柳合龍，張婭莉，程傳敏

(1. 信陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000；2. 信陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000)

0 引言

對(duì)艾滋病傳染過(guò)程的分析多用常微分方程和離散差分方程,但現(xiàn)實(shí)世界是充滿隨機(jī)性的,如感染具有隨機(jī)性,HIV轉(zhuǎn)化為艾滋病也具有隨機(jī)性,對(duì)于理論研究中只考慮理想的確定性狀態(tài)這一做法已經(jīng)不能滿足實(shí)際的需要,因此在HIV的理論研究中加入隨機(jī)現(xiàn)象是十分必要的.隨機(jī)微分方程應(yīng)用范圍非常廣泛,經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)的努力,眾多學(xué)者在隨機(jī)微分方程的理論研究與實(shí)際應(yīng)用方面做出了許多有意義的工作,取得了一系列成果[1-9].DALAL, GREENHALGH 和MAO[10-11]等學(xué)者對(duì)HIV的隨機(jī)模型進(jìn)行了研究. 艾滋病自1985年傳入中國(guó),就引起了媒體的高度關(guān)注,比如宣傳艾滋病的病因、早期癥狀、傳播途徑、預(yù)防措施以及倡導(dǎo)社會(huì)關(guān)愛(ài)等.媒體對(duì)預(yù)防艾滋病功不可沒(méi).本文將對(duì)一類受媒體影響的隨機(jī)HIV模型加以研究.

1 基本模型

將人群分成易感者和感染者,又把易感者分成兩類.第一類受媒體影響較大,即此類人群通過(guò)媒體獲得關(guān)于艾滋病的信息量較多,能夠積極采取有效措施避免自己被感染.同樣,感染者也會(huì)采取措施不傳染他人.第二類受媒體影響較小,受感染的機(jī)會(huì)較大.令α1和α2分別表示第一類和第二類易感者沒(méi)有受媒體影響的概率(0≤α1≤α2≤1),則第一類受媒體影響的程度為1-α1,第二類受媒體影響的程度為1-α2.為簡(jiǎn)便起見(jiàn),本文考慮α1=0,即第一類易感者受媒體影響的概率為1.在這種情況下,第一類易感者不參與病毒的傳播.變量X1(t),X2(t),X3(t)分別表示第一類易感者、第二類易感者、感染者在t時(shí)刻的數(shù)量.本文研究隨機(jī)HIV模型如下:

(1)

(2)

(μ+σ)X3(t))dt-σ1X3(t)dB(t).

(3)

其中：T(t)=X1(t)+X2(t)+X3(t)；λ1,λ2分別為第一、二類易感者的移入率;μ是自然死亡率;β是艾滋病病毒的傳染率;c是單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)個(gè)體接觸的性伴侶的個(gè)數(shù);D21代表第二類易感者受到媒體的影響變成第一類的轉(zhuǎn)移率;σ是感染者發(fā)展成為艾滋病患者的概率;σ1>0(比σ小)是噪音強(qiáng)度.令X(t)=(X1(t),X2(t),X3(t))T.定義

引理1[11]對(duì)任何的u∈R1,u>0有u≤2(u+1-lnu)-(4-2ln 2).

(4)

下證τ=,a.s. (反證法)假設(shè)命題不真,則存在常數(shù)T>0和ε∈(0,1)使得P{τ≤T}>ε,因此存在整數(shù)k1≥k0,使得對(duì)所有k≥k1有

P{τk≤T}≥ε.

(5)

其非負(fù)性可以從u+1-lnu≥0,?u>0得出.

(1-X3(t))σ1dB(t),

X2(t)≤2(X2(t)+1-lnX2(t))-(4-ln 2).

從而

dV(X(t))≤(c1+λ1+λ2+

D21·2V(X(t)))dt+

(1-X3(t))σ1dB(t)≤

(C2(1+V(X(t)))dt+

(1-X3(t))σ1dB(t),

其中C2=max(c1+λ1+λ2,2D21).因此,當(dāng)t1≤T時(shí)有,

EV(X(τk∧t1))≤V(X0)+C2T+

由Gronwall不等式得,

EV(X(τk∧T))≤C3,

(6)

其中C3=(V(X0)+C2T)eC2T.

C3≥E[IΩkV(X(τk,ω))]≥

令k→得>C3=,矛盾.因此τ=,a.s.證畢.

證明考慮如下兩種情形:

(i)X3(0)=0,X1(0)≥0,X2(0)≥0.

若X3(0)=0,則X3(t)=0,?t,a.s.由式(2)得

因此,對(duì)任意的t都有X2(t)>0,a.s.

(ii)X3(0)>0,X1(0)≥0,X2(0)≥0.

不失一般性,設(shè)X1(0)>0,X2(0)>0,把時(shí)間原點(diǎn)變?yōu)椤鱰,其中△t為很小的正數(shù),則根據(jù)定理1得Xi(t)>0,1≤i≤3.證畢.

證明由方程(2)得

積分得

從而

(7)

由方程(1)得

從而

(8)

對(duì)X3(t)分兩種情況討論:

(i)X3(0)>0.

(9)

X3(t)≤Me-vt,?t≥0,a.s.

(10)

(ii)X3(0)=0.

當(dāng)X3(0)=0時(shí),X3(t)=0,?t,a.s.所以當(dāng)X3(0)≥0時(shí)式(10)成立,即0≤X3(t)≤Me-vt.因此

(11)

由式(10)得

(12)

(13)

綜合式(7)和式(13)得

(14)

根據(jù)極限的定義,對(duì)任取ε>0,存在G>0,當(dāng)t>G時(shí)有

(15)

由方程(1)知,當(dāng)t>G時(shí),

由ε的任意性得

(16)

同理,由不等式(15)的左半部分得

(17)

綜合不等式(16)和(17)得

(18)

綜合式(11)、(14)和(18)可知,當(dāng)t→時(shí),證畢.

定理4 當(dāng)R<1時(shí),無(wú)病平衡態(tài)是幾乎必然局部指數(shù)穩(wěn)定的;當(dāng)R>1時(shí),無(wú)病平衡態(tài)是幾乎必然指數(shù)不穩(wěn)定的.

證明先討論X3(t).在人口無(wú)病平衡態(tài)鄰近,由式(1)得

|X3(t)|≤|X3(0)|Ce-λte-σ1B(t),

因此存在t0,當(dāng)t≥t0時(shí)有X3(t)|≤|X3(t0)|e-λ(t-t0),a.s.

從而

|ξ(t)|≤|ξ(t0)|e-(μ+D21)(t-t0)+

Ne-λ(t-t0),a.s.,

最后討論X1(t).令

則

所以

|η(t)|≤|η(t0)|e-μ(t-t0)+

因此當(dāng)t≥t0時(shí)有,

C1e-λ(t-t0),a.s.

若R>1,不妨取X3(0)=1,則

X3(t)=exp(-mt-σ1B(t)).

2 數(shù)值模擬

本節(jié)將對(duì)系統(tǒng)(1)-(3)中的參數(shù)選取合理的數(shù)值進(jìn)行模擬,從圖像中觀察X1,X2和X3的變化趨勢(shì).

取β=0.1,σ=0.3798,c=5,α2=0.8,μ=0.015,σ1=0.2,λ1=10,λ2=15,D21=0.05,則R=0.7715<1.初值取X1(0)=400,X2(0)=400,X3(0)=30,Δt=0.002.根據(jù)Milstein的一階差分近似方法[12],利用Matlab軟件可以得到X1,X2和X3關(guān)于時(shí)間的圖像(限于篇幅這里僅給出X3的時(shí)間序列圖，見(jiàn)圖1).從圖1可以看出，感染者的數(shù)量隨著時(shí)間的推移在t=15附近趨于0,即感染者隨著時(shí)間的發(fā)展最終消亡了.

數(shù)值模擬的結(jié)果顯然與定理3證明的結(jié)果相吻合.第一類易感者隨著時(shí)間的推移是增加的,而第二類易感者的數(shù)量隨著時(shí)間的推移是減少的.如前文所述,第一類易感者是受媒體影響較大的一類,第二類易感者是受媒體報(bào)道影響較小的一類,注意到在建模過(guò)程中考慮到了第二類易感者受媒體影響而成為第一類易感者的轉(zhuǎn)移率D21.一個(gè)增加一個(gè)減少可能正是媒體在艾滋病傳播過(guò)程中發(fā)揮積極的作用,而且HIV感染者最終消亡了也正是我們所期望的.

圖1 感染者隨時(shí)間變化圖像

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了一類受媒體影響的艾滋病隨機(jī)模型.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn),在一定條件下,感染者最終消亡.在建模過(guò)程中將艾滋病病毒的傳染率定為一個(gè)常數(shù)β,事實(shí)上,艾滋病病毒的傳染率跟感染者所處的時(shí)期有關(guān),因此研究帶有年齡結(jié)構(gòu)的隨機(jī)微分方程更有意義.