王付永，楊洪勇，韓輔君

(魯東大學信息與電氣工程學院，山東煙臺 264025)

多領航者網絡化系統(tǒng)的動態(tài)群集運動

王付永，楊洪勇，韓輔君

(魯東大學信息與電氣工程學院，山東煙臺 264025)

針對時變動態(tài)切換拓撲下具有多個領航者的網絡化系統(tǒng)群集運動問題，本文分別給出了一階/二階網絡化系統(tǒng)的控制算法，并對所提出的控制算法進行了理論分析.運用現代控制理論、代數圖論和矩陣論等分析工具，研究了當通信拓撲為動態(tài)聯合連通時，系統(tǒng)可以實現群集運動，即系統(tǒng)的運動軌跡都收斂到由多個領航者構成的凸包中.通過對系統(tǒng)信息拓撲連通部分的進一步研究，得到了二階網絡化系統(tǒng)群集運動的約束條件.最后應用仿真實驗驗證了結論的正確性.

多領航者；網絡化系統(tǒng)；群集運動；聯合連通

1　引言

近年來，基于生物學啟發(fā)的網絡化系統(tǒng)分布式協調問題引起了眾多研究者的廣泛關注.在生物學、社會行為學、計算機圖形學、通信網絡等分布式控制領域的應用，大大推動了對網絡化系統(tǒng)協同運動的深入研究.

網絡化系統(tǒng)的一致性問題是分布式協同控制的一個重要研究方向[1～3].包容控制是一種具有多領航者的類一致性問題，其目的在于通過設計跟隨者的控制協議使得跟隨者最終收斂到領航者圍成的某一目標區(qū)域內(領航者圍成的凸包內).具有單領航者的包容控制實際上是一致性跟蹤問題[4～6]，具有多領航者的群集運動控制主要包括一階網絡化系統(tǒng)[7～10]、二階網絡化系統(tǒng)[11～13]和非線性系統(tǒng)[14].多領航者網絡化系統(tǒng)的群集運動控制，就是具有多個領航者的網絡化系統(tǒng)的包容控制問題.

文獻[7]首先研究了無向連通網絡中一階網絡化系統(tǒng)的包容控制問題，并利用偏差分方程的方法證明了控制算法的有效性.文獻[8]討論了一階網絡化系統(tǒng)的包容控制問題，并證明了當網絡拓撲連通時系統(tǒng)可以實現包容控制.文獻[9]研究了有向網絡中固定拓撲和切換拓撲兩種情況下一階網絡化系統(tǒng)的包容控制問題，并給出了系統(tǒng)收斂的充要條件.文獻[10]研究了一階線性網絡化系統(tǒng)的分布式包容控制問題，提出了一種基于動態(tài)輸出反饋的控制算法.文獻[11]針對具有動態(tài)領航者的二階網絡化系統(tǒng)，分別提出了連續(xù)漸近包容控制算法和離散漸近包容控制算法.文獻[12]研究了隨機切換拓撲下二階網絡化系統(tǒng)的包容控制問題，并提出了一種基于不可約馬爾科夫鏈信息拓撲的包容控制算法.文獻[13]研究了二階網絡化系統(tǒng)的分布式包容控制問題，并給出了系統(tǒng)收斂的充分必要條件.文獻[14]研究了非線性網絡化系統(tǒng)的姿態(tài)包容控制問題，并提出了兩種有限時間收斂的包容控制算法.

在實際應用中，通信拓撲結構通常是變化的，不連通的.在網絡拓撲為聯合連通條件下，文獻[15]研究了一階時滯網絡化系統(tǒng)的一致性問題，并擴展到了二階時滯網絡化系統(tǒng)[16].文獻[17]研究了時滯系統(tǒng)和非時滯系統(tǒng)兩種情況下具有動態(tài)領航者的二階網絡化系統(tǒng)的一致性跟蹤問題.文獻[18]則研究了非線性網絡化系統(tǒng)的一致性跟蹤問題.因此在系統(tǒng)拓撲不連通的情況下，研究具有多個領航者的網絡化系統(tǒng)的群集運動控制問題具有十分重要的意義.

本文研究在聯合連通條件下由多個領航者引導的一階和二階網絡化系統(tǒng)的群集運動問題.本文的創(chuàng)新點在于假設系統(tǒng)信息拓撲不連通的情況下，提出了具有多領航者的網絡化系統(tǒng)在聯合連通條件下的群集運動控制算法，應用矩陣理論和現代控制理論，研究了算法的收斂性.

2　代數圖論

設G=(V,ω,A)是n個節(jié)點的權重無向圖，V={1,2,…,n}為一個頂點(或節(jié)點)集合，ω?V×V為一個邊的集合，A=[aij]∈n×n為權重鄰接矩陣.對于?i∈V，aii=0；對于?i,j∈V,i≠j，若(i,j)∈ω，則aij>0，否則，aij=0.節(jié)點i的鄰居集合定義為Ni={j∈V|(i,j)∈ω}.定義D=diag{d1,d2,…,dn}∈n×n為圖G的度矩陣，其中aij，i=1,2,…,n.權重圖G的Laplacian矩陣定義為：L=D-A∈n×n.

定義1如果網絡化系統(tǒng)中的一個自主體至少存在一個鄰接成員，則稱為跟隨者，否則稱為領航者.

定義2[16]設拓撲圖G1,G2,…,Gm具有相同的頂點集V，其并集記為G1-m，它的節(jié)點集是V，邊集是所有圖G1,G2,…,Gm的邊的并集，它的第i個節(jié)點和第j個節(jié)點間的鏈接權重是圖G1,G2,…,Gm第i個節(jié)點和第j個節(jié)點間所有的鏈接權重之和.稱G1,G2,…,Gm為聯合連通，如果它們的聯合圖G1-m是連通的.

考慮一組無窮有序的有界連續(xù)時間段[tr,tr+1),r=1,2,…,且t1=0,tr+1-tr≤T1,T1>0.假設每個時間段[tr,tr+1)中存在一組非重疊的有限子序列[tr,j,tr,j+1),j=1,2,…,mr，且系統(tǒng)拓撲在[tr,j,tr,j+1)內保持不變，其中tr,1=tr，tr,mr+1=tr+1，tr,j+1-tr,j≥T2,T2>0.令σ(t):[0,+∞)→Γ,Γ={1,2,…,N}為一個分段切換常函數，N為總拓撲數.本文研究由n個跟隨者和m個領航者組成的分布式網絡化系統(tǒng).系統(tǒng)在t時刻的信息拓撲圖記為Gσ(t)，相應的Laplacian矩陣記為Lσ(t).其中，由n個跟隨者構成的信息拓撲圖記為GFσ(t)，相應的Laplacian矩陣記為LFσ(t).

3　一階多領航者網絡化系統(tǒng)群集運動控制算法分析

考慮一個由n個跟隨者和m個領航者構成的網絡化系統(tǒng).跟隨者集合與領航者集合分別記為F={1,2,…,n}和Υ={n+1,n+2,…,n+m}.假設一階網絡化系統(tǒng)動態(tài)方程描述為：

(1)

其中，xi(t)∈，ui(t)∈分別為網絡化系統(tǒng)中第i個自主體的狀態(tài)和控制輸入.

假設1由n個跟隨者和m個領航者構成的網絡化系統(tǒng)拓撲在非重疊時間區(qū)間[tr,tr+1),r=1,2,…內為聯合連通的.

假設2非重疊時間區(qū)間[tr,j,tr,j+1)?[tr,tr+1),j=1,2,…,mr內，分布式網絡化系統(tǒng)存在一連通子集.連通子集中任意一個跟隨者i，至少與一個領航者j之間存在一條路徑.

假設一階網絡化系統(tǒng)控制協議為：

(2)

根據定義3，系統(tǒng)(1)可描述為：

(3)

其中，x(t)=[x1(t),…,xn(t),xn+1(t),…,xn+m(t)]T.

定義4[9]設集合X={x1,x2,…,xm}為實向量空間V?的子集，X的凸包定義為}.

(4)

(5)

在動態(tài)切換拓撲下網絡化系統(tǒng)式(3)可描述為：

(6)

在每個時間段[tr,j,tr,j+1)內，系統(tǒng)(6)可以被分解為nσ個子系統(tǒng)，即

(7)

定理1考慮由n個跟隨者和m個領航者構成的一階動態(tài)網絡化系統(tǒng)，且滿足動態(tài)方程式(1)，在假設1和假設2條件下，則系統(tǒng)在控制協議(2)下能夠實現漸近包容控制.

證明由式(7)，得

即有

(8)

在時間段[tr,j,tr,j+1)內解式(8)可得

(9)

4　二階多領航者網絡化系統(tǒng)群集運動控制算法分析

假設網絡化系統(tǒng)由n個跟隨者和m個領航者組成，其二階網絡化系統(tǒng)動態(tài)方程描述為：

i=1,…,n,n+1,…,n+m

(10)

其中，qi(t)∈，pi(t)∈，ui(t)∈分別為網絡化系統(tǒng)中第i個自主體的位置信息、速度信息和控制輸入.假設二階網絡化系統(tǒng)控制協議為：

+γ(pi(t)-pj(t))], i∈F

pi(t)=0, i∈Υ

(11)

其中，α,β,γ均為常數.

根據式(10)和式(11)，二階網絡化系統(tǒng)可描述為：

(12)

其中，

pΥ(t)=[pn+1(t),…,pn+m(t)]Τ，ξF(t)表示跟隨者的信息，ξΥ(t)表示領航者的信息，qF(t)和qΥ(t)分別表示跟隨者和領航者的位置信息，pF(t)和pΥ(t)分別表示跟隨者和領航者的速度信息.采用與式(4)相同的處理方法，存在一個置換矩陣Eσ，使得

(13)

(14)

(15)

其中，

i=1,2,…,nσ.

在每個時間段[tr,j,tr,j+1)內，系統(tǒng)(12)可以被分解為nσ個子系統(tǒng)，即

(16)

其中，

定理2考慮由n個跟隨者和m個領航者構成的二階動態(tài)網絡化系統(tǒng)，且滿足動態(tài)方程式(10)，在假設1和假設2條件下，且對任意的t∈(0,+∞)滿足

(17)

則系統(tǒng)在控制協議(11)下能夠實現漸近包容控制.其中，μk表示矩陣(-LFσ)的特征值.

證明由式(16)，得

(18)

(19)

由式(18)，得

由式(19)，得

在時間段[tr,j,tr,j+1)內解式(18)可得

5　實例分析

考慮3個領航者和6個跟隨者，領航者集合和跟隨者集合分別為Υ={7,8,9}和F={1,2,3,4,5，6}，其動態(tài)拓撲圖如圖1所示.假定系統(tǒng)互連拓撲圖在時刻t=kT,k=0,1,…，在拓撲圖G1～G4中隨機地切換，T取為0.5s.系統(tǒng)互連拓撲圖的連接權重下圖中已標記，未標記的默認為1.

5.1一階網絡化系統(tǒng)數值仿真

跟隨者和領航者的初始位置分別取為x1(0)=(0,0)，x2(0)=(2,0)，x3(0)=(4,0)，x4(0)=(6,0)，x5(0)=(8,0)，x6(0)=(10,0)；x7(0)=(4,6)，x8(0)=(4,8)，x9(0)=(6,8).系統(tǒng)的運動軌跡如圖2，可見各跟隨者的位置最終漸近收斂到了由三個領航者的位置所圍成的平面三角形區(qū)域內，即一階多領航者網絡化系統(tǒng)實現了群集運動.

5.2二階網絡化系統(tǒng)數值仿真

根據系統(tǒng)聯合拓撲圖G，得系統(tǒng)矩陣LF.經計算，LF的特征值約為：10.4630，4.7517，3.7539，2.2568，1.1940，0.5806.取β=1.0>0，γ=-0.2，α=2.1.跟隨者的初始位置及初始速度分別取為q1(0)=(1,1)，q2(0)=(2,2)，q3(0)=(2,7)，q4(0)=(3,5)，q5(0)=(5,6)， q6(0)=(7,3)，p1(0)=(2,6)，p2(0)=(3,8)，p3(0)=(4,6)，p4(0)=(5,5)，p5(0)=(6,3)，p6(0)=(9,7).靜態(tài)領航者的初始位置取為q7(0)=(8,10)，q8(0)=(10,8)，q9(0)=(10,10).系統(tǒng)的運動軌跡如圖3，可見各跟隨者的位置最終漸近收斂到了由三個領航者的位置所圍成的平面三角形區(qū)域內，即二階多領航者網絡化系統(tǒng)實現了群集運動.

6　結論

本文研究了在聯合連通條件下具有多個靜態(tài)領航者的網絡化系統(tǒng)的群集運動問題，并分別針對一階/二階系統(tǒng)提出了相應的控制算法.運用控制理論及代數圖論等理論工具分別對動態(tài)網絡化系統(tǒng)進行了收斂性分析，給出了一階系統(tǒng)的一般收斂性條件以及二階系統(tǒng)收斂性對控制增益系數的約束條件.仿真示例分別對一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的理論結果進行了有效驗證.

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王付永男，1990年3月出生，山東濟南人.2013年于魯東大學獲得學士學位，現為魯東大學碩士研究生，主要研究領域為復雜網絡、多智能體編隊控制等.

E-mail：wangfuyong0323@163.com

楊洪勇男，1967年9月出生，山東慶云人.2005年畢業(yè)于東南大學自動化系，獲得博士學位，現為魯東大學信息與電氣工程學院教授，主要從事復雜網絡、多智能體編隊、智能控制、非線性系統(tǒng)控制等領域研究工作.

E-mail：hyyang@yeah.net

Flocking Motion of Dynamic Networked Systems with Multiple Leaders

WANG Fu-yong,YANG Hong-yong,HAN Fu-jun

(College of Information and Electrical Engineering,Ludong University,Yantai,Shandong 264025,China)

Control algorithms are presented for the first-order and second-order networked systems with multiple leaders and time-varying dynamic switching topologies.By applying modern control theory and algebraic graph theory,the cooperative motion of networked systems with jointly-connected topologies is studied,and the flocking motion control of networked systems is obtained,i.e.,trajectories of multi-agent systems are converged to the convex hull formed by multiple leaders.Through further researching the connected portion of networked systems,the constraint condition of flocking motion control for second-order networked systems is achieved.Finally,a simulation example is given to verify the effectiveness of the conclusion.

multiple leaders;networked systems;flocking motion;jointly-connected

2015-04-14；

2015-08-08；責任編輯：孫瑤

國家自然科學基金(No.61273152)；山東省科技發(fā)展計劃(No.2012YD03110)

TP27

A

0372-2112 (2016)07-1751-06

??學報URL:http://www.ejournal.org.cn

10.3969/j.issn.0372-2112.2016.07.033