賈建文,楊 航

(山西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西 臨汾 041004)

0 引言

在生態(tài)數(shù)學(xué)中,捕食者與其食餌之間的動力學(xué)一直以來都是十分重要的研究課題.Lotke-Volterra模型是最基本的捕食模型.關(guān)于Lotke-Volterra模型的研究已經(jīng)有許多成果[1-4].在捕食系統(tǒng)中,影響模型的動力學(xué)因素有很多,其中最重要的一個是功能性反應(yīng)函數(shù).現(xiàn)有文獻(xiàn)中采用的功能性反應(yīng)函數(shù)主要有Holling I-IV型[5-7]、Beddington-DeAngelis型[7]和比率依賴型[8-9]等.近幾年，不少學(xué)者關(guān)注多種群捕食系統(tǒng)的研究[1,3,5,7,10],其中文獻(xiàn)[5]建立了兩食餌種群(分別為強(qiáng)食餌與弱食餌)與一捕食者種群的捕食系統(tǒng),研究了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性及系統(tǒng)持久性.

在生態(tài)系統(tǒng)中,捕食者對食餌的捕食率往往不僅依賴食餌,而且依賴捕食者的數(shù)量.因此在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上我們假定捕食種群對強(qiáng)食餌種群的捕食率符合比率依賴功能性反應(yīng)函數(shù),建立如下模型:

(1)

1 系統(tǒng)解的正有界性

定理1S是系統(tǒng)(1)的一個正向不變集.

因此,對于任意的t>0,系統(tǒng)(1)的任意解均滿足x1(t)≤k1.同理可證x2(t)≤k2.

根據(jù)系統(tǒng)(1)可得:

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

經(jīng)過簡單計算可知,系統(tǒng)(1)存在的平衡點(diǎn):

當(dāng)r1n1k2且r2>n2k1時,平衡點(diǎn)E1存在.

當(dāng)δ<βηk2時,平衡點(diǎn)E2存在.

(2)

其中

α1=n1n2k1k2-r1r2,β1=βηk2n2,α2=Bβn1k1k2,

β2=Bμr2+Bβ2ηk2,

α3=r1k1r2-n1k1k2r2,β3=δr2-Amr2-βηr2k2,

α4=Br1k1r2-Ak1r2-Bn1k1k2r2,

β4=Bδr2-Bβηr2k2,

α5=-Br1r2+βn1k1k2+Bn1n2k1k2,

其次，教學(xué)中教師把主題圖換成了點(diǎn)子圖（圖3、圖4）發(fā)給每個學(xué)生，學(xué)生可以根據(jù)自己的要求擺放每張點(diǎn)子圖。通過點(diǎn)子圖的擺放，學(xué)生化靜為動，通過擺放點(diǎn)子圖的位置，理解不同方法的含義。再通過對比尋找到三種方法的相同與不同，讓學(xué)生們更深刻理解每種方法，提升了學(xué)生的思維。在學(xué)生的臉上，教師看到了喜悅的笑容。

β5=μr2+Bβηk2n2+β2ηk2.

下面討論各平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性.利用特征值方法，易得下面結(jié)論成立：

定理6 假設(shè)系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)E*存在.若滿足q1>0,q2>0,q3>0且q1q2-q3>0,則E*局部漸近穩(wěn)定(q1,q2,q3在定理證明中具體給出).

證明系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)E*處的Jacobin矩陣的特征方程為

λ3+q1λ2+q2λ+q3=0,

(3)

其中

因此,在定理的條件下，正平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定.證畢.

定理7 假設(shè)系統(tǒng)(1)的邊界平衡點(diǎn)Ek1,E1,E2與E3均存在.若

則系統(tǒng)(1)的這些平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的.

選取恰當(dāng)?shù)恼?shù)u1,u2,u3使下面的不等式成立.

φ(Ek1)=u2(r2-k1n2)+u3(Am-δ)>0,

(4)

(5)

由定理條件可知,當(dāng)u3充分大時,有φ(Ek1)>0成立.同理,根據(jù)定理7的條件，可證明上面各不等式成立.因此,系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)Ek1,E1,E2和E3都是不穩(wěn)定的.證畢.

3 持久性與全局穩(wěn)定性

引理2[10]若p,q>0且

則

定理8 若Br1>A+Bn1k2,r2δ>βmK+n2k1δ,ηβL2>δ,則系統(tǒng)(1)是持久的(其中L2在證明過程中具體給出).

證明由定理1知,只需證明對系統(tǒng)(1)的任意解存在正下界.

根據(jù)系統(tǒng)(1),可得

根據(jù)引理2,可得

由條件可得L1>0,L2>0,L3>0.因此,系統(tǒng)(1)是持久的.證畢.

定理9 假設(shè)系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)E*存在.若ρ(0,L3)≥0,則E*全局穩(wěn)定,其中

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù):

(6)

其中vi(i=1,2,3)為待定正常數(shù).G(x1,x2,y)沿著系統(tǒng)(1)的解關(guān)于t求導(dǎo),可得

取

從而,當(dāng)ρ(0,L3)≥0時

進(jìn)而可得系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)E*全局穩(wěn)定.證畢.

4 數(shù)值模擬

限于篇幅，這里僅給出E*的數(shù)值模擬和變量n1對各種群規(guī)模的影響.

令r1=13,r2=15,k1=200,k2=100,A=0.08,B=0.01,n1=0.1,n2=0.02,β=0.1,μ=0.005,δ=0.01,η=0.02,m=0.2.通過計算可得E*=(94.427 3,68.381 1,28.542 8),易驗證定理6的條件滿足,則E*局部漸近穩(wěn)定(見圖1).

令r1=13,r2=15,k1=200,k2=100,A=0.08,B=0.01,n2=0.02,β=0.1,μ=0.005,δ=0.01,η=0.02,m=0.2且初始值為(6,2.5,2.5).改變參數(shù)n1的值，分別取n1=0.008,0.03,0.05,0.1,0.15,如圖2可知,隨著n1的增大,強(qiáng)食餌種群x1規(guī)模減小,但是弱食餌種群x2與捕食種群的規(guī)模增大.

圖1 平衡點(diǎn)E*的時間序列圖

圖2 參數(shù) n1對各種群規(guī)模的影響

5 結(jié)論

本文研究了一個捕食者與兩個食餌的捕食系統(tǒng)(1)，其中捕食種群對(強(qiáng)、弱)食餌捕食率不同，分析了系統(tǒng)(1)解的有界性及可能平衡點(diǎn)的存在條件，通過特征值的方法證明了平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性.進(jìn)一步,我們討論了系統(tǒng)(1)的持久性,并通過構(gòu)造Lyaupunov函數(shù)證明了正平衡點(diǎn)E*的全局穩(wěn)定性.最后,通過數(shù)值模擬驗證了所得結(jié)論的正確性，說明了變量n1和n2對各種群規(guī)模的影響.