張　玲， 劉　川， 楊榮榮

(中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院， 山東高校海洋機(jī)電裝備與儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266100)

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多通道帶乘性噪聲2-D廣義系統(tǒng)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法?

張玲， 劉川， 楊榮榮

(中國(guó)海洋大學(xué)工程學(xué)院， 山東高校海洋機(jī)電裝備與儀器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266100)

摘要：2-D系統(tǒng)及其廣義系統(tǒng)在圖像處理，電力網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，本文基于多通道帶乘性噪聲的2-D 廣義Roesser模型提出一套狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法。在以往基于2-D廣義系統(tǒng)的研究中乘性噪聲因子多假設(shè)是一維隨機(jī)序列，本文的乘性噪聲因子是對(duì)角矩陣，矩陣對(duì)角線上每個(gè)元素都是一維隨機(jī)序列，這意味著系統(tǒng)不僅具有多個(gè)觀測(cè)通道而且每個(gè)觀測(cè)通道都受到不同乘性噪聲的影響，更加符合實(shí)際情況，能夠解決系統(tǒng)在更加復(fù)雜環(huán)境中的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性。

關(guān)鍵詞：多通道；乘性噪聲；2-D系統(tǒng)；廣義系統(tǒng)；最優(yōu)估計(jì)

引用格式：張玲， 劉川， 楊榮榮.多通道帶乘性噪聲2-D廣義系統(tǒng)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法[J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 46(7):124-129.

ZHANG Ling, LIU Chuan, YANG Rong-Rong.Optimal state estimation algorithm for 2-D generalized system with multi-channel multiplicative noise[J].Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(7):124-129.

廣義系統(tǒng)的研究始于上世紀(jì)七十年代，與正常系統(tǒng)相比廣義系統(tǒng)不僅能夠描述對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性，同時(shí)也描述了對(duì)象的靜態(tài)特性，因此有著更加廣泛的應(yīng)用。上世紀(jì)八十年代末波蘭學(xué)者Kaczorek在2-D廣義系統(tǒng)研究領(lǐng)域作出了奠基性的貢獻(xiàn)，2-D廣義系統(tǒng)在電力網(wǎng)絡(luò)、化學(xué)過(guò)程、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)和生物系統(tǒng)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1]。各國(guó)專家學(xué)者對(duì)2-D廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性[2-4]、魯棒性[5-6]、能控能觀性[7]等問(wèn)題展開(kāi)了深入的研究，取得了豐富的理論成果，建立起較為完善的2-D廣義系統(tǒng)理論。

自卡爾曼濾波提出以來(lái)，經(jīng)過(guò)40多年的發(fā)展，卡爾曼濾波已經(jīng)形成了一個(gè)比較完整的理論體系。將卡爾曼濾波擴(kuò)展至2-D系統(tǒng)是一項(xiàng)富有意義的工作，科研人員基于2-D系統(tǒng)狀態(tài)空間模型提出了不同的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法，比如：斜割支線法[8]、逐行掃描法[9-10]等方法。

然而，上述提到的算法僅適用于受加性噪聲干擾的2-D離散系統(tǒng)，實(shí)際中的系統(tǒng)往往受到時(shí)變性、非線性等因素的干擾，這些因素有時(shí)可以近似歸結(jié)為乘性噪聲。乘性噪聲存在于通信系統(tǒng)[11]，圖像處理[12]等諸多領(lǐng)域。本文將2-D廣義系統(tǒng)的乘性噪聲因子推廣至對(duì)角隨機(jī)矩陣，矩陣對(duì)角線上每個(gè)元素都是一維隨機(jī)序列[13]，這意味著系統(tǒng)不僅具有多個(gè)觀測(cè)通道而且每個(gè)觀測(cè)通道都受到不同乘性噪聲的影響，適用于解決在更加復(fù)雜環(huán)境中的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。

本文針對(duì)多通道帶乘性噪聲2-D廣義Roesser模型，將其等價(jià)變換為2個(gè)子系統(tǒng)，其中一個(gè)子系統(tǒng)可以整理為多通道帶乘性噪聲的2-D FM-Ⅱ模型[1]。基于投影定理我們通過(guò)推導(dǎo)可獲得FM-Ⅱ模型的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法并利用其與2-D廣義Roesser模型的變換關(guān)系，進(jìn)一步得到多通道帶乘性噪聲的2-D廣義 Roesser模型的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法。上述算法在線性最小方差意義下是最優(yōu)的。

1　問(wèn)題描述

考慮以下多通道帶乘性噪聲2-D廣義 Roesser模型：

(1)

(2)

設(shè)系統(tǒng)滿足以下條件：

D3：E{M(i,j)}=U(i,j),

M(i,j)=diag(m11(i,j),…,mmm(i,j)),

U(i,j)=diag(u11(i,j),…,umm(i,j)),

N(i,j)=

D4：E{x(0,j)}=0,E{x(0,j)xT(0,l)}=P(0,j)δjl，

E{x(i,0)}=0,E{x(i,0)xT(k,0)}=P(i,0)δik，

E{x(i,0),x(0,j)}=0，(i,j)≠(0,0)；

D5：隨機(jī)序列{x(i,0),x(0,j)}、{w(i,j),v(k,l)}和M(i,j)在統(tǒng)計(jì)上相互獨(dú)立。

上述條件在實(shí)際情況中比較容易滿足：D1和D2表明w(i,j)和v(i,j)是零均值高斯噪聲；D3允許乘性噪聲矩陣的每個(gè)元素在坐標(biāo)同一位置統(tǒng)計(jì)相關(guān)，描述了更加復(fù)雜的通道特性；D4表明邊界隨機(jī)變量符合高斯分布并且不同位置的邊界隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)不相關(guān)；D5表明w(i,j)，v(i,j)和M(i,j)在統(tǒng)計(jì)上相互獨(dú)立。

α1x(i+1,j)+α2x(i,j+1)+α0x(i,j)=Bw(i,j)。

(3)

其中：r1=rank(α1)；r2=rank(α2)；r3=n-r1-r，稱系統(tǒng)(3)為2-D廣義系統(tǒng)的擴(kuò)展Roesser模型。

參考文獻(xiàn)由[1]知，對(duì)于無(wú)跳躍模的系統(tǒng)(3)，令，存在非奇異矩陣F和H，使系統(tǒng)(2)(3)等價(jià)變換為：

(4)

(5)

(6)

x1(i,j)=A1x1(i,j-1)+A2x1(i-1,j)+

B1w(i,j-1)+B2w(i-1,j)。

(7)

y(i,j)=M(i,j)C1x1(i,j)+μ(i,j)。

(8)

Ω(i,j)=E{μ(i,j)μT(k,l)}=

由此可見(jiàn)，多通道2-D廣義系統(tǒng)可以通過(guò)受限等價(jià)變換為一個(gè)低階多通道2-DFM-Ⅱ模型，以及另一個(gè)由w(i,j)組成的低階子系統(tǒng)。多通道2-D廣義系統(tǒng)的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為對(duì)動(dòng)態(tài)噪聲w(i,j)和多通道2-DFM-Ⅱ模型狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題。

2　狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法

系統(tǒng)(6)～(8)可由系統(tǒng)(1)(2)變換得到，首先對(duì)系統(tǒng)(6)～(8)進(jìn)行狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法的推導(dǎo)。

為了方便推導(dǎo)，以下結(jié)論首先以引理的形式給出。

引理針對(duì)系統(tǒng)(6)～(8)，有如下結(jié)論成立。

由系統(tǒng)的邊界特性易知引理是正確的，此處略去證明。

定理1系統(tǒng)(6)～(8)若滿足之前假設(shè)條件，則有如下在線性最小方差意義下的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法。

x1(i,j)的估計(jì)值

(9)

x1(i,j)的估計(jì)預(yù)測(cè)值

(10)

x1(i,j)的估計(jì)誤差方差陣

(11)

x1(i,j)的預(yù)測(cè)誤差方差矩陣

(12)

動(dòng)態(tài)噪聲估計(jì)值：

(13)

動(dòng)態(tài)噪聲估計(jì)誤差方差陣

Pw(i,j)=Q(i,j)-J(i,j)Ψ-1(i,j)JT(i,j)，

(14)

x2(i,j)的估計(jì)值

(15)

x2(i,j)的估計(jì)誤差方差陣

(16)

其中：

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Bt1(i,j-1)=A1Φ(i,j-1)+B1J(i,j-1)Ψ-1(i,j-1)，

At1(i,j-1)=A1-Bt1(i,j-1)U(i,j-1)C1，

Bt2(i-1,j)=A2Φ(i-1,j)+B2J(i-1,j)Ψ-1(i-1,j)，

At2(i-1,j)=A2-Bt2(i-1,j)U(i-1,j)C1。

初值：

定理1給出了系統(tǒng)(6)(7)(8)的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法，基于上述算法，系統(tǒng)(1)(2)的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法可以相應(yīng)得到。

證明記Y(i,j)為y(0,0),…,y(0,j)；y(1,0),…,y(1,j)；y(i,0),…,y(i,j)張成的線性空間，Y-1(i,j)為Y(i,j)去除向量y(i,j)后的所有觀測(cè)向量張成的空間。

由μ(i,j)的統(tǒng)計(jì)特性知：μ(i,j)⊥Y-1(i,j)，y(i,j)在線性空間Y-1(i,j)上的投影即觀測(cè)向量的預(yù)測(cè)值為：

(23)

(24)

新息方差陣 ：

(25)

把式(24)代入上式可得式(19)。

狀態(tài)向量的預(yù)測(cè)值為x1(i,j)在觀測(cè)序列Y-1(i,j)上的投影

(26)

(27)

由w(i,j)的統(tǒng)計(jì)特性可得

(28)

(29)

則由(26)～(29)可得式(10)。

(30)

即式(13)得證。

狀態(tài)的預(yù)測(cè)誤差為

(31)

則由上式和(24)式可得

(32)

由投影定理得x1(i,j)的狀態(tài)估計(jì)值：

把式(25)和式(32)代入上式，記作

得式(9)和式(18)。

把式(9)、(13)和式(18)代入式(10)可得

Bt2(i-1,j)y(i-1,j)，

(33)

則可得

(34)

把式(34)和式(7)代入上式得式(12)。同理由式(34)和式(7)也可得式(21)。

(35)

(36)

把式(9)、(24)代入式(35)可得

(37)

把上式和式(7)代入式(36)，則式(11)得證。

由式(6)可得式(15)。則

(38)

把式(13)代入上式可得式(14)。

把式(37)和式(38)代入

至此定理1得證。

定理2系統(tǒng)(1)(2)若滿足假設(shè)條件D1～D5，且無(wú)跳躍模，則有如下在線性最小方差意義下最優(yōu)的狀態(tài)估計(jì)算法。

狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)值

(39)

狀態(tài)估計(jì)誤差方差矩陣

(40)

證明

將(39)代入下式，可得

3　數(shù)值仿真

以三階系統(tǒng)為例，來(lái)驗(yàn)證本文提出的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法的有效性。為了計(jì)算方便，假設(shè)Q，R，U，T統(tǒng)計(jì)特性是時(shí)不變的。

其中：E，A，B及C是相應(yīng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣；Q是動(dòng)態(tài)噪聲的方差矩陣；R是觀測(cè)噪聲的方差矩陣；U和T是乘性噪聲矩陣的均值及方差矩陣；F和H是系統(tǒng)等價(jià)變換的非奇異矩陣。

在此例中，x(i,j)是3維狀態(tài)向量，x(i,j)第一分量三維理論值和估計(jì)值的橫截剖面圖如圖1所示，x(i,j)第一分量三維理論值和估計(jì)值橫截剖面圖的絕對(duì)誤差如圖2所示。

圖1　x(i,j)第一分量三維理論值和估計(jì)值的橫截剖面圖

由于系統(tǒng)具有多個(gè)觀測(cè)通道且每個(gè)觀測(cè)通道都受到不同乘性噪聲的影響，使2-D廣義系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)受到更加復(fù)雜因素的影響，圖2表明狀態(tài)估計(jì)值可以較好的跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)的理論值。上述仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出的多通道2-D廣義系統(tǒng)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法的有效性。

圖2　x(i,j)第一分量三維理論值和估計(jì)值橫截剖面絕對(duì)誤差

4　結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)多通道帶乘性噪聲2-D廣義系統(tǒng)提出了其狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法，首先通過(guò)2-D廣義系統(tǒng)的受限等價(jià)變換得到一個(gè)低階多通道2-D FM-Ⅱ模型，以及另一個(gè)由動(dòng)態(tài)噪聲組成的低階子系統(tǒng)，之后推導(dǎo)出以上2個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法，最后利用2-D模型之間的受限等價(jià)變換關(guān)系得到2-D廣義系統(tǒng)的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)算法。該算法可以應(yīng)用到更加復(fù)雜的環(huán)境中，解決系統(tǒng)在更加復(fù)雜環(huán)境中的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。仿真結(jié)果表明系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)值與理論值可以較好地吻合，驗(yàn)證了算法的有效性。

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責(zé)任編輯陳呈超

基金項(xiàng)目：? 國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41506114; 51279185); 山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2010DQ003)

收稿日期：2014-10-12；

修訂日期：2015-08-10

作者簡(jiǎn)介：張玲，女，博士，副教授。主要研究方向：智能控制與智能信息處理。E-mail：zljoan@163.com

中圖法分類號(hào)：TN929.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-5174(2016)07-124-06

DOI:10.16441/j.cnki.hdxb.20140350

Optimal State Estimation Algorithm for 2-D Generalized System with Multi-Channel Multiplicative Noise

ZHANG Ling, LIU Chuan, YANG Rong-Rong

(College of Engineering, Ocean University of China, Key Laboratory of Marine Mechanical and Electrical Equipment & Instruments of Shandong Provincial Universities, Qingdao 266100,China)

Abstract:The two-dimensional (2-D) system and it’s generalized model are widely used in many fields such as image processing, power grid. The system state of the two-dimensional (2-D) state space model is the function of two independent variables. With the expansion of the scope of study objects for modern control theory, the research achievement based on 2-D state space model is becoming more and more abundant. The multiplicative noise is widely existed in the problems studied in 2-D model, for instance, the salt-and-pepper noise in the territory of image processing. In this paper, a set of optimal state estimation algorithm is proposed for 2-D generalized Roesser model with multi-channel multiplicative noise. In previous research on the 2-D generalized system, the multiplicative noise factor is usually assumed as a scalar stochastic sequence. In this paper, the multiplicative noise factor is a diagonal matrix, whose elements in the diagonal matrix are scalar stochastic sequences, which means the system is not only multi-channel but also each channel is interfered by different multiplicative noises. The system model and the corresponding optimal estimation algorithm can be flexibly applied for the state estimation problem in more complicated environment. The algorithm has recursive structure and can overcome the problem of “dimensional disaster” in previous method by adopting line by line state filtering sequence. The algorithm is convenient for realization on computer due to low computational complexity. The simulation results verified the effectiveness of the proposed algorithm.

Key words:multi-channel; multiplicative noise; 2-D system; generalized system; optimal estimation

Supported by National Natural Science Foundation of China (41506114; 51279185); Natural Science Foundation of Shandong Province (ZR2010DQ003)