李志林，劉啟亮，高培超

1. 西南交通大學(xué)高鐵運(yùn)營安全空間信息國家地方聯(lián)合工程實驗室，四川 成都 611756； 2. 香港理工大學(xué)土地測量與地理資訊學(xué)系，香港 九龍； 3. 中南大學(xué)地理信息系，湖南 長沙 410083

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地圖信息論：從狹義到廣義的發(fā)展回顧

李志林1,2，劉啟亮2,3，高培超2

1. 西南交通大學(xué)高鐵運(yùn)營安全空間信息國家地方聯(lián)合工程實驗室，四川 成都 611756； 2. 香港理工大學(xué)土地測量與地理資訊學(xué)系，香港 九龍； 3. 中南大學(xué)地理信息系，湖南 長沙 410083

Foundation support： The National Basic Research Program of China(973 Program)(No.2012CB719901)；The National Natural Science Foundation of China(No.41471383)；Hong Kong General Research Fund(No.B-Q49E)

摘要：地圖是人類認(rèn)識客觀世界的有力工具。地圖的核心功能是傳輸空間信息。自20世紀(jì)60年代源自通信領(lǐng)域的信息論被引入地圖信息度量，現(xiàn)代地圖學(xué)已經(jīng)發(fā)展了一個嶄新的研究領(lǐng)域——地圖信息論。本文旨在對近50年來地圖信息論的發(fā)展歷程進(jìn)行回顧，論述從狹義到廣義地圖信息論的基本概念、研究進(jìn)展及應(yīng)用領(lǐng)域，最后對地圖信息論的發(fā)展進(jìn)行了展望。

關(guān)鍵詞：地圖學(xué)；信息論；地圖信息論；狹義地圖信息論；廣義地圖信息論

地圖被認(rèn)為是人類最古老的3大交流工具之一，是空間信息傳輸?shù)闹饕ぞ?。地圖負(fù)載了豐富的自然、人文、社會、經(jīng)濟(jì)等信息，是改變世界的十大地理思想之一。地圖作為人類社會發(fā)展所不可或缺的重要媒介，在人類文明史上具有重要的地位。

地圖學(xué)的研究，也像其他學(xué)科一樣，從物質(zhì)流、能量流和信息流等3大方面進(jìn)行。這3種流貫穿地圖學(xué)的整個過程，但在各個階段側(cè)重有所不同。傳統(tǒng)的地圖制作(從數(shù)據(jù)采集到地圖繪制)主要是物質(zhì)流，盡管也有信息流部分。在地圖的解譯和使用階段，起主導(dǎo)作用的是地圖能量流，盡管也有信息流和物質(zhì)流部分。地圖的能量指的是對人們的思想與決策行為的影響，因為“地圖所賦予我們的現(xiàn)實超出我們的視野、我們的掌握、我們的時間，那是一種我們別無他法可以獲得的現(xiàn)實”[1]。闡述能量流的典型著作包括《地圖的力量》[1]及《地圖的本質(zhì)》[2]。信息流的研究源自20世紀(jì)50年代，早期研究方法主要是模擬自然語言的交流過程，即作者-讀者之間的信息傳輸，而地圖被視為兩者之間的介質(zhì)[3-4]。在20世紀(jì)60年代，地圖學(xué)界將香農(nóng)(Shannon)的信息傳輸理論[5]引入地圖學(xué)領(lǐng)域[6]，試圖建立基于現(xiàn)代信息論的地圖信息論。

經(jīng)過近50年的發(fā)展，地圖信息論已經(jīng)成為現(xiàn)代地圖學(xué)的一個核心研究領(lǐng)域，國內(nèi)外學(xué)者針對地圖信息量計算這一核心目標(biāo)已經(jīng)開展了大量的研究工作，并取得了可喜的研究成果。本文旨在對近半個世紀(jì)以來，地圖信息論的發(fā)展歷程進(jìn)行梳理，從狹義地圖信息到廣義地圖信息度量的研究脈絡(luò)對當(dāng)前研究的進(jìn)展進(jìn)行回顧和總結(jié)，并對地圖信息論研究存在的問題與發(fā)展方向進(jìn)行探討。

1香農(nóng)信息論與地圖信息論

20世紀(jì)40年代末以來，信息量的度量首先在通信領(lǐng)域取得突破，美國科學(xué)家香農(nóng)首先基于概率與統(tǒng)計思想提出了信源不確定性的度量指標(biāo)——信息熵，奠定了現(xiàn)代信息論的基礎(chǔ)[5]。1967年Sukhov率先將信息論引入地圖學(xué)領(lǐng)域，提出了用于度量地圖符號多樣性的信息熵度量指標(biāo)[6]，開啟了地圖信息論。

1.1香農(nóng)信息熵與信息論

信息的定義是信息度量的前提，信息論的創(chuàng)始人香農(nóng)把信息的定義為“信息是事物運(yùn)動狀態(tài)或存在方式的不確定性”。信息量是對信息統(tǒng)計特征的一種描述，香農(nóng)從統(tǒng)計上給出了信息傳輸模型中(圖1)信息量的計算方法。

圖1　信息傳輸模型 (http:∥wiki.mbalib.com/wiki/Information_theory)Fig.1　The model of information transmission(http:∥wiki.mbalib.com/wiki/Information_theory)

信息熵：表示了信源所包含的平均信息量，它表征了信源輸出后每個消息提供的平均信息量(或信源輸出前的平均不確定度)，定義為

(1)

式中，P(xi)表示隨機(jī)變量X每一個可能取值xi的概率。

互信息：設(shè)X為信源，Y為信宿，I(X;Y)表示信道傳輸?shù)钠骄畔⒘?，定義為

I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)

(2)

(3)

式中，H(X,Y)表示聯(lián)合熵，代表了通信前后整個系統(tǒng)仍存在的不確定度；P(xy)表示事件x、y同時發(fā)生的概率，即聯(lián)合概率。

條件熵：條件熵H(X|Y)表示給定隨機(jī)變量Y時，隨機(jī)變量X的平均不確定性，它表征了因信道干擾所損失的平均信息量；H(Y|X)表征了因信道干擾產(chǎn)生的噪聲熵，分別定義為

(4)

(5)

上述公式表達(dá)了信號從信源到信宿的傳輸過程中的各種信息量，其關(guān)系如圖2所示。

圖2　信息傳輸過程中各種信息量間的關(guān)系(改自文獻(xiàn)[7])Fig.2　The relationship among different entropy in information transmission[7]

信息論：香農(nóng)把熱力學(xué)的思想創(chuàng)造性地引入了信息學(xué)領(lǐng)域，建立了以信息熵為基礎(chǔ)的信息傳輸理論-信息論。信息論運(yùn)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法研究信息、信息熵、通信系統(tǒng)、數(shù)據(jù)傳輸、密碼學(xué)、數(shù)據(jù)壓縮等問題，是信息科學(xué)領(lǐng)域第一次脫離物理層面，僅僅只在數(shù)學(xué)層面完成自洽，并且在數(shù)學(xué)層面驗證了數(shù)據(jù)傳輸?shù)臉O限和壓縮率的極限[8]。

1.2地圖統(tǒng)計信息熵的定義：狹義地圖信息論的興起

自香農(nóng)創(chuàng)建了信息論后，地圖學(xué)界試圖將信息論引入，建立一套地圖信息傳輸理論。美國的Robinson教授等學(xué)者在20世紀(jì)50年代就開始在努力，提出了多個地圖信息傳輸模型[3]。圖3是由捷克地圖學(xué)家Kolacny提出的一個代表性模型[9]，可以看出，這僅僅是模仿圖1信息傳輸模型的概念模型。

圖3　捷克地圖學(xué)家Kolacny教授提出的地圖信息傳輸模型[9]Fig.3　The cartographic information transmission model proposed by Kolacny[9]

要建立地圖信息傳輸理論，必須建立一套數(shù)學(xué)模型。為此，前蘇聯(lián)制圖學(xué)家Sukhov教授率先將香農(nóng)的信息熵引入地圖學(xué)[6]，對地圖信息進(jìn)行度量。假設(shè)，N為地圖上所以符號得總數(shù)，M為地圖上符號的總類數(shù)，第i類符號的數(shù)量為Ki，則地圖上每類符號的頻率為

(6)

將式(6)代入式(1)，即可算出該地圖的信息量。地圖學(xué)界早期大部分的工作是通過計算頻數(shù)的方式直接套用信息熵的計算公式，即式(1)。例如，計算地圖上居民地行政分級、人口分級與漢字出現(xiàn)頻率對居民地要素信息量進(jìn)行度量[10]；計算坐標(biāo)、數(shù)字(字母)出現(xiàn)頻次對地圖上地物的位置和注記信息進(jìn)行度量[11]；計算每個地圖符號的鄰接度的頻數(shù)得到拓?fù)潢P(guān)系的概率，用于計算地圖的拓?fù)湫畔㈧豙12]。

這種基于地圖符號頻率的信息熵實際上是統(tǒng)計信息熵，本文將基于這種統(tǒng)計信息熵的地圖信息傳輸理論稱為狹義地圖信息論，因為地圖不僅包含統(tǒng)計信息，更重要的是包含各種空間信息。目前，狹義地圖信息論在地圖綜合[13]和地圖設(shè)計等方面得到普遍應(yīng)用[14]。

1.3地圖統(tǒng)計信息熵的先天不足：狹義地圖信息論的局限性

引入信息論對地圖信息進(jìn)行度量使得地圖負(fù)載信息的計算更為科學(xué)，然而基于概率頻次的地圖信息量計算方法到底反映了何種地圖信息需要仔細(xì)分析。地圖作為一種圖形語言，從認(rèn)識論的層次上，地圖信息可以被劃分為3個層次：語法地圖信息、語義地圖信息及語用地圖信息[15-16]。語法地圖信息表征了地圖上地物或現(xiàn)象的時空狀態(tài)與組合存在方式；語義地圖信息表征了地物或現(xiàn)象的時空狀態(tài)與組合存在方式的含義；語用地圖信息表征了具有特定含義的時空狀態(tài)和存在方式對地圖用戶的價值和效用。香農(nóng)本人已經(jīng)隱含地表明其探討的信息熵僅僅是在語法層次[17]，因此以Sukhov提出的符號信息熵為代表的地圖信息度量亦在語法地圖信息的范疇。進(jìn)而，需要探討這種統(tǒng)計信息熵是否能夠有效度量語法地圖信息。

圖4　地圖的統(tǒng)計信息量例子Fig.4　Examples of the statistical information of maps

圖5　兩幅各類符號數(shù)量完全相同，但分布于不同的地圖[18])Fig.5　Two maps with same symbols, but different spatial distributions[18]

2地圖信息論：從狹義到廣義

伴隨著地圖信息論研究的深入，國內(nèi)外學(xué)者逐漸認(rèn)識到狹義地圖信息論度量地圖信息量的不足，并逐漸從地圖信息的來源與特點(diǎn)出發(fā)對地圖信息進(jìn)行度量[18]。

2.1地圖空間信息量的定義：廣義地圖信息論的開啟

文獻(xiàn)[18]對地圖信息進(jìn)行深入的剖析，認(rèn)為除了統(tǒng)計信息外，地圖信息更重要的應(yīng)包括：

(1) 幾何信息，包括了地圖要素的位置、數(shù)量、大小與形狀等信息。

(2) 空間關(guān)系信息，包括了地圖要素拓?fù)?、方向、距離及分布等信息。

(3) 專題信息，包括了地圖要素的類型、重要程度等信息。

他們借助V(Voronoi)圖，將離散的地圖要素有機(jī)地關(guān)聯(lián)起來(圖6)，“運(yùn)用了Voronoi圖對地圖要素占用區(qū)域劃分的思想，克服了經(jīng)典信息論對地圖僅進(jìn)行簡單統(tǒng)計學(xué)度量的局限性，使得幾何信息這一地圖的重要特性有了明確的數(shù)學(xué)度量方法”[19]。他們“針對地圖要素提出了通過建立Voronoi圖來量測地圖的幾何信息量、專題信息量和拓?fù)湫畔⒘康姆椒? 使得地圖學(xué)中的信息量量測有了新的方法”[20]。

圖6　基于V(Voronoi)圖的地圖幾何信息量計算[18]Fig.6　The calculation of metric information based on Voronoi diagram[18]

2.1.1地圖幾何信息量(metric information)

設(shè)一幅地圖上有N個符號，每個地圖符號的V圖所占面積與整個地圖區(qū)域面積的比率為

Pi=Si/Si=1,2,…,N

(7)

(8)

圖5中兩幅地圖的幾何信息熵分別為4.29和5.13(圖6)，即右圖的信息熵高于左圖。當(dāng)兩幅包含不同符號數(shù)量地圖的幾何信息量時，進(jìn)一步給出了地圖幾何信息量的標(biāo)準(zhǔn)化形式

(9)

式中，Hmax(M)表示當(dāng)所有地圖符號的V圖面積均相同時取得的最大熵，Hmax(M)=log2N。

2.1.2地圖專題信息量(thematic information)

設(shè)第i個地圖符號有Ni一階鄰近符號(圖7(a))，這些鄰近符號具有Mi種專題類型，其中第j種專題類型的符號個數(shù)為Ni，則第i個鄰居符號包含第j種專題屬性類型的頻率定義為

(10)

圖7　基于Voronoi圖的地圖專題信息量計算Fig.7　The calculation of thematic information based on Voronoi diagram[18]

圖7(b)是對這些數(shù)學(xué)符號的解釋。將式(10)代入信息熵公式中可獲得每個符號的專題信息量，累加后可計算整幅地圖的專題信息量。整幅地圖信息熵的完整數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(11)

2.1.3地圖拓?fù)湫畔⒘?topological information)

每個地圖符號V圖的一階鄰居數(shù)目的平均值用來表征拓?fù)潢P(guān)系的信息量。

文獻(xiàn)[18]給出的地圖信息量分類體系與計算指標(biāo)將信息論與地圖信息有機(jī)融合，將單純的統(tǒng)計信息量拓展為真正意義上的地圖信息量，其滿足了地圖信息度量的兩個核心原則：①地圖符號的空間分布不同，地圖空間信息量就不同；②有地圖符號就有空間信息量。

學(xué)者們發(fā)現(xiàn)這種基于的 V圖空間信息度量一方面反映了地圖實體對空間占有的勢力劃分，另一方面也體現(xiàn)出地物之間的鄰接關(guān)系, 而這兩方面正是語法層次地圖信息量的主要體現(xiàn)[20-21]。亦有文獻(xiàn)[18]認(rèn)為“基于Voronoi圖的幾何度量方法是現(xiàn)有的對地圖信息的最佳量測, 其將地圖學(xué)的具體問題與信息論基本原理結(jié)合的方法是符合地圖信息度量具體實踐的”[22]。

2.2對文獻(xiàn)[18]地圖空間信息度量擴(kuò)展的種種嘗試

對文獻(xiàn)[18]的地圖空間信息度量，有些學(xué)者認(rèn)為僅考慮V圖的面積比不夠,應(yīng)該將面積比或其他度量指標(biāo)分類(分段)，再算每類(段)的頻率[7]。然而，這種做法不但忽略了類別區(qū)別(因為不同類別的符號也會可能有相同的V圖面積)，也忽略了符號空間位置區(qū)別(每個符號與其他都有位置區(qū)別)，計算的結(jié)果既不是統(tǒng)計信息熵，也不能滿足“有地圖符號就有空間信息”的基本原則。

也有些學(xué)者認(rèn)為，當(dāng)符號的空間分布趨近均勻時，文獻(xiàn)[18]的地圖幾何信息量最大，這跟香農(nóng)的“概率小、信息量大”相反[23]。事實上，“概率小信息量大”是指單個事件，而香農(nóng)的總信息熵就是在概率相同時出現(xiàn)最大值，因為均勻分布意味著大離散度，就產(chǎn)生大信息熵。

對文獻(xiàn)[18]的地圖空間信息度量，國內(nèi)外許多學(xué)者作了種種擴(kuò)展的嘗試，這里進(jìn)行簡單回顧。

3.2.1基于加權(quán)V圖量測多級地圖要素幾何信息量

有學(xué)者認(rèn)為V圖具有勢力范圍屬性特性，這與地理信息的空間范圍性表現(xiàn)出很好的一致性，地物空間范圍性不僅反映了地理事物所處的位置、尺寸，更重要的是它間接反映了地理事物之間的關(guān)系,因此基于V圖來量算地圖幾何信息量從方法論角度基本解決了地圖幾何信息的度量問題[19]。但是，文獻(xiàn)[18]的度量沒有引入級別的概念，即沒有考慮地物要素的多級別性，因此需要對不同級別地物加以權(quán)重來計算的V圖

(12)

式中，Ri是第i級別符號的幾何度量。

圖8表示從等權(quán)的V圖(左圖)到加權(quán)后V圖的變化。他們的結(jié)論是：考慮不同類別的固有特征, 具有地理學(xué)上的有用性。這一擴(kuò)展很有意義，但可能需要弄清楚是在哪個層次上的擴(kuò)展，即“不同類別的固有特征”可能與語義有關(guān)，而“地理學(xué)上的有用性”可能與語用有關(guān)。

圖8　顧及地圖要素級別的加權(quán)V圖Fig.8　Use of weighted Voronoi diagram with consideration of map element levels

2.2.2基于符號大小及符號V圖面積差異的幾何信息量

一些學(xué)者試圖對幾何信息量度量進(jìn)行修正，如幾何信息量與符號大小關(guān)聯(lián)[24](式13)、與V圖的面積差異關(guān)聯(lián)[25](式14)。幾何信息量與符號大小關(guān)聯(lián)計算的方法如式(13)所示

(13)

式中，S為總符號面積；Si表示第i個地圖符號的面積。這樣就可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩幅地圖同樣兩個符號(如房子和三角點(diǎn))，當(dāng)三角點(diǎn)符號變小時，地圖的信息熵變小，但信息量跟符號的空間分布(特別是鄰接關(guān)系)無關(guān)。

圖9　同樣兩個符號，大小不一樣，信息量也不一樣Fig.9　Different information for two symbols with the same type but different sizes

用V圖的面積差異來定義地圖空間信息的公式如式(14)所示

(14)

式中，Si為第i個符號的V圖面積；Sav為符號的V圖的平均面積；Smax為最大的V圖的面積。可以發(fā)現(xiàn)，這樣的定義會出現(xiàn)奇怪現(xiàn)象，即“有符號沒信息”及“兩符號的V圖面積很不一樣而信息量卻一樣”。圖10表達(dá)了這種情況。左圖中，Si=Sav=Smax，因此信息量為0。右圖中，Sav=1/2，Smax=2/3，S1=1/3，S2=2/3，所以兩個符號的信息量是一樣的，盡管一個的V圖面積是另一個的2倍。這類研究實際上是從方差的角度對于地形圖信息進(jìn)行了度量，由于方差與信息量存在正相關(guān)的關(guān)系，因此可以在一定程度上反映地形圖的統(tǒng)計分布信息，但是將方差替代信息計算中的概率缺乏嚴(yán)密的理論依據(jù)，而且不滿足地圖信息度量的基本原則(有符號但無信息)。

圖10　兩種奇怪現(xiàn)象：有符號沒信息及兩符號的V圖面積很不一樣而信息量一樣Fig.10　Two examples: a map with symbols but without information; two symbols with different sizes of Voronoi regions with same information

2.2.3基于鄰近像素灰度值差的信息度量

有學(xué)者認(rèn)為，地圖符號的信息跟符號的吸引力(attractiveness)有關(guān)，并提出了一種基于像素鄰近灰度值之差的信息度量方法，即信息量是所考慮的像素(P)與周邊像素灰度值差的總和[26]

(15)

式中，Cp是所考慮的像素的灰度值；Ci是第i個鄰近像素的灰度值；m是鄰近像素的個數(shù)，在一個3×3的窗口時為8(圖11(a))；ki為一個常數(shù)。一幅影像的信息量為所像素的信息的總和，如果地圖是彩色的，則將色彩分解成RGB分別計算。

這一擴(kuò)展很有意義，但好像已經(jīng)超越了地圖空間信息，因為地圖圖形表達(dá)以地圖要素為基本單元。在他們的處理中，一個地圖要素由有限個像元表達(dá)，這好像已經(jīng)是地圖的圖像信息量，而不是地圖的圖形的信息量。例如圖11(b)的3個廁所符號具有相同的地圖圖形信息，而具有非常不同的地圖圖像信息。

圖11　地圖的圖形信息與圖像信息：同類符號含不一樣的圖像信息(圖片來源于網(wǎng)絡(luò))Fig.11　The graphic and image information of map: same types of symbols with different image information

2.3廣義地圖信息論的發(fā)展現(xiàn)狀

廣義地圖信息論既具有信息論的堅實基礎(chǔ)理論，又體現(xiàn)了地圖信息度量的獨(dú)特性，國內(nèi)外學(xué)者在該框架下對地圖解譯、地圖綜合、地圖設(shè)計等方面開展了大量的研究工作，真正促進(jìn)了地圖信息度量理論向?qū)嵺`的快速發(fā)展。下面將對國內(nèi)外學(xué)者在廣義地圖信息度量框架下開展的研究工作進(jìn)行回顧和總結(jié)。

2.3.1基于廣義地圖信息的地圖解譯

近年來，廣義地圖信息論已經(jīng)在地圖可讀性度量方面被廣泛應(yīng)用，地圖可讀性關(guān)系到地圖使用者能否有效地獲得地圖上提供的信息，在移動終端與互聯(lián)網(wǎng)在線地圖廣泛應(yīng)用的今天，對地圖可讀性的度量尤為重要。文獻(xiàn)[27—29]在地圖幾何信息量基礎(chǔ)上，又細(xì)分了符號數(shù)量與符號本身的大小與形態(tài)信息，采用人工判讀結(jié)果對地圖信息度量結(jié)果進(jìn)行評價，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在測試數(shù)據(jù)上(比例尺為1∶1萬、1∶5萬的地形圖)符號的數(shù)量與幾何信息量最能表征地圖的可讀性，而符號本身的復(fù)雜性(如大小與形態(tài)等)對地圖可讀性的影響不明顯[27-29]。

文獻(xiàn)[30]計算1∶5萬與1∶25萬不同地貌的高線地圖的幾何與拓?fù)湫畔⒘?，認(rèn)為地圖信息量計算結(jié)果與人的觀察結(jié)果是吻合的。文獻(xiàn)[31]采用廣義地圖信息度量方法對我國西部1∶5萬測圖工程的地形圖產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行評價，認(rèn)為地圖信息度量方法是我國現(xiàn)有產(chǎn)品規(guī)范的有力補(bǔ)充。

2.3.2基于廣義地圖信息的地圖綜合

地圖綜合是多比例尺地圖生產(chǎn)與跨比例尺地圖更新的關(guān)鍵技術(shù)，地圖綜合中地圖信息量隨比例尺(或尺度)的變化規(guī)律(圖12)是評價綜合質(zhì)量與地圖服務(wù)質(zhì)量的基礎(chǔ)問題。

圖12　地圖綜合過程中的信息傳遞模型(改自文獻(xiàn)[7])Fig.12　The information transmission model in map generalization[7]

文獻(xiàn)[32]對不同比例尺下的地圖信息變化作了系統(tǒng)試驗，發(fā)現(xiàn)跟比例尺的平方根比與相應(yīng)的幾何信息比很一致。

文獻(xiàn)[20]認(rèn)為幾何信息量基于V圖的計算方法一方面反映了地圖實體對空間的劃分，另一方面亦體現(xiàn)出了地物間的鄰接關(guān)系，是語法層次地圖信息量的主要體現(xiàn)，采用幾何信息量指導(dǎo)點(diǎn)群的自動綜合，與手工綜合結(jié)果極為接近。

文獻(xiàn)[33]對幾何信息量進(jìn)行了進(jìn)一步擴(kuò)展，研究了目標(biāo)層次上地圖信息的傳遞規(guī)律[7]，并借助地圖幾何信息度量方法對現(xiàn)有的線要素化簡算法進(jìn)行評價，認(rèn)為地圖信息量指標(biāo)優(yōu)于當(dāng)前綜合算法評價指標(biāo)。

文獻(xiàn)[21]采用基于V圖的幾何信息量計算方法以制圖綜合中移位和合并兩種典型操作為例，研究了面目標(biāo)尺度變換中的信息量衰減規(guī)律，可為綜合算法評價提供客觀依據(jù)。

2.3.3基于廣義地圖信息的地圖設(shè)計

廣義地圖信息量度量亦被推廣應(yīng)用于地圖設(shè)計，如地圖注記配置、地圖色彩數(shù)目確定。文獻(xiàn)[34]引入幾何信息量用于面狀要素的注記配置，從地圖信息的角度闡明地圖注記配置的本質(zhì)是降維，配置優(yōu)化的目標(biāo)是最大限度保持原有的幾何信息量。為此，他們創(chuàng)建了基于熵線的注記配置(圖13)，這一方法不僅使得注記配置的效果得到了改進(jìn), 更是注記配置思維由關(guān)注具體圖形到關(guān)注一般本質(zhì)的一種提升。

圖13　基于熵線的注記配置[34]Fig.13　Name placement based on entropy[34]

文獻(xiàn)[14]從地圖信息量負(fù)載的角度研究地圖色彩數(shù)目的確定問題(圖14表示了色彩數(shù)目與地圖有益信息的關(guān)系)，從理論上證明了經(jīng)驗性的色彩數(shù)目確定原則(不超過7～8種)。

2.3.4其他廣義地圖信息的定義

廣義地圖信息度量亦延伸到影像的信息度量，各種影像(如遙感影像)加符號后成為一種特殊的地圖-影像地圖。引入廣義地圖信息論對遙感影像的信息量進(jìn)行度量亦受到了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，對遙感影像進(jìn)行度量一方面可以對遙感影像的質(zhì)量進(jìn)行評價，另一方面也可以對影像處理方法的性能進(jìn)行衡量[35-36]?，F(xiàn)有的遙感影像信息度量方法實際上與文獻(xiàn)[18]提出的廣義地圖信息理論有著共通之處，例如采用一階鄰近像元灰度差異[25]或相關(guān)性[37]度量影像信息實際上與地圖專題信息量的計算方法極為相似：一階鄰近像元實際上等同于一階Voronio鄰近，而像元灰度差亦與地圖符號的類別差類似。然而，對遙感影像每個像元的信息量進(jìn)行度量時，依然采用的是灰度值出現(xiàn)的概率進(jìn)行計算[38]，實際上這種信息量僅是統(tǒng)計信息量：與像元的空間分布無關(guān)，且僅存在一個灰度值時，有像元但無信息量。

圖14　色彩數(shù)目與有益信息的關(guān)系[25]Fig.14　The relationship between number of colours and entropy[25]

3廣義地圖信息論研究的未來方向

地圖信息度量經(jīng)過近半個世紀(jì)的發(fā)展，已經(jīng)從狹義地圖信息論發(fā)展為廣義地圖信息論，而且廣義地圖信息論在現(xiàn)代地圖學(xué)乃至遙感領(lǐng)域均取得了實質(zhì)性的應(yīng)用成果。廣義地圖信息論的研究方興未艾，本文認(rèn)為未來廣義地圖信息論的發(fā)展在于擴(kuò)展與整合。

3.1廣義地圖信息論的3大擴(kuò)展方向

本文認(rèn)為未來廣義地圖信息論會從3大方向擴(kuò)展(圖15)：①由語法地圖信息向語義和語用;②由客觀概率向主觀、邏輯概率;③由空間到時空。

3.1.1由語法地圖信息向語義和語用地圖信息延伸

從語言層次上來看，目前廣義地圖信息論主要度量的是語法層次上的地圖信息，但是語法地圖信息度量是語用和語義地圖信息度量的重要基礎(chǔ)[14]。近年來，已經(jīng)有學(xué)者嘗試將廣義地圖信息論拓展到語義層次上，例如，采用加權(quán)V圖拓展的幾何信息量計算[19]; 考慮水平和垂直方向變化對數(shù)字高程模型的幾何信息量進(jìn)行度量[39]。如何從人類認(rèn)知的角度將語法地圖信息度量推廣到語義和語用地圖信息度量將是未來發(fā)展的重要方向，甚至可能需要對信息論的基礎(chǔ)理論進(jìn)行修正。

圖15　廣義地圖信息論的3大擴(kuò)展方向Fig.15　Three research directions of general cartographic information theory

3.1.2由客觀概率向主觀、邏輯概率的轉(zhuǎn)變

從概率種類來看，當(dāng)前在廣義地圖信息論框架下表征地圖符號不確定性的依然是客觀概率，即根據(jù)事件發(fā)展的客觀性統(tǒng)計出來的概率?？陀^概率只能用于完全可重復(fù)事件，對于很多現(xiàn)實事件并不適用。地圖服務(wù)人類認(rèn)知的特點(diǎn)，決定了地圖信息度量中符號概率必須融入人的主觀性，即主觀概率。更深層次上，可能需要對命題或預(yù)言被不同的人判定為真的概率(即邏輯概率)進(jìn)行考慮。在概率計算中納入人的認(rèn)知約束也可能是將語法信息向語義和語用信息延伸的一種途徑，一些統(tǒng)計學(xué)理論(如貝葉斯理論)或許可以提供理論方法支撐。

3.1.3由空間信息到時空信息的發(fā)展

當(dāng)前廣義地圖信息論考慮的時空專題已經(jīng)從狹義地圖信息論的統(tǒng)計信息擴(kuò)展到幾何、專題、拓?fù)涞确矫妗＿M(jìn)一步，伴隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，傳統(tǒng)地圖已經(jīng)向可視化解析(visualanalytics)邁進(jìn)，表現(xiàn)為語義關(guān)系一致的四維時空位置信息的集合，其特點(diǎn)包括：高動態(tài)、個性化、高精度、精細(xì)化、真三維、同移動互聯(lián)網(wǎng)及物聯(lián)網(wǎng)緊密結(jié)合[40-41]?？梢暬馕鲋邪亩嗑S時空動態(tài)信息，時間和空間信息的交互作用、傳遞及耦合對廣義地圖信息論提出了新的挑戰(zhàn)。

3.2圖形與圖像統(tǒng)一的信息論

影像是現(xiàn)實世界的寫照，是比較具體的表達(dá)，而地圖是符號化、抽象化的表達(dá)。介于兩者之間是影像地圖，一種在正射影像上加地圖符號的新型地圖。影像地圖已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用。圖16為谷歌地圖提供的影像地圖截屏。要研究影像地圖的信息量以及影像到地圖的信息傳輸理論，必須研究圖形與圖像統(tǒng)一的信息度量，或者建立二者的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

圖16　從影像到地圖：符號化(谷歌地圖截屏)Fig.16　From image to map: symbolization (screenshots from Google map)

影像的信息度量本質(zhì)上與地圖信息度量存在共通性，當(dāng)前影像信息度量實際上還多是對統(tǒng)計信息的度量，而對影像反映的空間信息本質(zhì)屬性顧及不足。借鑒廣義地圖信息論中幾何信息量和專題信息量的度量策略發(fā)展影像的空間信息度量模型將是未來圖形與圖像統(tǒng)一信息論研究的重要方向。

4總結(jié)與展望

本文對近半個世紀(jì)以來，信息論在地圖學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展進(jìn)行了回顧，將地圖信息度量區(qū)分為兩個發(fā)展階段：狹義地圖信息論與廣義地圖信息論。進(jìn)而，對這兩個發(fā)展階段的研究成果、特點(diǎn)進(jìn)行了系統(tǒng)的歸納與評述。本世紀(jì)初提出廣義地圖信息度量理論后，地圖信息度量對現(xiàn)代地圖學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了重要的推動作用，在地圖質(zhì)量/可讀性評價、地圖綜合、地圖設(shè)計等諸多領(lǐng)域產(chǎn)生了新的變革，并取得了一系列標(biāo)志性的應(yīng)用成果。

本文同時對廣義地圖信息論的發(fā)展現(xiàn)狀進(jìn)行了定位，在此基礎(chǔ)上從語言層次、概率種類與時空專題3個方面對廣義地圖信息論的發(fā)展方向進(jìn)行了展望，同時亦對影像與地圖信息論的統(tǒng)一問題進(jìn)行了初步的探討。通過對地圖信息度量領(lǐng)域的發(fā)展進(jìn)行梳理，希望能夠起到拋磚引玉的作用，促進(jìn)廣義地圖信息論的新發(fā)展。

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(責(zé)任編輯：張燕燕)

修回日期： 2016-05-24

First author： LI Zhilin(1960—)，male，PhD,professor,majors in cartography,GIS and remote sensing.

中圖分類號：P208

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1001-1595(2016)07-0757-11

基金項目：國家973計劃(2012CB719901)，國家自然科學(xué)基金(41471383)；香港研究資助局基金(B-Q49E)

收稿日期：2016-05-03

第一作者簡介：李志林(1960—)，男，博士，教授，主要研究方向為地圖制圖、地理信息科學(xué)及遙感等。

Entropy-based Cartographic Communication Models：Evolution from Special to General Cartographic Information Theory

LI Zhilin1,2，LIU Qiliang2,3，GAO Peichao2

1. Joint State-Province Engineering Laboratory of Spatial Information Technology for High-speed Railway Safety，Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756, China； 2. Department of Land Surveying and Geo-Informatics, The Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong, China； 3. Department of Geo-Informatics, Central South University, Changsha 410083, China

Abstract：Map is a kind of powerful means to help people in understanding the objective world. The key function of map is to transmit spatial information. The measurement of spatial information of maps dates back to 1960s, when the information theory of communication was introduced to the field of cartography. The introduction led to a new branch of cartography, i.e. cartographic information theory. This paper provides a review of the development of cartographic information theory over the past 50 years. Emphasis is on the evolution from the special to the general cartographic information theory.

Key words：cartography; information theory; cartographic information theory; special cartographic information theory; general cartographic information theory

引文格式：李志林、劉啟亮，高培超.地圖信息論：從狹義到廣義的發(fā)展回顧[J].測繪學(xué)報，2016,45(7)：757-767. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20160235.

LI Zhilin，LIU Qiliang，GAO Peichao.Entropy-based Cartographic Communication Models：Evolution from Special to General Cartographic Information Theory[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(7):757-767. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20160235.