馬柳州 張加晉 王川陽萬 軍

（1.江蘇省地質(zhì)勘查技術(shù)院 江蘇南京 210049 2.福建海洋研究所 福建廈門 361013 3.中國測繪科學(xué)研究院 北京 100830）

設(shè)計矩陣與觀測數(shù)據(jù)間存在的一種矛盾及其解決方法

馬柳州1張加晉2王川陽3萬 軍3

（1.江蘇省地質(zhì)勘查技術(shù)院 江蘇南京 210049 2.福建海洋研究所 福建廈門 361013 3.中國測繪科學(xué)研究院 北京 100830）

在一個觀測系統(tǒng)中，設(shè)計矩陣態(tài)性和觀測精度都與網(wǎng)形空間分布相關(guān)，在某些情況下兩者表現(xiàn)出對立性，兼顧這類矛盾的網(wǎng)形圖形優(yōu)化設(shè)計超出了常規(guī)控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計的范圍，本文提出了折衷函數(shù)法解決這類問題，收到了一定的效果。

圖形強度；優(yōu)化設(shè)計；折衷函數(shù)法

1 引言

G.Schmitt指出，大地網(wǎng)最優(yōu)化設(shè)計與平差過程具有同樣的意義和重要性，事實也表明，大地網(wǎng)最優(yōu)化設(shè)計與最小二乘平差緊密相關(guān)而且在某種程度上來說，兩者已經(jīng)統(tǒng)一在一起了。應(yīng)當(dāng)指出，大地網(wǎng)最優(yōu)化設(shè)計并不比大地網(wǎng)平差計算的重要性低，而且其難度在一定程度上甚至超過大地網(wǎng)平差計算。

研究可以發(fā)現(xiàn)，設(shè)計矩陣的體積和觀測誤差都與網(wǎng)形的空間分布相關(guān)，當(dāng)兩者間存在矛盾時，以網(wǎng)形圖形強度最強為約束的設(shè)計方法將得不到最優(yōu)化設(shè)計方案，因此需要建立折衷函數(shù)，平衡兩者間的矛盾。

2 數(shù)據(jù)矩陣和觀測數(shù)據(jù)間矛盾的一般化解釋

對于線性反問題Ax=b，若數(shù)據(jù)矩陣A的廣義逆為G=f（A），則其解為：

式中：DOP（Dilution Of Precision）稱為誤差放大因子。

由式（2）可得，若δ0為一常數(shù)，DOP越小，則參數(shù)解的精度越高，那么，以反問題解精度最高為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計問題可轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)則。

需要指出，準(zhǔn)則（3）本質(zhì)上是以網(wǎng)形的圖形強度最強為約束的網(wǎng)形優(yōu)化設(shè)計準(zhǔn)則。由于觀測誤差與觀測向量的空間分布相關(guān)，δ0往往是一變量，因此，需要把準(zhǔn)則（3）推廣為：

當(dāng)DOP和δ0間表現(xiàn)出很強的對立關(guān)系，基于準(zhǔn)則（3）和準(zhǔn)則（4）得到的優(yōu)化設(shè)計方案將有很大的差異?；跍?zhǔn)則（3）將得到一個較大的超誤差圓球，而基于準(zhǔn)則（4）將到一個較小的超誤差橢圓，而最上那個狹長的超誤差橢圓為最小化約束δ0得到設(shè)計方案。

3 折衷函數(shù)法

3.1 數(shù)據(jù)矩陣與觀測數(shù)據(jù)精度間矛盾在定位網(wǎng)中的表現(xiàn)

在一個定位問題中，基于準(zhǔn)則（3）可得，數(shù)據(jù)采集階段，需要改善網(wǎng)形圖形強度，數(shù)據(jù)處理階段，需要加入先驗信息或改善反演算法；而基于準(zhǔn)則（4）可得，最小化的DOP不一定不等價與最小化的δx^，當(dāng)網(wǎng)形圖形強度和觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量間存在矛盾，不能忽略矛盾雙方中的任何一方。在實際測量中，這種矛盾更是不可避免，例如，在選擇衛(wèi)星定位星座時，衛(wèi)星高度角過低則偽距觀測量精度明顯下降，為了保證觀測量精度，通常規(guī)定衛(wèi)星最低高度角為5°或10°，而低高度角衛(wèi)星往往可以減小幾何精度衰減因子GDOP的取值，已獲得高強度空間定位網(wǎng)形。選取一組網(wǎng)形結(jié)構(gòu)參數(shù)xnet，設(shè)DOP滿足：

由于觀測數(shù)據(jù)的質(zhì)量也與網(wǎng)形的空間分布相關(guān)，設(shè)觀測系統(tǒng)的單位權(quán)中誤差δ0滿足：

結(jié)合式（5）和式（6），準(zhǔn)則（4）可化為：

需要指出，若控制點靜止，則xnet可選取為待定點向量x；若控制點運動，則xnet可選取為控制點坐標(biāo)向量；若控制點和待定點同時運動，xnet為控制點和待定點坐標(biāo)向量同時相關(guān)的一組向量。

算例1為無多于觀測的前方交會定位模型，現(xiàn)有的結(jié)論：

（1）對于測距交會，最佳交會角；γ=90°

（2）對于測角交會，最佳交會角γ=109.68。

當(dāng)采用測角交會方法定位時，繪出兩控制點鉛垂線上誤差橢圓分布圖，研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)交會角γ=90°時，坐標(biāo)解誤差橢圓為一誤差圓，當(dāng)交會角γ=109.68°時，坐標(biāo)解誤差橢圓面積較小，各方向精度優(yōu)于誤差圓的情形。

對照準(zhǔn)則（4）就不難理解結(jié)論（2）產(chǎn)生的原因了，為了科學(xué)起見，簡單做如下的分析：設(shè)測角精度分布均勻（測角精度與測角大小無關(guān)），且其中誤差為δ0′，將測角觀測量等價轉(zhuǎn)化為測距觀測量為：

由式（8）可得總量距為：

結(jié)合式（9），由誤差傳播定量可得總量距的中誤差δ"為：

其中，α0和 β0為 α 的 β 真值。當(dāng) α0=β0時，則式（10）化為：

式（11）可得，在 α0∈[0，π/2）時，δ"α0為的單調(diào)遞增函數(shù)，且最小值在α0=0處取得，眾所周知，無多余觀測的前方交會定位系統(tǒng)的DOP在α0=45°處取得最小值，因此，在這種情況下，需要利用準(zhǔn)則（4）對定位網(wǎng)形進行優(yōu)化設(shè)計。

可見，結(jié)論（1）是基于準(zhǔn)則（3）得出的結(jié)論，即假定測距精度在定位參數(shù)空間中分布是均勻，而這種假定在很多情況是不合理，因為測量精度取決于觀測條件，而參數(shù)空間的狀態(tài)是其中一個很重要的觀測條件，除此之外，在一些差分定位系統(tǒng)中，如水下差分GPS定位系統(tǒng)，差分方法往往是為了提高觀測量的精度，最大限度的差分可能會導(dǎo)致網(wǎng)形結(jié)構(gòu)變壞。

3.2 折衷函數(shù)法在前方交會中的應(yīng)用

算例2折衷函數(shù)法在前方交會定位中的應(yīng)用。

折衷函數(shù)法可以在測角交會和測距交會最佳網(wǎng)形結(jié)構(gòu)的巨大差異中找到統(tǒng)一的解釋。不妨設(shè)與δ0|PP1|+|PP2|成正例，結(jié)合式（9）可得：

為了避免數(shù)值分析，用設(shè)計矩陣的體積倒數(shù)代替DOP，那么：

建立折衷函數(shù)如下：

對式（14）定量分析的結(jié)果為：

（1）當(dāng)，λ1=1，λ2=0 時，最佳交會角 r=90°；

（2）當(dāng)，時 λ1=0，λ2=1，最佳交會角；r=180°

（3）當(dāng)，λ1=1，λ2=0，98 以及 α=β，最佳交會角 γ≈109.68°

由定量分析結(jié)果可得，當(dāng)設(shè)計矩陣體積和觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量間不存在矛盾時，結(jié)論（1）才是成立的；當(dāng)僅約束觀測數(shù)據(jù)精度最高時，由結(jié)果（2）可知，該定位問題變?yōu)椴贿m定問題。

4 折衷函數(shù)法

算例3折衷函數(shù)法在水下DGPS定位網(wǎng)中的應(yīng)用。

水下DGPS是一種聲納定位系統(tǒng)，其定位原理類似于單差GPS定位。由于水聲信號傳播受外界條件影響很大（聲速，傳播路線等）以及浮標(biāo)分布在同一水平面上，定位空間網(wǎng)形圖形強度和觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量間存在的矛盾更為突出，因此有必要建立折衷函數(shù)模型，平衡兩者間的矛盾。

觀測數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差可以表示為：

在這種特定的物理背景下（水深100m，每100m距離殘差上存在的系統(tǒng)誤差為0.64m），當(dāng)α0=40°和β≈20°時為最佳的折衷方案。

5 結(jié)語

矩陣體積具有明確的幾何意義，矩陣體積的概念可以應(yīng)用到網(wǎng)形圖形強度最優(yōu)化設(shè)計之中；為了解決網(wǎng)形圖形強度和觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量間存在的矛盾，本文提出了折衷函數(shù)法解決這類問題，并通過實例證實了該方法的可行性。

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