高軍禮，朱慧華，陳 瑋，張小花

(1. 廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院, 廣東 廣州 510006； 2. 仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院 自動化學(xué)院, 廣東 廣州 510225)

0 引言

伺服控制技術(shù)的高速發(fā)展促進(jìn)數(shù)控技術(shù)快速發(fā)展，尤其在軌跡跟蹤控制領(lǐng)域.輪廓誤差處理采用兩大方案[1]:一種是直接減少輪廓誤差，即通過提高單軸的跟蹤精度來提高整體的輪廓跟蹤精度[1-3]；另一種是間接減少輪廓誤差，即通過當(dāng)前位置得到輪廓誤差，解耦補(bǔ)償各個軸的位置，來直接提高輪廓跟蹤精度[4-6].間接減少輪廓誤差雖然算法比較復(fù)雜，但卻是最直接、最快速的補(bǔ)償算法，其通過當(dāng)前位置、期望輪廓信息便可以直接對各運(yùn)動軸實(shí)時補(bǔ)償.

本文以雙軸聯(lián)動系統(tǒng)作為研究載體，以輪廓誤差補(bǔ)償算法為研究對象，分析傳統(tǒng)的基于局部任務(wù)坐標(biāo)系的交叉耦合控制算法[7]和最新提出的基于全局任務(wù)坐標(biāo)系算法[8]，對其應(yīng)用到交叉耦合控制中的理論和仿真進(jìn)行比較,并對其各自適用場合進(jìn)行分析.

1 輪廓誤差

輪廓誤差是指當(dāng)前位置點(diǎn)與期望輪廓上最近點(diǎn)的垂直距離，如圖1所示的Pa1Pc1、Pa2Pc2.間接減少輪廓誤差主要采用的控制算法：交叉耦合控制器和基于局部任務(wù)坐標(biāo)系的輪廓運(yùn)動控制器,解決思路是通過當(dāng)前點(diǎn)與期望點(diǎn)近似得到輪廓誤差之后解耦補(bǔ)償單軸.另一種是基于全局任務(wù)坐標(biāo)系算法，得到當(dāng)前運(yùn)動位置與目標(biāo)輪廓最近位置的一階近似值.

圖1 輪廓誤差和跟蹤誤差

2 交叉耦合控制

交叉耦合控制[7]是由Y.Koren以“等位”思想提出來解決雙軸進(jìn)給系統(tǒng)的輪廓運(yùn)動控制問題，之后Y.Koren等團(tuán)隊(duì)又相繼提出了變增益交叉耦合控制、輪廓誤差傳遞函數(shù)的單變量、任務(wù)坐標(biāo)系的交叉耦合控制等方法[8-9].但這些算法的解決思路都是將實(shí)時位置信息反饋給控制器進(jìn)行計算，近似得出輪廓誤差，然后對輪廓誤差進(jìn)行解耦補(bǔ)償給各個單軸，從而提高軌跡跟蹤精度.交叉耦合控制框圖如圖2所示.

圖2 交叉耦合控制框圖

假設(shè)期望輪廓是一條圓滑軌跡，在某個時刻軌跡跟蹤如圖3所示.

圖3 輪廓誤差圖

通過建立局部任務(wù)坐標(biāo)系，可得下面推算：

(1)

其中：

Δx=|xd-xa|,Δy=|yd-ya|.

(2)

局部任務(wù)坐標(biāo)系下的交叉耦合控制器只在各軸跟隨誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于期望輪廓的曲率半徑時，將期望輪廓分段近似為小圓弧的組合.假設(shè)輪廓軌跡的中心原點(diǎn)Po(xo,yo)，用ρ來表示參考圓弧的半徑，θ為圓弧轉(zhuǎn)動的角度，則近似輪廓誤差可以表示為：

(3)

由圓心Po(xo,yo)、實(shí)際位置Pa(xa,ya)、期望輪廓位置Pd(xd,yd)，可以得到如下關(guān)系

xa=ρsinθ+xo-Δx,ya=-ρcosθ+yo+Δy.

(4)

(5)

(6)

則交叉耦合增益(Cx,Cy)為

(7)

3 全局任務(wù)坐標(biāo)系

全局任務(wù)坐標(biāo)系是Hu和Yao于1992年在曲線坐標(biāo)系基礎(chǔ)上提出的一種構(gòu)造正交全局任務(wù)坐標(biāo)系的方法[10].與傳統(tǒng)的輪廓誤差根據(jù)期望位置點(diǎn)與運(yùn)動目標(biāo)點(diǎn)近似得輪廓誤差不同，其只要求期望輪廓相關(guān)的全局任務(wù)坐標(biāo)系算法下的兩個任務(wù)坐標(biāo)軸(輪廓誤差、運(yùn)動行程)能夠保證在期望輪廓位置上局部正交性.因此可以得到實(shí)際運(yùn)動點(diǎn)能準(zhǔn)確地跟蹤期望輪廓點(diǎn)，使得實(shí)際軌跡與期望軌跡重合，從而提高系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度，如圖4所示.

假設(shè)一條光滑的曲線在笛卡爾坐標(biāo)系(x,y)二維空間中可以表示為：

f(x,y)=0.

(8)

當(dāng)期望輪廓為光滑曲線時，可構(gòu)造全局任務(wù)空間坐標(biāo)系r=[rc,rm]T為

rc=f(x,y),rm=g(x,y),

(9)

其中：rc,rm分別表示期望輪廓軸上的法向方向和期望輪廓軸上的切線方向，即rc的值可作為輪廓誤差的指標(biāo)，rm的值期望輪廓上的運(yùn)動行程.

由期望輪廓曲線坐標(biāo)可以得到期望輪廓法向的曲線坐標(biāo)為：

(10)

其中fx=?f(x,y)/?x,fy=?f(x,y)/?y，可以推導(dǎo)出期望輪廓的法向單位坐標(biāo)為：

(11)

由式(11)可以得出,曲線坐標(biāo)rc(x,y)在期望輪廓上的方向和期望輪廓的法向一致，即曲線rc(x,y)在輪廓曲線上值就是實(shí)際輪廓誤差.

圖4 正交全局任務(wù)坐標(biāo)系圖

期望輪廓曲線在笛卡爾坐標(biāo)空間可以由變量ν∈R表示，并且滿足下面的兩個式子：

qv(v)=[xν(ν),yν(ν)]T,

f(xν(ν),yν(ν))=0,?ν,

(12)

其中：xν(ν),yν(ν)是分別關(guān)于ν的函數(shù)，并且存在vx(xv(ν))=ν,?v.

在笛卡爾坐標(biāo)空間參數(shù)化后，起始點(diǎn)qv(0)沿著期望輪廓到任一點(diǎn)qv(v)之間的行程有下面的積分式子表示：

(13)

(14)

則可通過式(14)的方向矢量求得期望輪廓上的單位切向矢量即：

(15)

即通過式(11)和式(15)可知，期望輪廓上的一點(diǎn)對應(yīng)的輪廓誤差rc和運(yùn)動行程rm方向正交.

4 算法仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證傳統(tǒng)基于局部任務(wù)坐標(biāo)系下的交叉耦合控制算法，將全局任務(wù)坐標(biāo)系算法應(yīng)用到交叉耦合控制中進(jìn)行了如下改進(jìn)與比較.運(yùn)動控制仿真電機(jī)數(shù)學(xué)模型選用文獻(xiàn)[11]，交叉耦合輪廓控制器選用：

交叉耦合控制增益為

假定跟蹤的輪廓軌跡為：

(16)

則在全局任務(wù)坐標(biāo)系中根據(jù)式(10)可以得輪廓誤差rc為：

(17)

當(dāng)a=b時，則跟蹤的期望輪廓為圓形軌跡;當(dāng)a≠b時，則跟蹤的期望輪廓為橢圓軌跡;其中Po(xo,yo)代表近似曲線圓點(diǎn)，ω代表曲線的行進(jìn)速度.在全局任務(wù)坐標(biāo)系中，將采用Matlab里面的m函數(shù)方法，計算相應(yīng)位置的角度信息和對解耦出來的補(bǔ)償信息補(bǔ)償?shù)礁鱾€單軸.

下面先將a=b，分別選取a=b=1,ω=0.1,Po(1,1)；a=b=10,ω=0.1,Po(10,10)；a=b=10,ω=1,Po(10,10)，得到如下的結(jié)果圖5所示.

圖5 圓輪廓誤差對比圖

當(dāng)a≠b時，分別選取a=1,b=0.5,ω=0.1,Po(0.1,0.1)；a=10,b=5,ω=0.1,Po(10,5)；a=10,b=5,ω=1,Po(10,5)，得到如下的結(jié)果圖6所示.

圖6 橢圓輪廓誤差對比圖

由上面仿真結(jié)果圖(實(shí)線代表全局任務(wù)坐標(biāo)系算法、虛線代表局部任務(wù)坐標(biāo)系算法)可以得出,當(dāng)期望輪廓為圓形軌跡時，傳統(tǒng)的輪廓誤差近似算法和全局任務(wù)坐標(biāo)系算法在曲率小并且速率小的情況下，補(bǔ)償各軸效果基本一致，但局部任務(wù)坐標(biāo)系要優(yōu)于全局任務(wù)坐標(biāo)系算法;在速率比較大的情況下，全局任務(wù)坐標(biāo)系算法要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)近似算法的局部任務(wù)坐標(biāo)系算法；而跟蹤輪廓為橢圓輪廓時，尤其是在曲率越大,行進(jìn)速度越快的情況下，基于全局任務(wù)坐標(biāo)系建立的輪廓誤差計算方法比傳統(tǒng)的交叉耦合控制算法在輪廓補(bǔ)償效果方面越好.

5 結(jié)語

根據(jù)傳統(tǒng)的交叉耦合控制方法，研究和分析基于局部任務(wù)坐標(biāo)系算法和交叉耦合控制，并將正交全局任務(wù)坐標(biāo)系分析應(yīng)用到交叉耦合控制器中，驗(yàn)證了全局任務(wù)坐標(biāo)系應(yīng)用到交叉耦合控制中對期望輪廓特別是曲率大和高速率軌跡跟蹤的輪廓補(bǔ)償具有明顯優(yōu)勢.因此，在輪廓誤差控制領(lǐng)域中，推廣正交全局任務(wù)坐標(biāo)系結(jié)合交叉耦合控制補(bǔ)償算法具有指導(dǎo)意義.