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        化折為直,巧解最值

        2016-08-15 09:25:17程巨銀
        人間 2016年21期
        關(guān)鍵詞:對稱點動點周長

        程巨銀

        (六安市皋城中學(xué),安徽 六安 237000)

        化折為直,巧解最值

        程巨銀

        (六安市皋城中學(xué),安徽 六安 237000)

        初中數(shù)學(xué)中,我們常會遇到這樣的一類問題:“如何求解線段之和最小?”,此類問題出現(xiàn)形式多樣,解題方法靈活多變,很多同學(xué)遇到后覺得比較困難,究其原因是我們找不到合適的切入口,導(dǎo)致思維受阻。下面筆者基于自己的教學(xué)實踐,對問題進行分類梳理,談?wù)勅绾吻捎脠D形化折為直,妙解最值問題,希望對讀者有一定幫助。

        初中數(shù)學(xué);巧用圖形

        一、兩定一動

        例1(1)如圖1,已知直線l 的同側(cè)有兩個點A 、B,在直線l 上找一點P 使PA+PB最小,方法如下:作A(或者B)關(guān)于直線l的對稱點A′(或B′),連接A′ B(或B′ A)與直線l的交點即為所求。

        圖1 

        例1 (2)如圖2,在等邊?ABC中,D為BC 中點,P為AC上任意一點,求PB+PD最小值。

        注:例1屬“兩個定點+一個動點”類問題,且兩個定點都在動點所在直線的同側(cè),解決此類問題時,常需利用圖形的軸對稱性,將其中一個定點進行軸對稱變換(對稱軸即為動點所在直線)到直線另一側(cè),由“兩點之間線段最短”,連接對稱點與另一點形成線段即為線段和的最小值。

        二、兩動一定

        解析:可先假設(shè)N為一定點,將其轉(zhuǎn)化為“兩定一動”問題,即作C 關(guān)于BD 對稱點C′,則C′在AB 上,連C′N交BD 于M ,由“兩點之間線段最短”可知CM+MN最小值=C′M+MN=C′N 。

        再考慮N 是BC上一個動點,C′為AB上一個定點,由“直線外一點與直線上各點的連線中,垂線段最短”,可知當C′N′⊥BC時,C′N′最?。ㄈ鐖D4),即CM+MN最小,而∠C′ BN ′=45°,,∴C′N′=4

        圖3 

        圖4 

        三、兩定兩動

        解析:易求A(-3,1),B(-1,3)

        作A 關(guān)于x 軸的對稱點A′(-3,-1),作B 關(guān)于y軸的對稱點B′(1,3),連A′ B′交x軸于P ,交y 軸于Q ,此時四邊形PABQ的周長為:,即為周長最小值,故A′ B′兩點確定的直線即為所求。

        圖6 

        圖7 

        (2)如圖7,在平面直角坐標系中,A(1,2),B(5,4),在x軸上有兩點E 、F (E 點在F 點左側(cè)),且EF=1,當四邊形AEFB 周長最小時,求E點坐標。

        注:本例均屬“兩個定點+兩個動點”類問題。其中(1)是兩動點中兩軸上,分別作兩個頂點關(guān)于兩軸的對稱點,由“兩點之間線段最短”,將“折線段”轉(zhuǎn)化為“直線段”。(2)中兩動點,其中一個隨另一個動,且兩動點之間距離保持不變,解決此類問題常需要借助平移將相關(guān)線段移到適當位置,使分散的條件相對集中,將兩個動點轉(zhuǎn)為一個動點,則可將問題轉(zhuǎn)化為“兩定一動”來解決。

        G632

        A

        1671-864X(2016)07-0106-01

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