李　浩,彭　華

(解放軍信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院,河南鄭州 450001)

多徑信道下MIMO系統(tǒng)發(fā)送天線數估計

李浩,彭華

(解放軍信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院,河南鄭州 450001)

為了解決認知無線電或信號截獲中多徑信道下MIMO系統(tǒng)發(fā)送天線數估計問題,首先分析了現有模型在多徑信道下失效的原因,將MIMO多徑信道模型等效變換出一種虛擬信道矩陣,從而建立多徑信道下MIMO系統(tǒng)發(fā)送天線數估計模型;然后,利用隨機矩陣理論中協(xié)方差矩陣最小特征值分布的相關研究結果,證明了時不變瑞利信道的協(xié)方差矩陣最小特征值收斂于第二類Tracy-Widom分布,分析了該特點對發(fā)送天線數估計的影響,并提出一種改進的RMT估計算法來估計多徑信道下MIMO系統(tǒng)發(fā)送天線數.最后對改進算法進行了仿真驗證,結果表明在低信噪比和小數據條件下,改進算法的估計性能相比RMT算法有較大提升.

多輸入多輸出;發(fā)送天線數估計;多徑信道;隨機矩陣理論

1　引言

近年來,多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)系統(tǒng)在無線通信領域得到了廣泛的應用,MIMO中新技術的發(fā)展給認知無線電或信號截獲中等特殊的應用背景帶來了新的挑戰(zhàn).對于MIMO信號,獲知發(fā)送天線數是能夠正確解調MIMO信號的必要條件,因此,對發(fā)送天線數的估計成為MIMO信號盲接收技術中一個值得研究的關鍵問題.本文要解決的就是在多徑信道條件下MIMO信號發(fā)送天線數估計的問題.

對于MIMO系統(tǒng)中發(fā)射天線數目的估計,與信源個數估計有著緊密的聯(lián)系,需要解決兩個重要問題:一是信號子空間特征值的獲取;二是根據特征值估計出信源個數.對于第一個問題,一般的解決方法是利用信號子空間的相關理論,通過信號觀測樣本估計出協(xié)方差矩陣中信號子空間的特征值.

對于第二個問題,最常見的是基于信息論的模式選擇方法,該方法用最小描述長度(Minimum Description Length,MDL)和Akaike信息論準則(Akaike Information Criterion,AIC)構造目標函數,利用目標函數估計信號個數,這些方法早在上世紀80年代就應用到了陣列信號個數估計的問題中[1～4].之后,Xu等[5]對AIC和MDL方法進行了性能分析和對比,并證明MDL方法是一種一致估計方法,但在小數據和低信噪比條件下性能不如AIC方法.2010年Boaz Nadler[6]在總結前人工作的基礎上,更加深刻的揭示了AIC和MDL方法的關系,并對AIC的方法進行了改進,改進后的方法不僅是一致估計,并且在小數據和低信噪比方面相比MDL仍有較大優(yōu)勢.除了信息論的方法,文獻[7]提出了特征值門限預測(PET:Predicted Eigen-value Threshold)的方法,通過一步預測簡化算法,并對數據樣本協(xié)方差矩陣的特征值對噪聲方差的上限進行估計,利用該預測上限值判斷發(fā)射天線數目,該方法無法在數學上給出嚴謹的性能分析,但仿真結果來看該方法同改進的AIC算法性能相近.1995年Wu等人[8]提出一種基于蓋爾圓盤的信號個數估計算法,該方法能夠在色噪聲的條件下實現信號個數估計,缺點是計算復雜度較高,需要進行多次矩陣分解計算.最近十年,隨機矩陣理論(Random Matrix Theory,RMT)得到了快速發(fā)展,相關文獻[9～12]給出了Wishart矩陣最大(或最小)特征值的分布情況,文獻[13]則利用噪聲協(xié)方差矩陣是Wishart矩陣這一性質,根據最大特征值分布設定虛警概率給出判決門限,估計噪聲子空間和信號子空間的維數,并給出了漸進一致性估計的證明.由于該算法利用的統(tǒng)計量最為精確,因此在白噪聲條件下,該算法相比其他幾種一致估計的方法擁有最佳的估計性能.

在上述理論的基礎上,近年來針對不同的應用背景,上述幾種典型算法又得到了改進和進一步分析.文獻[14,15]對MDL算法進行了改進,降低了計算復雜度.一些文獻[16～18]則針對空域相關的情況,對信源個數估計問題進行了分析.文獻[19]則利用延遲相關預處理的方法,解決了色噪聲條件下信源個數估計的問題.

另外針對MIMO天線數估計問題,2007年Somekh[20]等人將信息論的方法用于MIMO系統(tǒng)發(fā)送天線數估計中,針對信道時變的特點提出用多次測量相結合的方法提高估計性能.Shi等人[21]提出了一種Schur補檢驗信號矩陣秩增減的方法,這種方法適用于發(fā)送天線數可變的情況,可以利用較小的數據量跟蹤發(fā)送天線數的變化,缺點是信噪比性能較差.2011年K.Hassan等人[22]通過仿真對比指出PET算法在MIMO天線具有相關性的情況下,相比于信息論的算法仍具有較好的性能.

但上述文獻全都沒能在多徑信道條件下分析解決MIMO天線數估計的問題,其中最大的問題就是多徑信道使MIMO信號在時域上具有相關性,導致原信號模型失效.本文致力于解決多徑信道條件下MIMO系統(tǒng)發(fā)送天線數估計的問題.

2　MIMO系統(tǒng)發(fā)送天線數估計模型

通常來說,天線數估計問題與信號源數量估計問題十分相似,解決該問題不需要已知星座映射和調制方式,一般只需假設各發(fā)送天線的信號獨立,但本文需要解決多徑信道下的天線數估計問題,而離散多徑信道的階數與信號采樣率有關,因此,在本文中假設接收信號沒有定時偏差.下面來分析平坦信道和多徑信道下,MIMO信號發(fā)送天線數估計模型.

2.1MIMO系統(tǒng)發(fā)送天線數估計模型

一個MIMO系統(tǒng),有個發(fā)送天線和Nr個接收天線,且有Nr>Nt.在一段時間內,可以認為MIMO信道為時不變信道,并且不考慮空域相關性,則n時刻Nr個接收天線接收到的信號矢量為:

y(n)=Hx(n)+v(n)

(1)

根據信號子空間的理論,定義接收信號總體協(xié)方差矩陣:

(2)

(3)

(4)

2.2多徑信道MIMO發(fā)送天線數估計模型

上述模型在時不變信道下能夠取得較好的效果,但在多徑信道條件下無法實現天線數的估計,下面來分析其無法應用的原因.首先對信號模型進行分析,多徑信道MIMO系統(tǒng)的信號模型與2.1中給出的信號模型略有不同,假設離散多徑信道的最大階數為L,則信號可以建模為:

(5)

(6)

(7)

進一步有:

(8)

對上述模型做進一步等效,仍舊假設多徑離散信道最大階數為L,觀測第i個接收天線接收到的最近K(K≥1)個數據:

(9)

(10)

進一步定義信道矩陣:

HK

(11)

該信道矩陣是對MIMO多徑信道模型以一種數學矩陣方式的變換和擴展,并不是真實的信道矩陣,因而稱之為虛擬信道.根據該虛擬信道矩陣,對于Nr個接收天線接收到的最近K(K≥1)個數據組成的維數為NrK×1的矢量,有:

yK(n)=HKxK(n)+v(n)

(12)

其中,yK(n)=[y0(n),…,y0(n-K+1),…,yNr(n),…]T.

3　多徑信道MIMO發(fā)送天線數估計

由第2節(jié)中的分析可知,從每個接收天線選取長度為K的信號組成矢量yK(n),該矢量維數為NrK×1,用該數據構造樣本協(xié)方差矩陣:

(13)

對該相關矩陣做特征值分解,每改變一次K的取值,就可以通過AIC、RMT等算法得到一次信號協(xié)方差矩陣秩Nt(K+L-1)的估計值,改變K的取值,能夠聯(lián)合估計出天線數與信道階數.實現該過程,最重要的是要選取合適的Nt(K+L-1)估計方法,在白噪聲條件下,基于RMT的信號個數估計算法利用的統(tǒng)計量最為精確,相比其他幾種一致估計的方法擁有最佳的估計性能,因此,本文在該算法的基礎上,根據MIMO信道協(xié)方差矩陣的分布特性,提出了一種改進的RMT方法.

3.1基于RMT的信號個數估計

隨機矩陣理論的發(fā)展為分析信號個數估計問題帶來了新的思路,并且由于隨機矩陣理論中給出的統(tǒng)計量最為精確,因此在白噪聲條件下,該算法相比其他幾種一致估計的方法擁有最佳的估計性能.下面簡要介紹一下基于RMT的信號個數估計算法.

(14)

其中μNsamp,Nr和ξNsamp,Nr則是觀測參數Nr和Nsamp的函數,對于實信號有β=1稱為第一類Tracy-Widom分布;對于復信號有β=2,此時FTW2(s)表示第二類Tracy-Widom分布,此時有:

(15)

(16)

其中α表示誤警概率,能夠用于控制該假設模型的過估計概率,并有:

FTWβ(s(α))=1-α

(17)

在給定α的條件下對閾值s(α)的選取需要計算Tracy-Widom分布的逆函數,但分布沒有閉合表達式,文獻[13]提供了兩種方法,一種是用文章中給出的工具包通過數值仿真的方法計算,另一種是在α<<1的條件下,用Tracy-Widom分布逆函數的近似計算表達式:

(18)

針對信號個數估計問題,可以證明,如果存在Nt個發(fā)送信號只要信號功率足夠大,那么觀測信號樣本協(xié)方差矩陣Ry的特征值lNt+1的分布情況也服從Tracy-Widom分布.因而上述假設檢驗可以拓展到多個信號的檢測,對第m個樣本特征值lm的顯著性進行檢驗,判斷是否滿足以下條件:

(19)

(20)

文獻[13]詳細論證了如何選取誤警概率α能夠保證算法的漸進一致估計,還分析了算法的檢測性能并給出了仿真驗證.

3.2基于RMT的MIMO發(fā)送天線數估計

為了討論檢測性能和信號的檢測邊界,必須使信號協(xié)方差矩陣的特征值可控,文獻[13]給出一個特殊的H矩陣:

(21)

不失一般性,假設各發(fā)送信號功率為1,就可以使信號協(xié)方差矩陣特征值分解滿足:

(22)

(23)

顯然該模型與MIMO系統(tǒng)的信道模型不符,并且由于信道矩陣H為隨機矩陣,難以保證ρNt>ρDET,因此,下面對MIMO信道矩陣進行分析,討論信道對于MIMO系統(tǒng)天線數估計的影響.一般來說,無論是時不變平坦衰落還是時不變多徑信道,都認為MIMO系統(tǒng)的信道矩陣H的元素是幅度服從瑞利分布,相位服從均勻分布的復隨機變量,因此,MIMO信道矩陣也可以用隨機矩陣理論來分析.

文獻[12]指出,如果隨機變量r滿足下面條件:

(A1):隨機變量r的分布滿足對稱性,即r和-r的概率密度相同;

(A2):存在常數C0使E|r|2k≤(C0k)k,即隨機變量r具有亞高斯拖尾;

(A31):E[r2]=E[rr*]=1;

(A32):E[r2]=0且E[rr*]=1;

當直譯無法完整表達原文文化內涵時，譯者可以在其基礎上結合注釋加以說明。這樣一方面保留了原文的文化內涵，另一方面也能使兒童讀者了解更多的外國文化。

其中(A31)或(A32)滿足一條即可.那么,有以下結論:

對于固定的β∈{1,2},令λ1表示隨機矩陣X的協(xié)方差矩陣XXH的最小特征值,X的維數為M×N(M≤N)、各元素獨立且滿足(A1)、(A2)或(A3β),當M,N→∞時,隨機變量

(24)

的分布收斂于第β類Tracy-Widom分布.

(25)

(26)

H0:至多m-1個信號

H1:至少m個信號

(27)

其中:

(28)

(29)

如果滿足上式,那么表示接受假設H1,令m=m+1,繼續(xù)進行檢測,直至假設H0被接受,停止檢測估計信號個數為m-1.

3.3算法步驟

為了降低基于RMT算法的欠估計概率,根據MIMO信道協(xié)方差矩陣的分布特性,提出了一種改進的RMT方法,根據上述分析,總結多徑信道MIMO系統(tǒng)天線數估計算法步驟如下:

(1)對K=1、K=2分別作如下估計:

3.4漸進一致性分析

上述算法針對RMT算法在小數據和低信噪比條件下欠估計概率較大的問題,利用了MIMO信道協(xié)方差矩陣的最小特征值分布的性質,從而提升發(fā)送天線數估計的檢測概率.那么這種性質的利用是否會影響信噪比較高或者大數據條件下估計的性能,下面給出具體分析.

(30)

因此有:

(31)

(32)

則:

(33)

>s(αH)

4　算法仿真

另外,還可以從均方誤差角度比較兩種算法的性能,定義均方誤差:

由四組的仿真結果可以看出本文的改進算法比RMT算法在小數據量、低信噪比的條件下誤估計概率更低、均方誤差更小,這是因為改進算法利用了信道系數特征值分布的特點,使其對發(fā)送天線數的估計更為精準.同時也可以看出,隨著信噪比的升高、數據量的增加,噪聲特征值分布的特點起主導作用,式(29)越來越難以滿足,所以兩種算法在中高信噪比(大于2dB)和較大數據量(大于150個符號)時估計性能幾乎相同.另外,仿真結果還驗證了上一節(jié)中對算法性能的分析,在信噪比較高和數據量較大的情況下算法誤估計概率趨于0,驗證了算法的漸進一致性.

5　總結

針對MIMO發(fā)送天線數估計問題,本文主要做出了兩點貢獻:一、分析了現有模型在多徑信道下失效的原因,建立了一種虛擬信道矩陣來解決多徑信道下MIMO信號子空間特征值獲取的問題;二、根據多徑信道下發(fā)送天線數估計問題的特點,利用隨機矩陣理論中最小特征值分布的相關研究結果,證明了時不變瑞利信道的協(xié)方差矩陣最小特征值分布服從第二類Tracy-Widom分布,分析了該特點對發(fā)送天線數估計的影響,并提出一種改進的RMT估計算法來估計多徑信道下MIMO系統(tǒng)發(fā)送天線數和信道階數.最后對改進算法進行了仿真驗證,結果表明在低信噪比和小數據條件下,改進算法的估計性能相比RMT算法有較大提升.

本文假設信道模型為信道系數服從瑞利分布的時不變多徑信道,而實際的無線通信環(huán)境、尤其是移動通信中MIMO信道常常會具有時變特性或者發(fā)送(接收)天線之間具有相關性,因此,如何分析這些特性給發(fā)送天線數估計帶來的影響,并克服這些影響將是很具挑戰(zhàn)性和實際意義的工作.

附錄

證明對于幅度服從瑞利分布,相位服從均勻分布的復隨機變量滿足文獻[12]條件,即3.2中給出的(A1)、(A2)、(A3).

令復隨機變量r=A·ejθ,其中A為服從參數為b的瑞利分布:

由于r=A·ejθ,令φ=θ-sign(θ)π,則-r=A·ejφ由于θ為均勻分布,可得:

則f(r)=f(-r),滿足條件(A1);

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李浩男,1986年12月出生,河北衡水人.2009年和2012年在解放軍信息工程大學分獲工學學士、工學碩士學位.現為解放軍信息工程大學信息與通信工程專業(yè)博士研究生,主要研究方向通信信號處理、盲信號處理.

E-mail:leo.lihao@163.com.

彭華男,1973年出生,江西萍鄉(xiāng)人.教授、博士生導師.1995年,1998 年和2002 年在解放軍信息工程大學分別獲得工學學士,工學碩士和工學博士學位.現為解放軍信息工程大學教授,主要從事通信信號處理、軟件無線電、盲信號處理等方面的研究工作.

Detecting the Number of Transmit Antennas in MIMO System with Multi-Path Channel

LI Hao,PENG Hua

(Institute of Information System Engineering,Information Engineering University,Zhengzhou,Henan 450001,China)

Under the condition of unauthorized receivers and cognitive radios,the problem of detecting the number of transmit antennas in MIMO system with multi-path channel is to be solved.To achieve this goal,we analyze the invalidation of presenting model and transform the MIMO multi-path channel model into virtual channel matrix to create the model of detecting the number of transmit antennas in MIMO system with multi-path channel.Then,the result of least eigen-value of covariance in random matrix theory is applied to the proof,which shows that the least eigen-value of channel covariance whose element obeys the Rayleigh distribution,converges in distribution to the Tracy-Widom law TW2.The effect on detecting the number of transmit antennas of this property is analyzed and an improved algorithm based on RMT,which could detect the number of transmit antennas in MIMO system with multi-path channel,is proposed.At last,the simulation shows that compared with the RMT algorithm the improved algorithm has better performance,in the condition of low SNR and small data size.

multiple input multiple output;detecting the number of transmit antennas;multiple-path channel;random matrix theory

2015-01-22;

2015-12-21；責任編輯：李勇鋒

國家自然科學基金(No.61401511)

TN911.7

A

0372-2112 (2016)07-1539-09

??學報URL:http://www.ejournal.org.cn

10.3969/j.issn.0372-2112.2016.07.003