常永興1,劉旭東2,楊 杰3
(1.淄博四中;2.淄博市教研室;3.淄川區(qū)教研室)
從弧度制的引入和對數(shù)的發(fā)明談起
——還原數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程,體驗數(shù)學(xué)文化的魅力
常永興1,劉旭東2,楊杰3
(1.淄博四中;2.淄博市教研室;3.淄川區(qū)教研室)
半個多世紀(jì)以前,著名數(shù)學(xué)家柯朗(R.Courant)在名著《數(shù)學(xué)是什么》的序言中寫道:“今天,數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴(yán)重的危機。數(shù)學(xué)教學(xué)有時竟變成一種空洞的解題訓(xùn)練。數(shù)學(xué)研究已出現(xiàn)一種過分專門化和過于強調(diào)抽象的趨勢,而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系。教師、學(xué)生和一般受過教育的人都要求有一個建設(shè)性的改造,其目的是要真正理解數(shù)學(xué)是一個有機整體,是科學(xué)思考與行動的基礎(chǔ)?!?/p>
和所有文化現(xiàn)象一樣,數(shù)學(xué)文化直接支配著人們的行動。孤立主義的數(shù)學(xué)文化,一方面拒人于千里之外,使人望數(shù)學(xué)而生畏;另一方面又孤芳自賞、自言自語,令人把數(shù)學(xué)家當(dāng)成“怪人”。學(xué)校里的數(shù)學(xué),原本是青少年喜愛的學(xué)科,卻成為過濾的“篩子”、打人的“棒子”。優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化,會是美麗動人的數(shù)學(xué)王后、得心應(yīng)手的仆人、聰明伶俐的寵物。伴隨著先進的數(shù)學(xué)文化,數(shù)學(xué)教學(xué)會變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。
下面從弧度制的引入和對數(shù)的發(fā)明方面談?wù)剶?shù)學(xué)發(fā)展的相關(guān)歷程,期待學(xué)生能從中體驗到數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思維的魅力。
阿耶波多(Aryabhata玉,476—550年)是現(xiàn)在知道的印度最早的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家,1976年,為紀(jì)念阿耶波多誕生1500周年,印度發(fā)射了以阿耶波多命名的第一顆人造衛(wèi)星。他只有一本天文數(shù)學(xué)著作《阿耶波多歷數(shù)書》(499)傳世。該書突出的地方在于對希臘三角學(xué)的改進。
改進主要有:
①把半弦與全弦所對弧的一半相對應(yīng)(如圖1),成為今天的習(xí)慣。
圖1
②引入了弧度制
阿耶波多將圓周分為360度,又采用60進制將1度分為60分,這樣將整個圓周分為21600分。再由2r=21600,可得半徑r= 3437.747(取圓周率≈3.1416),定義取整定半徑為r=3438分,這樣就統(tǒng)一了半徑和圓弧之間的單位。原來托勒玫(古希臘)三角學(xué)中有兩套單位。30度弧對應(yīng)的弦值是30個半徑單位(半徑長的1/60為一個單位),30度是圓弧的單位。1度是圓周之后,3°45′=225分,因而引入了弧度制。
現(xiàn)代弧度制是歐拉在《無窮小分析引論》(1748)中倡導(dǎo)的,他是以半徑為單位1來當(dāng)統(tǒng)一單位,這樣圓周為2單位。
弧度制的精髓就在于統(tǒng)一了度量?。ê髞淼慕牵┡c半徑的單位,從而大大簡化了有關(guān)公式及運算。
9710.3265÷2.1829=?
沒有什么比大數(shù)的乘、除、開平方或開立方運算更讓數(shù)學(xué)工作者頭痛,更阻礙計算者了。這不僅浪費時間,而且容易出錯。因此,我開始考慮怎樣消除這種障礙,經(jīng)過長時間的思索,我終于找到了一種漂亮的簡短法則……——《奇妙的對數(shù)定理說明書》
書中借助運動學(xué),用幾何術(shù)語闡述了對數(shù)方法。如圖2,假定兩點P,Q以相同的初速度運動。點Q沿直線CD作勻速運動,CQ=x;點P沿直線AB(長度為107單位)運動,它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離(PB=y)。令P與Q同時分別從A,C出發(fā),那么,定義x為y的對數(shù)。后人稱為納皮爾對數(shù):Naplog。利用對數(shù),納皮爾制作了0°~90°每隔1′的正弦的對數(shù)。
圖2
用微積分推導(dǎo)過程如下:
由AP=107-y,得
將t=0代入,計算積分常數(shù),得C=ln107。
所以lny=-t+ln107。
納皮爾對數(shù)方法公布之后,引起了很多人的興趣,認(rèn)為此方法可以很好地解決大數(shù)乘法問題,因而傳播開來。
沒過多久,英國數(shù)學(xué)家布里格斯(H.Briggs 1561—1631年)與納皮爾合作,又將納皮爾方法中的自然常數(shù)e改成了10,這樣就更方便了,因而產(chǎn)生了我們今天的常用對數(shù)。
常用對數(shù)是如此好用,以至于不久就被廣泛用到了當(dāng)時的天文學(xué)中,后來拉普拉斯曾說:“對數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞動力而延長了天文學(xué)家的壽命?!卑⒗?dāng)?shù)字、十進制和對數(shù)被稱作數(shù)學(xué)計算方面的三大發(fā)明。
注:本文系淄博市市級課題高中數(shù)學(xué)“基于數(shù)學(xué)文化的高中新授課教學(xué)研究與實驗”課題研討會專題發(fā)言稿。
·編輯溫雪蓮
常永興,男,中學(xué)一級教師,學(xué)士學(xué)位,淄川區(qū)優(yōu)質(zhì)課一等獎,淄川區(qū)教學(xué)能手,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考編輯部第十屆“解題教學(xué)高級研討班”學(xué)員,現(xiàn)參與市級課題高中數(shù)學(xué)“基于數(shù)學(xué)文化的高中新授課教學(xué)研究與實驗”。