2)通過(guò)非負(fù)矩陣分解，實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)品結(jié)構(gòu)降維，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。

(3)本文提出的相似性計(jì)算方法不但計(jì)算比現(xiàn)有方法更加簡(jiǎn)單，而且產(chǎn)品結(jié)構(gòu)之間的相似度更加容易區(qū)分，還便于設(shè)計(jì)人員發(fā)現(xiàn)查詢產(chǎn)品結(jié)構(gòu)之間的相似性。

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(編輯張洋)

Similarity Judgment of Product Structure Based on Non-negative Matrix Factorization and Its Applications

Xu XinshengWang ChengXiao Ying

China Jiliang University，Hangzhou，310018

In order to find reusable product structure promptly, an approach of measuring the similarity among product structures was proposed based on non-negative matrix factorization. A comprehensive matrix which containsed all structures was constructed on the basic of adjacent vectors that were transformed from the adjacent matrices of product structures. The non-negative matrix factorization for the comprehensive matrix was implemented based on Multiplicative Updates(MU) algorithm. Then all product structures might be described in low dimensional space. On the basis of these, the similarity between two product structures could be measured by calculating the Euclidean distance among these low dimensional vectors. Finally, an example was presented to verify the principles and methods mentioned above. The results show that the proposed methodologies are more effective than those of the existing methods.

product structure；non-negative matrix factorization；similarity；Euclidean distance

徐新勝，男，1976年生。中國(guó)計(jì)量學(xué)院質(zhì)量與安全工程學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)制造技術(shù)、大規(guī)模定制、產(chǎn)品質(zhì)量管理。發(fā)表論文50余篇。王誠(chéng)，男，1991年生。中國(guó)計(jì)量學(xué)院質(zhì)量與安全工程學(xué)院碩士研究生。肖穎，女，1976年生。中國(guó)計(jì)量學(xué)院質(zhì)量與安全工程學(xué)院講師。

2015-06-18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51405462,51175486);浙江省科技廳公益性技術(shù)應(yīng)用研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013C31132，2014C31117)

TP14; TH128

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.08.014