米思榮

（湖南師范大學(xué)附屬中學(xué) 湖南長(zhǎng)沙 410000）

淺析類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

米思榮

（湖南師范大學(xué)附屬中學(xué) 湖南長(zhǎng)沙 410000）

類比思維能夠培養(yǎng)創(chuàng)新性思維能力，其具有較強(qiáng)的探索、預(yù)測(cè)效用。對(duì)于數(shù)學(xué)題目的解答，通過(guò)運(yùn)用類比思想，不僅能夠突出問(wèn)題的本質(zhì)，還可提升學(xué)習(xí)質(zhì)量，增強(qiáng)我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。對(duì)此，本文首先分析了類比與類比思想的相關(guān)內(nèi)容，其次對(duì)類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行了相應(yīng)的闡述。

類比思想；數(shù)學(xué)；題目；應(yīng)用

1 引言

當(dāng)兩個(gè)對(duì)象或是兩類事物的某些屬性相同或是相似時(shí)，猜想這兩者的另一些屬性也有可能相同或是相似的思考方式即為類比。目前，類比在數(shù)學(xué)中有較為廣泛的應(yīng)用，例如數(shù)與式之間、平面與立體之間、一維與多維之間、相等與不等之間、有限與無(wú)限之間等，均能夠運(yùn)用類比思想。對(duì)此，為了促進(jìn)其在數(shù)學(xué)中的更好運(yùn)用，有必要對(duì)類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行深入的分析研究。

2 類比級(jí)類比思想分析

2.1 類比

2.1.1 類比的定義

所謂類比，即為由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。類比是一種主觀的不充分的似真推理，所以，如果要確認(rèn)其猜想的正確性，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯論證。

2.1.2 類比的分類

類比的本質(zhì)在于對(duì)象間的相似性，而相似對(duì)象具備諸多屬性，這些屬性之間又存在各式各樣的關(guān)系，人們認(rèn)識(shí)這些關(guān)系的過(guò)程，是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)程。隨著對(duì)這些關(guān)系認(rèn)識(shí)的不斷深化，人們所運(yùn)用的類比方法也就出現(xiàn)了不同的類型。

（1）質(zhì)料類比

所謂質(zhì)料類比，即為根據(jù)類比物的性質(zhì)與應(yīng)當(dāng)給予解釋的系統(tǒng)性質(zhì)間的類似性所進(jìn)行的類比。質(zhì)料類比是類比方法中比較簡(jiǎn)單的類型，這種類比僅以類比物與應(yīng)予解釋的系統(tǒng)兩者的性質(zhì)相似為依據(jù)，較膚淺，且還沒有確定各相似性質(zhì)之間的必然性聯(lián)系，這使得其類推所得的結(jié)論具有很大的偶然性。為了更加深入的認(rèn)識(shí)對(duì)象，大多數(shù)科學(xué)人員均需要從對(duì)象的屬性之間找到必然性的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的東西，以進(jìn)一步提升類比的水平，從而提高推理結(jié)論的可靠性。依據(jù)因果關(guān)系進(jìn)行類比便可實(shí)現(xiàn)此目的，推動(dòng)了類比向新的類型發(fā)展。

（2）形式類比

所謂形式類比，即為根據(jù)類比物與應(yīng)當(dāng)給予解釋的系統(tǒng)兩個(gè)領(lǐng)域的因果關(guān)系或是規(guī)律性相似而進(jìn)行的類比，例如聲音與光的縱向關(guān)系的類比。此外，由于形式類比是以相似的因果關(guān)系成規(guī)律性為依據(jù)的，這大大提升了此種類比結(jié)論的可靠性程度。

（3）綜合類比

所謂綜合類比，即為應(yīng)用綜合法建立數(shù)學(xué)模型，然后再根據(jù)數(shù)學(xué)模型間的相似性進(jìn)行的類比。例如仿生學(xué)中設(shè)計(jì)模擬生物器官的技術(shù)裝置，都是應(yīng)用綜合類比的成果，其主要以數(shù)學(xué)模型的相似性為根據(jù)。

2.1.3 類比在數(shù)學(xué)中的價(jià)值

（1）可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

通過(guò)類比，能夠探索出更多新的知識(shí)與方法，尋求不同的解題思路，探索數(shù)學(xué)規(guī)律。由于類比是從特殊到特殊的一種猜測(cè)推力，從一個(gè)已知的領(lǐng)域去探索另外一個(gè)領(lǐng)域，可極大的激發(fā)我們的興趣，更加主動(dòng)的探索、研究新的知識(shí)。

（2）可提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

當(dāng)我們學(xué)生遇到一個(gè)陌生的問(wèn)題時(shí)，由于自身的類比思想，會(huì)聯(lián)想一個(gè)在形式或者是方法上較為熟悉的問(wèn)題進(jìn)行類比，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，溝通知識(shí)與知識(shí)、方法與方法之間的聯(lián)系，激活學(xué)生的思維，從而提升學(xué)生的思維能力。

2.2 類比思維

2.2.1 類比思維的定義

類比思維是解答化學(xué)競(jìng)賽題目的基本方法，對(duì)于類比思維，其主要涉及以下兩方面的含義：①聯(lián)想，主要指由新信息引起的對(duì)已有知識(shí)的回憶。②類比，在新、舊信息間找相似和相異的地方，即異中求同或同中求異，通過(guò)類比思維，在類比中聯(lián)想，從而升華思維，既有模仿又有創(chuàng)新。

2.2.2 類比思維的原理

類比是一種十分重要的思維方法與推理方法，在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中具有至關(guān)重要的作用，在數(shù)學(xué)題目解答中，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行認(rèn)真的審視與對(duì)待。其基本模式為：若 A 對(duì)象具有屬性 a、b、c、d，且 B 對(duì)象具有屬性 a、b、c，猜想：B對(duì)象具有屬性d。類比推理的過(guò)程，是從特殊到特殊，由此及彼的過(guò)程，可謂“他山之石，可以攻玉”。從兩個(gè)或兩類對(duì)象具有某些相似或相同的屬性事實(shí)出發(fā)，推出其中一個(gè)對(duì)象可能是有另一個(gè)或另一類對(duì)象已經(jīng)具有的其他屬性的思維方法。該方法是古今中外許多知名人士最常運(yùn)用的一種解決問(wèn)題的方法，由這種方法所得出的結(jié)論，不一定具有較高的可靠性與精確度，但富有創(chuàng)造性，往往能將人們帶入完全陌生的領(lǐng)域，并且還能夠給予許多啟發(fā)。

3 類比思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

3.1 數(shù)列中的類比

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)對(duì)習(xí)題進(jìn)行充分的類比、聯(lián)想、想象，激發(fā)自身的創(chuàng)造熱情與探索欲望，例如和—積、差—商、算數(shù)平均數(shù)-幾何平均數(shù)的類比等。

在等差數(shù)列{an}中，如果a10=0，

則等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N+）成立；

類比上述性質(zhì)，在等差數(shù)列{bn}中，如果b9=1，則等式_______成立。

3.2 幾何中的類比

3.2.1 平面到空間的類比

例如：在平面幾何中，由勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2?！蓖卣怪量臻g，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論為：“設(shè)三棱錐A—BCD的三個(gè)側(cè)面ABC，ACD，ADB兩兩相互垂直，則_______?！?/p>

分析：關(guān)于空間問(wèn)題與平面問(wèn)題的類比，通?？勺プ缀我氐娜缦聦?duì)應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)—線、線—面、面—體（圓—球、三角形—四面體、平行四邊形—平行六面體、二面角—平面角）、平面向量—空間向量等。

3.2.2 解析幾何中的類比

圓錐曲線包括圓在內(nèi)都是平面截圓錐所得的曲線形式，從定義、方程推導(dǎo)、性質(zhì)到題型、方法都存在共性，通過(guò)類比，降低解題難度，使類比思維方法潛移默化地滲透到我們學(xué)生的日常學(xué)習(xí)中。

例如：在以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓上有一點(diǎn)P（x0，y0），則過(guò)此點(diǎn)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2，而在橢圓中，當(dāng)離心率 e趨近于0時(shí)，短半軸b就趨近于長(zhǎng)半軸a，此時(shí)橢圓就趨近于圓.類比圓的面積公式，在橢圓中，S橢_______。類比過(guò)圓上一點(diǎn)P（x0，y0）的圓的切線方程，則過(guò)橢圓上一點(diǎn) P（x1，y1）的橢圓的切線方程為_______。

3.3 定義、運(yùn)算中的類比

數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“類比就是一種相似。”將兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，找出兩者相似的地方，然后加以應(yīng)用，類比思維常用于概念、性質(zhì)方面數(shù)學(xué)題目的解答。

解析本題可采用“方法類比”。由于等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加，通過(guò)經(jīng)類比可得出以下結(jié)論：

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，類比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的一種思維方式，尤其是在已知事物的性質(zhì)推廣到類似事物方面，其具備非常重要的作用。在數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中，類比發(fā)揮了較為關(guān)鍵的作用。在數(shù)學(xué)習(xí)題解答中，通過(guò)恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用類比方法，可在輕松愉快的環(huán)境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使得學(xué)習(xí)由被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng)。此外，對(duì)類比得出的結(jié)果進(jìn)行分析論證，去偽存真，還有助于培養(yǎng)學(xué)生自身的創(chuàng)新意識(shí)。

[1]梁根明.以2009年高考一題為例談?lì)惐人枷朐跀?shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（11）：84～85.

[2]韓鍇.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思想的價(jià)值探究[J].中學(xué)生數(shù)理化：教與學(xué)，2014（09）：12～13.

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2016-10-26