李昂，王岳，陶然（吉林大學(xué)，吉林省長(zhǎng)春市，130021）

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傅里葉熱傳導(dǎo)方程和牛頓冷卻定律在流體熱學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用

李昂，王岳，陶然
（吉林大學(xué)，吉林省長(zhǎng)春市，130021）

柱形流體熱傳導(dǎo)過(guò)程對(duì)于研究自然界熱流體有著重要的實(shí)際意義.本文以浴缸中流動(dòng)的熱水為模型。通過(guò)利用傅里葉—維熱傳導(dǎo)方程和插值擬合的手段，輔以利用牛頓冷卻定律對(duì)流體邊緣熱傳導(dǎo)過(guò)程優(yōu)化，將三維問(wèn)題一維化，探討其熱量分布和溫度平衡的過(guò)程，從而為實(shí)際流體熱學(xué)的研究提供一些方法上的思路。

流體；熱量分布；傅里葉方程

引言

在流體熱學(xué)中，流體與周圍環(huán)境的熱交換過(guò)程十分復(fù)雜［1］。目前比較主流計(jì)算熱傳導(dǎo)的方法是傅里葉熱傳導(dǎo)方程，該方程在一維、二維情況下可以對(duì)于熱量的分布情況進(jìn)行比較準(zhǔn)確的計(jì)算；然而在三維情況下，因?yàn)榉匠屉y以解出而被成為“百萬(wàn)美金難題”。

本文以柱形流體熱傳導(dǎo)過(guò)程為基礎(chǔ)，利用傅里葉—維熱傳導(dǎo)方程和插值擬合的手段，應(yīng)用牛頓冷卻定律對(duì)流體邊緣熱傳導(dǎo)過(guò)程優(yōu)化［2-3］，將三維問(wèn)題實(shí)現(xiàn)一維化處理，將實(shí)踐與理論相結(jié)合，探討了熱量分布和溫度平衡的過(guò)程。

1　熱傳導(dǎo)模型背景和提出

在柱狀流體的實(shí)際流動(dòng)過(guò)程中，從宏觀看，其熱能的散失來(lái)源于熱傳導(dǎo)的幾個(gè)過(guò)程，從流體向周邊固體傳導(dǎo)，氣體傳導(dǎo)或者向溫度更低的液體傳導(dǎo)為最典型的三種情況，其中流體內(nèi)的傳導(dǎo)過(guò)程即為高溫處向低溫處的傳導(dǎo)，其符合傅里葉熱傳導(dǎo)方程。流體與固體之間的傳導(dǎo)可以使用牛頓冷卻定律計(jì)算傳導(dǎo)的熱量，流體與氣體之間熱傳導(dǎo)過(guò)程可以“空氣墻”思想利用牛頓冷卻定律計(jì)算傳導(dǎo)熱量［4］。通過(guò)對(duì)于熱量的計(jì)算可以得到體系冷卻的時(shí)間和距離，也可以探討體系溫度保持平衡的基本條件。本文以2016年美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題“浴缸模型”為研究背景，這個(gè)浴缸通過(guò)注入熱水和排出另一端的較低溫?zé)崴_(dá)到溫度平衡狀態(tài)，通過(guò)對(duì)于散失熱量的研究探討熱水注入的流量來(lái)研究浴缸溫度平衡的過(guò)程，從而擴(kuò)展到實(shí)際的應(yīng)用工作以及其他領(lǐng)域的研究。

2　熱傳導(dǎo)模型的具體建立過(guò)程

2.1熱量等效模型

在整個(gè)浴缸散熱體系中，體系中流動(dòng)的熱水在入口處和出口處的溫度有所變化，假設(shè)入口處為T1，出口處為T2。那么顯然T1＞T2。如果把熱水作為研究對(duì)象，熱水前后溫度的變化顯然是由于整個(gè)浴缸體系散熱造成的，輸入的熱量為

其中:

因此Qinput=C（T2-T1）ρT1φt，上式中：t代表流體流動(dòng)的時(shí)間，φ代表流量，ρ為流體密度，C為比熱容。

由于注入體系中的熱量和體系中散失的熱量相等，才能使浴缸的溫度守恒，達(dá)到恒溫浴缸的目的，因此，在進(jìn)一步計(jì)算散熱的時(shí)候，我們可以用Qinput代表總散熱。那么不難推斷維持體系溫度平衡的流量為：

2.2具體散熱模型

2.2.1流體—空氣界面散熱的參數(shù)歸一模型

流體在與空氣界面進(jìn)行熱交換的過(guò)程，是一個(gè)十分復(fù)雜的過(guò)程，其與流體的流速，表面粘滯系數(shù)流體密度和流體液壓等等都有著重要的關(guān)系，但是有一點(diǎn)可以肯定，當(dāng)體系平衡穩(wěn)定的時(shí)候，這些參數(shù)的值都在一個(gè)固定的范圍內(nèi)微小變化，因此我們可以把這些參數(shù)歸一化，即把這些參數(shù)的影響有一個(gè)新的變量表示——綜合影響因子Ka。根據(jù)前人研究，Ka代表著單位時(shí)間，單位面積流體在空氣接觸面溫度下降一度熱量傳遞，那么在空氣處散失的熱量就可以用以的公式計(jì)算［5］：

這里采用微元法，通過(guò)計(jì)算每個(gè)點(diǎn)元的散失熱量來(lái)近似的等效于連續(xù)分布的流體熱量散失情況。根據(jù)前人經(jīng)驗(yàn)，Ka的計(jì)算方法如下：

顯然，這種計(jì)算方法過(guò)于繁瑣復(fù)雜，下文我們將利用一個(gè)前人總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行此參數(shù)的計(jì)算。

2.2.2流體—固體熱傳導(dǎo)模型

在實(shí)際的浴缸散熱模型中，熱水在與空氣的接觸面散熱量是最大的，但仍然要考慮到缸壁的散熱，在這一模型中，我們采用的基本理論是牛頓冷卻定律，具體參照的模型為“雙層玻璃窗”模型。牛頓冷卻定律計(jì)算散失的熱量，其重要的條件就是要得出熱量在固體中傳導(dǎo)的具體距離，根據(jù)實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果顯示，在2cm厚度亞克力材料中，溫度通過(guò)浴缸傳導(dǎo)后，在距離浴缸1cm左右處的外壁空氣處熱量徹底散失，因此我們可以假設(shè)2cm厚度的浴缸和1cm厚度的空氣為兩個(gè)隔離（圖1），分別利用牛頓冷卻定律計(jì)算。假設(shè)浴缸外壁的溫度為Tx，那么可以肯定的是，熱量從浴缸內(nèi)部傳導(dǎo)到浴缸外壁，以及由浴缸外壁傳導(dǎo)到空氣處是相等的，利用這個(gè)平衡公式可以計(jì)算出Tx，從而得到浴缸外壁處散失的熱量。

圖1　缸壁熱傳導(dǎo)的實(shí)際過(guò)程

3　熱傳導(dǎo)模型的具體計(jì)算以及傅里葉熱傳導(dǎo)方程一維化的應(yīng)用

3.1一維化思想

圖2　將三維的流體流動(dòng)過(guò)程一維化

一維化思想的核心就是把三維問(wèn)題一維化，通過(guò)利用等效法，對(duì)于截面進(jìn)行研究，把截面的各種因素歸一到一個(gè)點(diǎn)處，那么整個(gè)流體的模型其實(shí)就是一個(gè)線性分布的點(diǎn)集（圖2），從而通過(guò)研究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系而推論出整個(gè)柱形流體的實(shí)際溫度分布情況。

3.2傅里葉熱傳導(dǎo)方程的一維形式

顯然，為了計(jì)算每個(gè)位置的散熱量，我們要計(jì)算出每個(gè)位置的具體熱量，在一個(gè)恒溫模型中，溫度和時(shí)間的關(guān)系為：

如果我們僅僅考慮溫度不隨流動(dòng)的具體位置變化，這個(gè)方程可以改變?yōu)椋?/p>

那么，在這組方程中，Q即代表了兩個(gè)溫度不同的點(diǎn)在接觸處傳導(dǎo)的熱量，而f即為前式中的隱函數(shù)f（x）。

以上即為傅里葉熱傳導(dǎo)模型的基本框架，顯然，通過(guò)對(duì)于Q的計(jì)算，我們就可以求出相應(yīng)的隱函數(shù)f，再利用積分便可以求出這一段微元的溫度情況。對(duì)于Q的計(jì)算，我們進(jìn)入了下一個(gè)模型。

3.3牛頓冷卻定律對(duì)散熱情況的求解

在該式中，A為截面面積，△t為兩個(gè)點(diǎn)元之間的溫度差，h為熱導(dǎo)系數(shù)，顯然：

顯然這個(gè)方程是一個(gè)遞歸過(guò)程，通過(guò)Matlab計(jì)算每一點(diǎn)處的溫度，然后通過(guò)插值擬合，得到溫度分布的曲線（圖3）。

圖3　浴缸內(nèi)部溫度實(shí)際擬合曲線

3.4 具體散熱情況的計(jì)算

3.4.1流體與空氣界面散熱

在流體與空氣的分界處，流體的散熱滿足以上的公式，其中Tn+1為流體每一個(gè)位置處的溫度，Ta為空氣溫度，Sa為水面面元的面積，而Ka代表水面散熱系數(shù)，可以用如下公式求解

其中Ka水面散熱系數(shù)代表著水面溫度每下降一度所散失的熱量，而散失的熱量 L包括蒸發(fā)熱，對(duì)流熱和輻射熱三部分，以蒸發(fā)散熱最為主要。他們?nèi)邼M足的關(guān)系為：

其中a2為水面蒸發(fā)系數(shù)，L為水的潛熱通量，e0和ea分別代表著飽和水壓力，和氣體壓力，ε代表水面輻射系數(shù)，而σ代表玻爾茲曼常數(shù)。

在計(jì)算ρla2的過(guò)程中，本文總結(jié)了前蘇聯(lián)的經(jīng)驗(yàn)算法，又針對(duì)本次特殊情況進(jìn)行了修正，特到了以下的計(jì)算方式。

參考本文的模型:

在這里省略了風(fēng)速的影響。由此我們計(jì)算并擬合出空氣液體界面散熱的情況（圖4）。

3.4.2流體與浴缸外壁散熱情況的計(jì)算

前已提及，流體在固體界面散熱情況計(jì)算的具體原理，由此建立以下兩個(gè)等式:

圖4　浴缸各處在空氣液體界面具體散熱量分布

由于上下兩個(gè)等式相等，我們可以計(jì)算每一個(gè)點(diǎn)元的Tx，從而得到每一個(gè)點(diǎn)元處的散熱情況（圖5）。

圖5　浴缸各處在缸壁的散熱分布曲線

4　結(jié)論

通過(guò)理論分析、研究討論和模型建立，我們得出浴缸內(nèi)部的流體溫度分布情況，如圖6所示。

圖6　考慮散熱后浴缸溫度分布情況模擬

通過(guò)計(jì)算整體散熱情況，對(duì)流體在復(fù)雜情況下的散熱過(guò)程提供思路和方法上的探究，這將有利于對(duì)于自然界流體（巖漿，熱液）、工程中使用的熱水等進(jìn)行溫度的精確分析。

［1］Ryan P.J.，Harleman D. R. T. ，Stolzenbach K. D. ， Surface Heat Loss from Cooling Pond Water Resources Research， 1974， 10（5）

［2］Balandin A.A.， Ghosh S， Bao W. Superior thermal conductivity of single-layer graphene Nano letters， 2008， 8（3）:902-907.

［3］Lepri S， Livi R， Politi A. Thermal conduction in classical lowdimensional lattices Physics Reports，2003，377（1）:1-8

［4］Bansal N， Kimbrel T， Pruhs K. Speed scaling to manage energy and temperature Journal of the ACM （JACM），2007，54（1）:3.

［5］Soundararajan V，Zekovic S， Kovacevic R.Thermo-mechanical model with adaptive boundary conditions for friction stir welding of Al 6061 International Journal of Machine Tools and Manufacture，2005，45（14）:1577-1587.

李昂（1995-），男，漢族，吉林省長(zhǎng)春市人，在讀本科生，吉林大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院地質(zhì)學(xué)專業(yè)。

王岳（1995-），男，漢族，山東省濰坊市人，本科，吉林大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè) 。

陶然（1993-），女，漢族，遼寧省鐵嶺市人，本科，吉林大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)。

Foulier's Heat-Conduction Equation and Newton's Cooling Law's Mathematical Modeling Application in Fluid Thermotics

Ang Li，Yue Wang， Ran Tao
（Jilin University， Changchun， Jilin， 130021， China）

Pillar fluid's conduction of heat is of value in researching on the natural fluid.The paper is basic on a ideal model of the moving hot water in a bathtub.By using Fourier Heat-Conduction Equation and the Method of fitting， and by using the Newton's Cooling Law to optimize the process of heat-conduction， the paper transmit the three-dimensional problem into one-dimensional problem and try to discuss the process of the heat distribution and temperature balance in this model，in order to provide some mentality to the later research in fluid thermal analysis.

Fluid； Distribution of Heat； Foulier； Heat-Conduction Equation

TK11+5

A

2095-8412 （2016） 03-498-05