粒子物理中幾種可能應(yīng)用的新數(shù)學(xué)方法和拓?fù)淠Ｐ?/h1>
2016-08-09 05:44:14張一方
張一方
(云南大學(xué) 物理系，云南 昆明 650091)
0 引言
眾所周知，量子力學(xué)和粒子物理的發(fā)展應(yīng)用了一些和以前的理論不同的數(shù)學(xué)工具，如算符、矩陣表示、Hilbert空間等.并發(fā)展出某些新的數(shù)學(xué)結(jié)果，最著名的有量子力學(xué)的新方程、Bose-Einstein(BE)和Fermi-Dirac(FD)統(tǒng)計(jì)、Yang-Mills規(guī)范場等[1-5].統(tǒng)計(jì)原理是量子力學(xué)和整個(gè)物理學(xué)的基本原理， 1986年9月Dirac在論述《原子物理的未來》時(shí)認(rèn)為對(duì)以前研究不夠的不完全可約表示，或稱為病態(tài)表示可能在物理學(xué)中有重要應(yīng)用.20世紀(jì)80年代Connes非對(duì)易微分幾何可以把Higgs場解釋為離散點(diǎn)空間上的規(guī)范場，相應(yīng)的Higgs勢(shì)成為它的Yang-Mills作用.這對(duì)應(yīng)非線性.Coquereaux等和Sitarz分別應(yīng)用矩陣運(yùn)算和離散群上的微分運(yùn)算等方法闡述Connes的離散空間上非對(duì)易幾何的基本思想.筆者討論了非平衡統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)的某些應(yīng)用，然后研究各種統(tǒng)計(jì)方程及其與量子理論的關(guān)系，探討高能時(shí)的統(tǒng)計(jì)性及此時(shí)具有的新特征[6].本文探討了四元數(shù)、符號(hào)動(dòng)力學(xué)等幾種新的可能應(yīng)用于粒子物理中的數(shù)學(xué)方法，并且具體研究了粒子的拓?fù)淠Ｐ秃腿跸嗷プ饔每赡芟鄳?yīng)于Lobachevsky幾何.
1 粒子物理中幾種新數(shù)學(xué)工具的探討
實(shí)數(shù)域中無零因子的有限維的交錯(cuò)代數(shù)僅有四種：1)實(shí)數(shù)域,是交換代數(shù)；2)復(fù)數(shù)域,是交換代數(shù)；3)四元數(shù)代數(shù)，是非交換代數(shù)；4)Cayley代數(shù)是非結(jié)合交錯(cuò)代數(shù).它們的維數(shù)分別是1、2、4、8.四元數(shù)代數(shù)和Cayley代數(shù)可以是非交換的，特例即反交換.其中四元數(shù)代數(shù)的后三個(gè)元素，Cayley代數(shù)的后七個(gè)元素都是兩兩反交換的.它們有可能統(tǒng)一玻色子和費(fèi)米子.這又對(duì)應(yīng)于超對(duì)稱.
Grassmann數(shù)對(duì)應(yīng)費(fèi)米子和超弦.其聯(lián)系于四元數(shù)對(duì)應(yīng)虛數(shù)和實(shí)數(shù).結(jié)合相對(duì)論，三個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)光子、W、Z或三個(gè)膠子，三個(gè)虛數(shù)對(duì)應(yīng)三個(gè)輕子或三個(gè)夸克.
按楊振寧四元數(shù)的想法，l、i、j、k分別相應(yīng)于光子γ(或W)、π介子、中微子v和質(zhì)子p或γ、引力子g、v和p，由此包括全部粒子.以后發(fā)展為八個(gè)元素l、i、j、k，e、ie、je、ke，相應(yīng)于γ、W、πg(shù)，v、e、p、n(u,d)或γ、W±、Z0，v、e、νμ,μ或八個(gè)膠子之半，或u、d、c、s，或第一代夸克-輕子和γ、W、g0、g+等.或者八元數(shù)相應(yīng)于八個(gè)亞夸克.或四元素相應(yīng)于強(qiáng)子，甚至僅相應(yīng)于SU(3)，相應(yīng)于引力子g和三個(gè)夸克u、d、s.
布魯塞爾振子(Brusselator)和Lotka-Volterra(LV)模型都產(chǎn)生振蕩，都是非線性方程組，對(duì)應(yīng)周期性及非線性的回歸性[9-10].二者都有極限環(huán)，結(jié)合筆者以前提出的粒子相互作用和相變理論[11]，可以用于量子理論和粒子物理.
不穩(wěn)定振蕩對(duì)應(yīng)布魯塞爾振子.這必須相關(guān)的雙因素，如強(qiáng)、弱相互作用.布魯塞爾振子修改后就可以聯(lián)系于相互作用的量子場方程組，如動(dòng)力學(xué)模型中的各種方程組，或自相互作用方程.由此聯(lián)系于粒子的極限環(huán).而方程組結(jié)合孤子方法可以化為常微分方程.
它們都是非Abel群，應(yīng)結(jié)合場論和非平衡統(tǒng)計(jì).此時(shí)非平衡系統(tǒng)可以分為近線性(如能量漸變)和遠(yuǎn)離平衡的非線性(碰撞).其一，因?yàn)閑p碰撞是電磁相互作用，所以，1)如果僅考慮強(qiáng)相互作用，則這只是對(duì)核子輸入能量，其達(dá)到一定閾值時(shí)就產(chǎn)生有序結(jié)構(gòu)——部分子.這種產(chǎn)生應(yīng)有能閾，高能電子為4.5～20 GeV.并且各種碰撞如忽略相互作用都是輸入能量.2)ep的電磁方程一般不是非線性方程.其二，核是強(qiáng)相互作用，略去電磁相互作用則np對(duì)稱.核子方程非相對(duì)論時(shí)是有勢(shì)的Schrodinger方程.其三，中微子v振蕩是弱相互作用.
2 非線性理論和定性分析的結(jié)果
筆者討論過粒子物理中的各種非線性理論，如非線性波、非線性方程、復(fù)時(shí)空及其與幾何、數(shù)學(xué)等的關(guān)系和可能的檢驗(yàn)[12-13].并且由此可以研究各種可能的Pauli不相容原理的破缺和相應(yīng)的統(tǒng)一，及與量子場論、任意子、分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)、反?，F(xiàn)象、自旋和碰撞等的關(guān)系[14-15].一般而論，分岔-混沌對(duì)應(yīng)相變，極限環(huán)對(duì)應(yīng)強(qiáng)子.由砂子形成粒子，對(duì)應(yīng)宇宙早期的強(qiáng)子-輕子時(shí)代.這些都可以用定性分析理論，得穩(wěn)定或不穩(wěn)定的粒子.并由粒子質(zhì)量確定某些不等式.強(qiáng)相互作用對(duì)應(yīng)匯，弱相互作用對(duì)應(yīng)源，二者及電磁相互作用共同作用對(duì)應(yīng)鞍點(diǎn)、極限環(huán)等.
在動(dòng)力學(xué)模型中，令x～ψ，y～φ，z～Aμ，對(duì)動(dòng)力學(xué)破缺方程組為[7-8]：
x′=-Axz-meayx,
(1)
y″=μz′+Beayx2,
(2)
z″=-Czz′-μ2z-μy′+Dx2.
(3)
對(duì)Higgs破缺方程組為[7-8]：
x′=-Axz-mx+ay2x,
(4)
(5)
(6)
對(duì)方程(5)和方程(6)，常數(shù)適當(dāng)時(shí)化為：
y′=c-(bx2-dz2)y+f2y2,
(7)
(8)
3個(gè)方程兩兩組合則形成各種情況.其中可以假設(shè)x是重子、輕子；y是介子；z是相互作用場，光子等.
1)Aμ=0，則
x′=-mx+axy2，
y′=c-bx2y+fy2.
(9)
(10)
特征方程為：
λ2-Tλ+D=0,
(11)
其中:T=-m+2fy+ay2-bx2，D=mbx2+3abx2y2+2afy3-2mfy.c=0，則可以簡化.對(duì)(0,0)(對(duì)應(yīng)真空態(tài))，T=-m<0，D=0.
2)φ=0，則
x′=-mx-Axz，
z′=-Cz2-μz+ex.
(12)
對(duì)x′=0，z′=0，得x=0,z=0；或z=-m/A，x=(m/eA)((Cm/A)-μ).特征行列式為：
(13)
特征方程中:T=-(m+μ)-(A+2C)z，D=mμ+Aex+(Aμ+2Cm)z+2ACz2.對(duì)真空態(tài)(0,0)，T=-(m+μ)<0，D=mμ>0是匯.Δ=(m-μ)2≥0是結(jié)點(diǎn).其余可以確定x1,z1點(diǎn).
結(jié)合已知數(shù)學(xué)還可以推知粒子種類和數(shù)目、量子數(shù)等.四相(五奇點(diǎn))可用于每代輕子-夸克四種(v,e,u,d)，兩軸各是輕子-重子量子數(shù)等.進(jìn)一步，結(jié)合動(dòng)力學(xué)模型，二、三代有8,12種.其中三代可以為三層中心點(diǎn)等.
筆者應(yīng)用非線性方程的定性分析理論研究了雙星演化模型[16-18]和地震預(yù)報(bào)[19-20]等.結(jié)合協(xié)同學(xué)，對(duì)非線性系統(tǒng)可以用役使原理等.進(jìn)一步，可以把耗散結(jié)構(gòu)理論、突變論、超循環(huán)論和自組織等應(yīng)用于粒子物理中.
3 粒子的拓?fù)淠Ｐ秃头中?/h2>
楊振寧認(rèn)為粒子物理的數(shù)學(xué)發(fā)展方向是幾何與拓?fù)?Weinberg在他的名著《The Quantum Theory of Fields》中已經(jīng)用了拓?fù)鋵W(xué)，并討論了拓?fù)浞诸?、拓?fù)涫睾愣珊屯負(fù)洳蛔冃缘萚21].在此具體討論粒子的拓?fù)淠Ｐ?
量子場論中，F(xiàn)eynman圖在若干方面已經(jīng)類似拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、拓?fù)淠Ｐ?它可以結(jié)合點(diǎn)-連桿模型，這就是頂點(diǎn)-線.但是拓?fù)淠Ｐ褪蔷€相同而點(diǎn)不同，這是點(diǎn)相同而線不同，表示一種相互作用，對(duì)應(yīng)連接方法.Feynman圖中與能量E無關(guān)，對(duì)應(yīng)拓?fù)錈o關(guān)性.如此只要初末態(tài)粒子確定，則不論E如何，碰撞骨架都相同，即只與截面S、初末態(tài)粒子相關(guān).
基于圖論中樹-域和Feynman圖的結(jié)合，筆者提出圖論的一種新發(fā)展，其中包括5種基本元素：實(shí)線、點(diǎn)線、波形曲線、頂點(diǎn)和域，并且討論了其在物理、生物等領(lǐng)域中的可能應(yīng)用[22].粒子起碼可以用拓?fù)浞椒枋?這聯(lián)系于夸克-靴帶二重性.拓?fù)淠Ｐ徒Y(jié)合粒子，可能量子數(shù)就是拓?fù)渲笖?shù).拓?fù)洳蛔冃韵鄳?yīng)于粒子的守恒量和變化的不變性.可以設(shè)想虧格不同就是量子數(shù)B、S、I不同.基態(tài)重子N、Λ、Δ、Σ、Ξ、Ω相應(yīng)于規(guī)范曲面，可能對(duì)應(yīng)于費(fèi)米子.玻色子可能對(duì)應(yīng)于曲線.共振態(tài)僅是同胚變型.光子相當(dāng)于Mobius帶，Klein曲面.量子數(shù)B、S、I是三個(gè)自由度，對(duì)應(yīng)于重子及兩個(gè)同心球中間的部分.B=0時(shí)是二個(gè)自由度，對(duì)應(yīng)于介子及環(huán)面.對(duì)基本粒子，這是分離的.
目前粒子不同是夸克不同，此時(shí)就是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同，特別是不同代.類似動(dòng)力學(xué)模型，在振動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)模型中就是運(yùn)動(dòng)不同[7].但目前拓?fù)淠Ｐ偷鹊睦щy以及整個(gè)理論的困難在于強(qiáng)子甚至質(zhì)子p由幾個(gè)亞粒子組成都不確定.
對(duì)拓?fù)淞Ｗ永碚?，拓?fù)涞哪硞€(gè)特征，如維數(shù)等就是最關(guān)鍵的數(shù)，拓?fù)浜?、量子?shù)對(duì)應(yīng)于粒子數(shù)或量子數(shù)，如B、I或S等.這就聯(lián)系于拓?fù)潇亍eynman圖等.在粒子的拓?fù)淠Ｐ椭型?、連通階可能對(duì)應(yīng)于費(fèi)米子數(shù)或量子數(shù)S,I等.由此可能又聯(lián)系于弦，對(duì)應(yīng)于粘貼和截開，二者又對(duì)應(yīng)于拓?fù)鋵W(xué)中的相互作用和衰變.而且可以探討與強(qiáng)相互作用、夸克的組合等的關(guān)系.
場論中的粒子可以用具有拓?fù)淦嫘缘氖噶繄雒枋?無相互作用對(duì)應(yīng)拓?fù)渚€平行，相應(yīng)于熵增；有相互作用對(duì)應(yīng)拓?fù)渚€有奇點(diǎn)，相應(yīng)于更一般的統(tǒng)計(jì)力學(xué).標(biāo)度不變性可以結(jié)合拓?fù)洳蛔冃?可以由拓?fù)鋵?dǎo)致矢量場，并得到纖維叢和規(guī)范場.
拓?fù)鋵W(xué)上粒子、袋都可以化為點(diǎn)，但閉弦就等價(jià)于環(huán).粒子對(duì)應(yīng)弦、袋都是同胚的.弦實(shí)際是，而且應(yīng)該發(fā)展為管和膜模型，這可能又聯(lián)系于高維弦.
穩(wěn)定重子由三個(gè)夸克組成只能是等邊三角形結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)分形模型[7,23]中的分維D為
(14)
在空間中是各種立體，如三夸克-三膠子在空間中以穩(wěn)定的正八面體形式組成，則相應(yīng)分形模型的分維為
(15)
或五夸克-膠子組成類似結(jié)構(gòu).否則不穩(wěn)定或亞粒子更多.
粒子的分形由相關(guān)函數(shù)、分布函數(shù)得D，統(tǒng)計(jì)分形應(yīng)該可以發(fā)展，特別結(jié)合分形模型.由宇宙弦可以導(dǎo)出分維D，則量子弦也應(yīng)可以導(dǎo)出分維.
如果夸克是一種字母空間，即緊致拓?fù)淇臻g.夸克數(shù)就是字母個(gè)數(shù)為n，相應(yīng)的拓?fù)潇貫閘ogn>0，ln3(2)=1.099(0.632)，ln4(6)=1.386(1.792).而有限字母組成的符號(hào)空間中的移位自同構(gòu)具有混沌的很多性質(zhì).各種粒子，如核子、原子、分子，乃至人、天體的結(jié)構(gòu)都可以認(rèn)為與此相似.更一般，低維與高維的物理方法是相似的.這些都可能與物理反常、數(shù)學(xué)拓?fù)溆嘘P(guān).
4 弱相互作用可能相應(yīng)于Lobachevsky幾何
目前公認(rèn)的相互作用有四種：引力、弱、電磁、強(qiáng)相互作用.對(duì)此首先必須嚴(yán)格區(qū)分、定義各種相互作用，特別是粒子物理中特有的短程的強(qiáng)、弱相互作用.而目前的主要依據(jù)都存在一些問題，例如根據(jù)相互作用強(qiáng)度，但如此不可能有衰變，因?yàn)槿跸嗷プ饔貌荒芸酥茝?qiáng)相互作用.根據(jù)相互作用距離，則如何確定臨界值？而且通常認(rèn)為距離短時(shí)是強(qiáng)相互作用，再短時(shí)是弱相互作用，但粒子內(nèi)部是漸進(jìn)自由，夸克之間又是膠子作用.筆者已經(jīng)討論過粒子物理中存在短程的強(qiáng)、弱相互作用與作用距離的矛盾.根據(jù)相互作用時(shí)間，對(duì)強(qiáng)相互作用的粒子穩(wěn)定.根據(jù)粒子種類，則A→Bπ都是強(qiáng)子，但是弱衰變.強(qiáng)、電磁、弱相互作用都有壽命(寬度)、衰變、散射等.而且強(qiáng)弱相互作用都對(duì)應(yīng)SU(3)對(duì)稱性及其破缺.
4.1 弱相互作用的基本特性
斥力導(dǎo)致變速運(yùn)動(dòng)，這是相同的，但方向相反，這又不同，在等價(jià)原理中旋轉(zhuǎn)系方向相反.非歐幾何中，曲線坐標(biāo)的數(shù)學(xué)是相同的，都有協(xié)變、逆變矢量.度規(guī)張量都是一般的.弱相互作用可能對(duì)應(yīng)Lobachevsky幾何.進(jìn)而筆者提出幾何、力和相互作用的對(duì)應(yīng)關(guān)系(表1).由此研究Lobachevsky幾何得到的場方程，及與Riemann幾何的結(jié)果的異同.它是Riemann幾何中的三角函數(shù)換成雙曲函數(shù)[24].這對(duì)應(yīng)于開空間.彼此跑開，相應(yīng)紅移.對(duì)弱相互作用，這相應(yīng)于某些新的效應(yīng).
表1 幾何、力和相互作用的對(duì)應(yīng)關(guān)系
廣義相對(duì)論對(duì)應(yīng)于度規(guī)，是一般的非歐幾何.這應(yīng)該對(duì)應(yīng)于泛廣義相對(duì)論[25-26].而弱的引力相互作用是Friedmann空間.此時(shí)決定于空間曲率k，對(duì)應(yīng)于臨界密度、臨界值.推廣后可以由k<0的弱荷定義弱相互作用.這樣則強(qiáng)弱相互作用決定于k.它是廣義相對(duì)論結(jié)合微觀相互作用的結(jié)果.
由弱相互作用到強(qiáng)相互作用必然有一個(gè)相變點(diǎn)，類似兩種幾何之間的關(guān)系.二維時(shí)就是：
(16)
其中:e<1是橢圓；e>1是雙曲線；e=1是拋物線.這應(yīng)該可以推廣到3、n維空間.
目前規(guī)范理論中弱強(qiáng)相互作用分別相應(yīng)SU(2)和SU(3)對(duì)稱群，而沒有反映它們的這個(gè)關(guān)鍵性的不同.對(duì)于負(fù)物質(zhì)[21-31]，強(qiáng)弱相互作用仍然分別是引力和斥力，或者相反.
4.2 SU(2)弱相互作用理論
對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范場.在對(duì)應(yīng)原理下，化為弱相互作用場方程，應(yīng)該包含SU(2)方程，對(duì)應(yīng)內(nèi)山場得到SU(2)規(guī)范場.進(jìn)而應(yīng)該研究短程線方程是否相同，也可能形式相同，而Γ符號(hào)相反，這如何導(dǎo)致、聯(lián)系于斥力，不同在于對(duì)應(yīng)的是規(guī)范場，運(yùn)動(dòng)方程是
(17)
場方程是
γμ(?μ-iετbμ)ψ+mψ=0.
(18)
弱場及SU(2)中粒子如何運(yùn)動(dòng)？其中三角函數(shù)如何？Lobachevsky幾何中仍是短程線.首先必須使量子場方程Aμ，ψ與廣義相對(duì)論、非歐幾何的運(yùn)動(dòng)方程、場方程對(duì)應(yīng)起來.而曲率張量對(duì)非歐幾何是普適的.應(yīng)該由
(19)
導(dǎo)致上述運(yùn)動(dòng)方程.
對(duì)Yang-Mills(YM)規(guī)范場
(20)
弱相互作用、SU(2)規(guī)范場、Lobachevsky幾何三方面的特性應(yīng)該彼此結(jié)合.而后兩方面互相聯(lián)系.
完備的理論結(jié)果應(yīng)該包括：1)產(chǎn)生斥力.2)導(dǎo)致粒子壽命公式.3)得到衰變公式.4)弱散射.5)聯(lián)系于弱電統(tǒng)一理論.在弱電統(tǒng)一理論中又應(yīng)該導(dǎo)致斥力.進(jìn)一步再結(jié)合超弦和環(huán)量子引力理論，以及引力、斥力的互相轉(zhuǎn)化等.
已知粒子物理中的標(biāo)準(zhǔn)模型包含某些對(duì)稱性矛盾.三代夸克-輕子偏離SU(3)對(duì)稱性，按此它們應(yīng)該組成對(duì)稱的6個(gè)SU(2)群.如果對(duì)稱性完全成立，類似于u-d是I=1/2的同位旋二重態(tài)，c-s和t-b及三代輕子(νe-e,νμ-μ,ντ-τ)也應(yīng)該是I=1/2的同位旋二重態(tài).但這與s和c夸克是兩個(gè)I=0的同位旋單重態(tài)不同.筆者引入一個(gè)新的組合量子數(shù)F=I-S，它可以唯一地描述各種重子.此外，存在由相同的夸克組成核子-介子時(shí)，結(jié)合能與穩(wěn)定性的矛盾，超弦的質(zhì)量可達(dá)宏觀標(biāo)度Δm=2.209×10-2g等.
總之，粒子物理中的某些基本問題值得進(jìn)一步深入研究.
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(云南大學(xué) 物理系，云南 昆明 650091)
0 引言
眾所周知，量子力學(xué)和粒子物理的發(fā)展應(yīng)用了一些和以前的理論不同的數(shù)學(xué)工具，如算符、矩陣表示、Hilbert空間等.并發(fā)展出某些新的數(shù)學(xué)結(jié)果，最著名的有量子力學(xué)的新方程、Bose-Einstein(BE)和Fermi-Dirac(FD)統(tǒng)計(jì)、Yang-Mills規(guī)范場等[1-5].統(tǒng)計(jì)原理是量子力學(xué)和整個(gè)物理學(xué)的基本原理， 1986年9月Dirac在論述《原子物理的未來》時(shí)認(rèn)為對(duì)以前研究不夠的不完全可約表示，或稱為病態(tài)表示可能在物理學(xué)中有重要應(yīng)用.20世紀(jì)80年代Connes非對(duì)易微分幾何可以把Higgs場解釋為離散點(diǎn)空間上的規(guī)范場，相應(yīng)的Higgs勢(shì)成為它的Yang-Mills作用.這對(duì)應(yīng)非線性.Coquereaux等和Sitarz分別應(yīng)用矩陣運(yùn)算和離散群上的微分運(yùn)算等方法闡述Connes的離散空間上非對(duì)易幾何的基本思想.筆者討論了非平衡統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)的某些應(yīng)用，然后研究各種統(tǒng)計(jì)方程及其與量子理論的關(guān)系，探討高能時(shí)的統(tǒng)計(jì)性及此時(shí)具有的新特征[6].本文探討了四元數(shù)、符號(hào)動(dòng)力學(xué)等幾種新的可能應(yīng)用于粒子物理中的數(shù)學(xué)方法，并且具體研究了粒子的拓?fù)淠Ｐ秃腿跸嗷プ饔每赡芟鄳?yīng)于Lobachevsky幾何.
1 粒子物理中幾種新數(shù)學(xué)工具的探討
實(shí)數(shù)域中無零因子的有限維的交錯(cuò)代數(shù)僅有四種：1)實(shí)數(shù)域,是交換代數(shù)；2)復(fù)數(shù)域,是交換代數(shù)；3)四元數(shù)代數(shù)，是非交換代數(shù)；4)Cayley代數(shù)是非結(jié)合交錯(cuò)代數(shù).它們的維數(shù)分別是1、2、4、8.四元數(shù)代數(shù)和Cayley代數(shù)可以是非交換的，特例即反交換.其中四元數(shù)代數(shù)的后三個(gè)元素，Cayley代數(shù)的后七個(gè)元素都是兩兩反交換的.它們有可能統(tǒng)一玻色子和費(fèi)米子.這又對(duì)應(yīng)于超對(duì)稱.
Grassmann數(shù)對(duì)應(yīng)費(fèi)米子和超弦.其聯(lián)系于四元數(shù)對(duì)應(yīng)虛數(shù)和實(shí)數(shù).結(jié)合相對(duì)論，三個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)光子、W、Z或三個(gè)膠子，三個(gè)虛數(shù)對(duì)應(yīng)三個(gè)輕子或三個(gè)夸克.
按楊振寧四元數(shù)的想法，l、i、j、k分別相應(yīng)于光子γ(或W)、π介子、中微子v和質(zhì)子p或γ、引力子g、v和p，由此包括全部粒子.以后發(fā)展為八個(gè)元素l、i、j、k，e、ie、je、ke，相應(yīng)于γ、W、πg(shù)，v、e、p、n(u,d)或γ、W±、Z0，v、e、νμ,μ或八個(gè)膠子之半，或u、d、c、s，或第一代夸克-輕子和γ、W、g0、g+等.或者八元數(shù)相應(yīng)于八個(gè)亞夸克.或四元素相應(yīng)于強(qiáng)子，甚至僅相應(yīng)于SU(3)，相應(yīng)于引力子g和三個(gè)夸克u、d、s.
布魯塞爾振子(Brusselator)和Lotka-Volterra(LV)模型都產(chǎn)生振蕩，都是非線性方程組，對(duì)應(yīng)周期性及非線性的回歸性[9-10].二者都有極限環(huán)，結(jié)合筆者以前提出的粒子相互作用和相變理論[11]，可以用于量子理論和粒子物理.
不穩(wěn)定振蕩對(duì)應(yīng)布魯塞爾振子.這必須相關(guān)的雙因素，如強(qiáng)、弱相互作用.布魯塞爾振子修改后就可以聯(lián)系于相互作用的量子場方程組，如動(dòng)力學(xué)模型中的各種方程組，或自相互作用方程.由此聯(lián)系于粒子的極限環(huán).而方程組結(jié)合孤子方法可以化為常微分方程.
它們都是非Abel群，應(yīng)結(jié)合場論和非平衡統(tǒng)計(jì).此時(shí)非平衡系統(tǒng)可以分為近線性(如能量漸變)和遠(yuǎn)離平衡的非線性(碰撞).其一，因?yàn)閑p碰撞是電磁相互作用，所以，1)如果僅考慮強(qiáng)相互作用，則這只是對(duì)核子輸入能量，其達(dá)到一定閾值時(shí)就產(chǎn)生有序結(jié)構(gòu)——部分子.這種產(chǎn)生應(yīng)有能閾，高能電子為4.5～20 GeV.并且各種碰撞如忽略相互作用都是輸入能量.2)ep的電磁方程一般不是非線性方程.其二，核是強(qiáng)相互作用，略去電磁相互作用則np對(duì)稱.核子方程非相對(duì)論時(shí)是有勢(shì)的Schrodinger方程.其三，中微子v振蕩是弱相互作用.
2 非線性理論和定性分析的結(jié)果
筆者討論過粒子物理中的各種非線性理論，如非線性波、非線性方程、復(fù)時(shí)空及其與幾何、數(shù)學(xué)等的關(guān)系和可能的檢驗(yàn)[12-13].并且由此可以研究各種可能的Pauli不相容原理的破缺和相應(yīng)的統(tǒng)一，及與量子場論、任意子、分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)、反?，F(xiàn)象、自旋和碰撞等的關(guān)系[14-15].一般而論，分岔-混沌對(duì)應(yīng)相變，極限環(huán)對(duì)應(yīng)強(qiáng)子.由砂子形成粒子，對(duì)應(yīng)宇宙早期的強(qiáng)子-輕子時(shí)代.這些都可以用定性分析理論，得穩(wěn)定或不穩(wěn)定的粒子.并由粒子質(zhì)量確定某些不等式.強(qiáng)相互作用對(duì)應(yīng)匯，弱相互作用對(duì)應(yīng)源，二者及電磁相互作用共同作用對(duì)應(yīng)鞍點(diǎn)、極限環(huán)等.
在動(dòng)力學(xué)模型中，令x～ψ，y～φ，z～Aμ，對(duì)動(dòng)力學(xué)破缺方程組為[7-8]：
x′=-Axz-meayx,
(1)
y″=μz′+Beayx2,
(2)
z″=-Czz′-μ2z-μy′+Dx2.
(3)
對(duì)Higgs破缺方程組為[7-8]：
x′=-Axz-mx+ay2x,
(4)
(5)
(6)
對(duì)方程(5)和方程(6)，常數(shù)適當(dāng)時(shí)化為：
y′=c-(bx2-dz2)y+f2y2,
(7)
(8)
3個(gè)方程兩兩組合則形成各種情況.其中可以假設(shè)x是重子、輕子；y是介子；z是相互作用場，光子等.
1)Aμ=0，則
x′=-mx+axy2，
y′=c-bx2y+fy2.
(9)
(10)
特征方程為：
λ2-Tλ+D=0,
(11)
其中:T=-m+2fy+ay2-bx2，D=mbx2+3abx2y2+2afy3-2mfy.c=0，則可以簡化.對(duì)(0,0)(對(duì)應(yīng)真空態(tài))，T=-m<0，D=0.
2)φ=0，則
x′=-mx-Axz，
z′=-Cz2-μz+ex.
(12)
對(duì)x′=0，z′=0，得x=0,z=0；或z=-m/A，x=(m/eA)((Cm/A)-μ).特征行列式為：
(13)
特征方程中:T=-(m+μ)-(A+2C)z，D=mμ+Aex+(Aμ+2Cm)z+2ACz2.對(duì)真空態(tài)(0,0)，T=-(m+μ)<0，D=mμ>0是匯.Δ=(m-μ)2≥0是結(jié)點(diǎn).其余可以確定x1,z1點(diǎn).
結(jié)合已知數(shù)學(xué)還可以推知粒子種類和數(shù)目、量子數(shù)等.四相(五奇點(diǎn))可用于每代輕子-夸克四種(v,e,u,d)，兩軸各是輕子-重子量子數(shù)等.進(jìn)一步，結(jié)合動(dòng)力學(xué)模型，二、三代有8,12種.其中三代可以為三層中心點(diǎn)等.
筆者應(yīng)用非線性方程的定性分析理論研究了雙星演化模型[16-18]和地震預(yù)報(bào)[19-20]等.結(jié)合協(xié)同學(xué)，對(duì)非線性系統(tǒng)可以用役使原理等.進(jìn)一步，可以把耗散結(jié)構(gòu)理論、突變論、超循環(huán)論和自組織等應(yīng)用于粒子物理中.
3 粒子的拓?fù)淠Ｐ秃头中?/h2>
楊振寧認(rèn)為粒子物理的數(shù)學(xué)發(fā)展方向是幾何與拓?fù)?Weinberg在他的名著《The Quantum Theory of Fields》中已經(jīng)用了拓?fù)鋵W(xué)，并討論了拓?fù)浞诸?、拓?fù)涫睾愣珊屯負(fù)洳蛔冃缘萚21].在此具體討論粒子的拓?fù)淠Ｐ?
量子場論中，F(xiàn)eynman圖在若干方面已經(jīng)類似拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、拓?fù)淠Ｐ?它可以結(jié)合點(diǎn)-連桿模型，這就是頂點(diǎn)-線.但是拓?fù)淠Ｐ褪蔷€相同而點(diǎn)不同，這是點(diǎn)相同而線不同，表示一種相互作用，對(duì)應(yīng)連接方法.Feynman圖中與能量E無關(guān)，對(duì)應(yīng)拓?fù)錈o關(guān)性.如此只要初末態(tài)粒子確定，則不論E如何，碰撞骨架都相同，即只與截面S、初末態(tài)粒子相關(guān).
基于圖論中樹-域和Feynman圖的結(jié)合，筆者提出圖論的一種新發(fā)展，其中包括5種基本元素：實(shí)線、點(diǎn)線、波形曲線、頂點(diǎn)和域，并且討論了其在物理、生物等領(lǐng)域中的可能應(yīng)用[22].粒子起碼可以用拓?fù)浞椒枋?這聯(lián)系于夸克-靴帶二重性.拓?fù)淠Ｐ徒Y(jié)合粒子，可能量子數(shù)就是拓?fù)渲笖?shù).拓?fù)洳蛔冃韵鄳?yīng)于粒子的守恒量和變化的不變性.可以設(shè)想虧格不同就是量子數(shù)B、S、I不同.基態(tài)重子N、Λ、Δ、Σ、Ξ、Ω相應(yīng)于規(guī)范曲面，可能對(duì)應(yīng)于費(fèi)米子.玻色子可能對(duì)應(yīng)于曲線.共振態(tài)僅是同胚變型.光子相當(dāng)于Mobius帶，Klein曲面.量子數(shù)B、S、I是三個(gè)自由度，對(duì)應(yīng)于重子及兩個(gè)同心球中間的部分.B=0時(shí)是二個(gè)自由度，對(duì)應(yīng)于介子及環(huán)面.對(duì)基本粒子，這是分離的.
目前粒子不同是夸克不同，此時(shí)就是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同，特別是不同代.類似動(dòng)力學(xué)模型，在振動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)模型中就是運(yùn)動(dòng)不同[7].但目前拓?fù)淠Ｐ偷鹊睦щy以及整個(gè)理論的困難在于強(qiáng)子甚至質(zhì)子p由幾個(gè)亞粒子組成都不確定.
對(duì)拓?fù)淞Ｗ永碚?，拓?fù)涞哪硞€(gè)特征，如維數(shù)等就是最關(guān)鍵的數(shù)，拓?fù)浜?、量子?shù)對(duì)應(yīng)于粒子數(shù)或量子數(shù)，如B、I或S等.這就聯(lián)系于拓?fù)潇亍eynman圖等.在粒子的拓?fù)淠Ｐ椭型?、連通階可能對(duì)應(yīng)于費(fèi)米子數(shù)或量子數(shù)S,I等.由此可能又聯(lián)系于弦，對(duì)應(yīng)于粘貼和截開，二者又對(duì)應(yīng)于拓?fù)鋵W(xué)中的相互作用和衰變.而且可以探討與強(qiáng)相互作用、夸克的組合等的關(guān)系.
場論中的粒子可以用具有拓?fù)淦嫘缘氖噶繄雒枋?無相互作用對(duì)應(yīng)拓?fù)渚€平行，相應(yīng)于熵增；有相互作用對(duì)應(yīng)拓?fù)渚€有奇點(diǎn)，相應(yīng)于更一般的統(tǒng)計(jì)力學(xué).標(biāo)度不變性可以結(jié)合拓?fù)洳蛔冃?可以由拓?fù)鋵?dǎo)致矢量場，并得到纖維叢和規(guī)范場.
拓?fù)鋵W(xué)上粒子、袋都可以化為點(diǎn)，但閉弦就等價(jià)于環(huán).粒子對(duì)應(yīng)弦、袋都是同胚的.弦實(shí)際是，而且應(yīng)該發(fā)展為管和膜模型，這可能又聯(lián)系于高維弦.
穩(wěn)定重子由三個(gè)夸克組成只能是等邊三角形結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)分形模型[7,23]中的分維D為
(14)
在空間中是各種立體，如三夸克-三膠子在空間中以穩(wěn)定的正八面體形式組成，則相應(yīng)分形模型的分維為
(15)
或五夸克-膠子組成類似結(jié)構(gòu).否則不穩(wěn)定或亞粒子更多.
粒子的分形由相關(guān)函數(shù)、分布函數(shù)得D，統(tǒng)計(jì)分形應(yīng)該可以發(fā)展，特別結(jié)合分形模型.由宇宙弦可以導(dǎo)出分維D，則量子弦也應(yīng)可以導(dǎo)出分維.
如果夸克是一種字母空間，即緊致拓?fù)淇臻g.夸克數(shù)就是字母個(gè)數(shù)為n，相應(yīng)的拓?fù)潇貫閘ogn>0，ln3(2)=1.099(0.632)，ln4(6)=1.386(1.792).而有限字母組成的符號(hào)空間中的移位自同構(gòu)具有混沌的很多性質(zhì).各種粒子，如核子、原子、分子，乃至人、天體的結(jié)構(gòu)都可以認(rèn)為與此相似.更一般，低維與高維的物理方法是相似的.這些都可能與物理反常、數(shù)學(xué)拓?fù)溆嘘P(guān).
4 弱相互作用可能相應(yīng)于Lobachevsky幾何
目前公認(rèn)的相互作用有四種：引力、弱、電磁、強(qiáng)相互作用.對(duì)此首先必須嚴(yán)格區(qū)分、定義各種相互作用，特別是粒子物理中特有的短程的強(qiáng)、弱相互作用.而目前的主要依據(jù)都存在一些問題，例如根據(jù)相互作用強(qiáng)度，但如此不可能有衰變，因?yàn)槿跸嗷プ饔貌荒芸酥茝?qiáng)相互作用.根據(jù)相互作用距離，則如何確定臨界值？而且通常認(rèn)為距離短時(shí)是強(qiáng)相互作用，再短時(shí)是弱相互作用，但粒子內(nèi)部是漸進(jìn)自由，夸克之間又是膠子作用.筆者已經(jīng)討論過粒子物理中存在短程的強(qiáng)、弱相互作用與作用距離的矛盾.根據(jù)相互作用時(shí)間，對(duì)強(qiáng)相互作用的粒子穩(wěn)定.根據(jù)粒子種類，則A→Bπ都是強(qiáng)子，但是弱衰變.強(qiáng)、電磁、弱相互作用都有壽命(寬度)、衰變、散射等.而且強(qiáng)弱相互作用都對(duì)應(yīng)SU(3)對(duì)稱性及其破缺.
4.1 弱相互作用的基本特性
斥力導(dǎo)致變速運(yùn)動(dòng)，這是相同的，但方向相反，這又不同，在等價(jià)原理中旋轉(zhuǎn)系方向相反.非歐幾何中，曲線坐標(biāo)的數(shù)學(xué)是相同的，都有協(xié)變、逆變矢量.度規(guī)張量都是一般的.弱相互作用可能對(duì)應(yīng)Lobachevsky幾何.進(jìn)而筆者提出幾何、力和相互作用的對(duì)應(yīng)關(guān)系(表1).由此研究Lobachevsky幾何得到的場方程，及與Riemann幾何的結(jié)果的異同.它是Riemann幾何中的三角函數(shù)換成雙曲函數(shù)[24].這對(duì)應(yīng)于開空間.彼此跑開，相應(yīng)紅移.對(duì)弱相互作用，這相應(yīng)于某些新的效應(yīng).
表1 幾何、力和相互作用的對(duì)應(yīng)關(guān)系
廣義相對(duì)論對(duì)應(yīng)于度規(guī)，是一般的非歐幾何.這應(yīng)該對(duì)應(yīng)于泛廣義相對(duì)論[25-26].而弱的引力相互作用是Friedmann空間.此時(shí)決定于空間曲率k，對(duì)應(yīng)于臨界密度、臨界值.推廣后可以由k<0的弱荷定義弱相互作用.這樣則強(qiáng)弱相互作用決定于k.它是廣義相對(duì)論結(jié)合微觀相互作用的結(jié)果.
由弱相互作用到強(qiáng)相互作用必然有一個(gè)相變點(diǎn)，類似兩種幾何之間的關(guān)系.二維時(shí)就是：
(16)
其中:e<1是橢圓；e>1是雙曲線；e=1是拋物線.這應(yīng)該可以推廣到3、n維空間.
目前規(guī)范理論中弱強(qiáng)相互作用分別相應(yīng)SU(2)和SU(3)對(duì)稱群，而沒有反映它們的這個(gè)關(guān)鍵性的不同.對(duì)于負(fù)物質(zhì)[21-31]，強(qiáng)弱相互作用仍然分別是引力和斥力，或者相反.
4.2 SU(2)弱相互作用理論
對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范場.在對(duì)應(yīng)原理下，化為弱相互作用場方程，應(yīng)該包含SU(2)方程，對(duì)應(yīng)內(nèi)山場得到SU(2)規(guī)范場.進(jìn)而應(yīng)該研究短程線方程是否相同，也可能形式相同，而Γ符號(hào)相反，這如何導(dǎo)致、聯(lián)系于斥力，不同在于對(duì)應(yīng)的是規(guī)范場，運(yùn)動(dòng)方程是
(17)
場方程是
γμ(?μ-iετbμ)ψ+mψ=0.
(18)
弱場及SU(2)中粒子如何運(yùn)動(dòng)？其中三角函數(shù)如何？Lobachevsky幾何中仍是短程線.首先必須使量子場方程Aμ，ψ與廣義相對(duì)論、非歐幾何的運(yùn)動(dòng)方程、場方程對(duì)應(yīng)起來.而曲率張量對(duì)非歐幾何是普適的.應(yīng)該由
(19)
導(dǎo)致上述運(yùn)動(dòng)方程.
對(duì)Yang-Mills(YM)規(guī)范場
(20)
弱相互作用、SU(2)規(guī)范場、Lobachevsky幾何三方面的特性應(yīng)該彼此結(jié)合.而后兩方面互相聯(lián)系.
完備的理論結(jié)果應(yīng)該包括：1)產(chǎn)生斥力.2)導(dǎo)致粒子壽命公式.3)得到衰變公式.4)弱散射.5)聯(lián)系于弱電統(tǒng)一理論.在弱電統(tǒng)一理論中又應(yīng)該導(dǎo)致斥力.進(jìn)一步再結(jié)合超弦和環(huán)量子引力理論，以及引力、斥力的互相轉(zhuǎn)化等.
已知粒子物理中的標(biāo)準(zhǔn)模型包含某些對(duì)稱性矛盾.三代夸克-輕子偏離SU(3)對(duì)稱性，按此它們應(yīng)該組成對(duì)稱的6個(gè)SU(2)群.如果對(duì)稱性完全成立，類似于u-d是I=1/2的同位旋二重態(tài)，c-s和t-b及三代輕子(νe-e,νμ-μ,ντ-τ)也應(yīng)該是I=1/2的同位旋二重態(tài).但這與s和c夸克是兩個(gè)I=0的同位旋單重態(tài)不同.筆者引入一個(gè)新的組合量子數(shù)F=I-S，它可以唯一地描述各種重子.此外，存在由相同的夸克組成核子-介子時(shí)，結(jié)合能與穩(wěn)定性的矛盾，超弦的質(zhì)量可達(dá)宏觀標(biāo)度Δm=2.209×10-2g等.
總之，粒子物理中的某些基本問題值得進(jìn)一步深入研究.
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