黃時中，　郭　蕊，　汪　女曼

(安徽師范大學 物理與電子信息學院，安徽 蕪湖　241000)

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非均勻電場中帶電粒子的運動特征

黃時中，郭蕊，汪女曼

(安徽師范大學 物理與電子信息學院，安徽 蕪湖241000)

摘要：本文以均勻帶電球體、均勻帶電圓盤、均勻帶電圓環(huán)所產(chǎn)生的非均勻電場為例,分析了帶電粒子在這些非均勻電場中的運動特征.分析方法的要點是,依據(jù)帶電粒子在非均勻電場中的受力情況建立動力學方程,解析地導出帶電粒子的運動學方程(多數(shù)是以隱函數(shù)形式呈現(xiàn)的運動學方程),運用現(xiàn)代數(shù)學工具mathematica描繪出帶電粒子運動的x-t和v-x圖像,以此為基礎(chǔ)分析帶電粒子在非均勻電場中的運動特征.

關(guān)鍵詞：非均勻電場；帶電粒子；運動特征

引言

帶電粒子在電場中的運動規(guī)律是電磁學以及大學物理課程中的重要知識點.眾所周知, 實際的電場都是非均勻電場,均勻電場只不過是幾種非均勻電場的近似表達形式.然而, 在目前的電磁學以及大學物理教材[1-4]中所介紹的帶電粒子在電場中的運動規(guī)律基本上都指在均勻電場中的運動規(guī)律,至于帶電粒子在非均勻電場中的運動規(guī)律,除個別特例外,并未作介紹,究其原因在于數(shù)學處理上較為復雜.經(jīng)研究,我們發(fā)現(xiàn),利用近十來年發(fā)展起來的現(xiàn)代數(shù)學工具Mathematica,可以相當方便地處理這類復雜問題.本文以均勻帶電球體、均勻帶電圓盤、均勻帶電圓環(huán)所產(chǎn)生的非均勻電場為例,分析帶電粒子在這些非均勻電場中的運動規(guī)律.分析方法的要點是,依據(jù)帶電粒子在非均勻電場中的受力情況建立動力學方程,解析地導出帶電粒子的運動學方程(多數(shù)是以隱函數(shù)形式呈現(xiàn)的運動學方程),運用現(xiàn)代數(shù)學工具mathematica描繪出帶電粒子運動的x-t和v-x圖像,分析帶電粒子在非均勻電場中的運動特征. 這種分析方法可以方便地引入到電磁學以及大學物理課程的教學中,從而深化相關(guān)知識點的教學改革[5-6],提升教學質(zhì)量.

圖1　帶電粒子在均勻帶電球體內(nèi)部沿軸線的運動

1帶電粒子在非均勻電場中的運動特征

設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m,初始率為v0,初始坐標為x0,我們來討論該粒子在非均勻電場中沿X軸作直線運動的幾種情形.

1.1帶電粒子在均勻帶電球體內(nèi)部沿軸線的運動

如圖1所示, 在半徑為總電荷量為Q(Q>0)的均勻帶電球體軸線(X軸)上有一個非常細的隧道,一帶電粒子(電荷量為-q<0)位于該隧道上, 我們來討論該帶電粒子在帶電球體內(nèi)的運動規(guī)律(限定|x|

在與球心相距為x的P點,電場強度的方向沿X軸正向,大小為[1]

(1)

帶電粒子所受的作用力是

Fx=-qEx=-kx

(2)

其中

(3)

這種作用力與無阻尼簡諧振子所受的作用力的數(shù)學形式相同,因而帶電粒子在均勻帶電球體內(nèi)部沿軸線的運動是簡諧振動[7].

設(shè)帶電粒子的初速度與X軸平行,且初始坐標和速度分別是x0和v0,則帶電粒子的運動學方程的數(shù)學形式是

x=Acos(ωt+φ)

(4)

其中

(5)

運動學方程(4)是顯函數(shù),其規(guī)律是熟知的,無須做進一步分析.

圖2　帶電粒子在均勻帶電球體外部沿軸線的運動

1.2帶電粒子在均勻帶電球體外部沿軸線的運動

在與球心相距為x的P點,電場強度的方向沿X軸正向,大小為

(6)

帶電粒子所受的作用力和加速度分別是

(7)

設(shè)帶電粒子的初速度與X軸平行,我們來分析帶電粒子的速度.根據(jù)牛頓第二定律的x分量式，我們有

兩邊取積分

可得

(8)

其中

(9)

C是由初始條件(初始坐標x0和速度v0)所確定的常量.

方程(8)給出了粒子的運動速度與坐標之間的關(guān)系,下面進一步分析帶電粒子的運動方程.利用vx=dx/dt,可以將方程(8)改寫為

兩邊再取積分

并利用Mathematica命令完成上式左邊的積分，得到

(10)

此即用隱函數(shù)f(x,t)=0的形式表示的粒子的運動學方程.利用Mathematica中的繪圖命令,可以簡便地繪出粒子運動的x-t圖像,從而形象地顯示出粒子的運動特征. 為了簡化繪圖操作, 我們參照(9)式取

(11)

利用Mathematica命令繪出的x-t圖像如圖3.a所示,圖中縱坐標的單位是x0,橫坐標的單位是Bs.

a. x-t圖像　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　b. v-x圖像圖3　帶電粒子在均勻帶電球體外部沿軸線運動的圖像

圖4　帶電粒子在均勻帶電圓盤軸線上的運動

圖3.a所表明的帶電粒子在均勻帶電球體外部的電場中沿軸線的運動特征是:經(jīng)歷短時間的加速后,帶電粒子作勻速直線運動.如何理解這一運動特征呢?其實,由方程(7)可知,隨著粒子的位移的增大,粒子的加速度迅速減小,而由方程(8)可知,隨著粒子的位移的增大,粒子的速度迅速趨近于常量.利用Mathematica命令繪出粒子運動的v-x圖像(圖3.b,圖中橫坐標的單位是x0,縱坐標的單位是v0·B-1),可以直觀地看出粒子運動速度的這一特征.

1.3帶電粒子在均勻帶電圓盤軸線上的運動

如圖4所示,半徑為R總電荷量為Q(假設(shè)Q>0)的均勻帶電圓盤的盤心在X軸的原點,將另一帶電為q(q>0)的粒子置于X軸上,我們來討論該帶電粒子在X軸上的運動特征.

均勻帶電圓盤軸線(X軸)上與盤心相距為x的P點的電場強度為

(12)

帶電粒子所受的作用力和加速度分別是

(13)

和

(14)

設(shè)帶電粒子的初速度與X軸平行,我們來分析帶電粒子的速度.將(13)式代入牛頓第二定律的x分量式

得到

兩邊取積分

可得

由此給出

(15)

其中

(16)

K是由初始條件(初始坐標x0和速度v0)所確定的常量.

下面進一步分析帶電粒子的運動方程.利用vx=dx/dt,可以將方程(15)改寫為

兩邊再取積分

并利用Mathematica命令完成上式左邊的積分，得到

(17)

其中

(18)

是反雙曲函數(shù).

方程(17)即用隱函數(shù)f(x,t)=0的形式表示的粒子的運動學方程.利用Mathematica中的繪圖命令,可以簡便地繪出粒子運動的x-t圖像,從而形象地顯示出粒子的運動特征.為了簡化繪圖操作,我們參照(16)式取

(19)

利用Mathematica命令繪出的x-t圖像如圖5.a所示,圖中縱坐標的單位是x0,橫坐標的單位是Gs.而依據(jù)方程(15)用Mathematica命令繪出的v-x圖像如圖5.b所示(圖5.b中橫坐標的單位是x0,縱坐標的單位是v0·G-1).

a. x-t圖像　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　b. v-x圖像圖5　帶電粒子在均勻帶電圓盤軸線上運動的圖像

圖6　帶電粒子在均勻帶電細圓環(huán)軸線上的運動

圖5所表示的帶電粒子在均勻帶電圓盤的電場中沿圓盤軸線的運動特征是:帶電粒子一直作加速直線運動,且在靠近帶電圓盤的區(qū)域粒子的速度增大較快,在遠離帶電圓盤的區(qū)域粒子的速度增大較慢.這一運動特征與均勻帶電圓盤軸線上電場的非均勻性一致.其實,由方程(12)可知,在靠近帶電圓盤的區(qū)域,其電場強度最強,近似為Ex≈Q/(2πε0R2),因而在靠近帶電圓盤的區(qū)域,帶電粒子的加速度最大;隨著與帶電圓盤中心的距離的增大,電場強度迅速減小,因而粒子的加速度迅速減小.由圖5.b可以比較直觀地看出粒子運動速度的特征.

1.4帶電粒子在均勻帶電細圓環(huán)軸線上的運動

如圖6所示,半徑為R總電荷量為Q(Q>0)的均勻帶電細圓環(huán)的中心在X軸的原點,將另一帶電為q(q>0)的粒子置于X軸上,我們來討論該帶電粒子在X軸上的運動特征.

均勻帶電細圓環(huán)軸線上與環(huán)的中心相距為x的P點的電場強度為

(20)

帶電粒子所受的作用力和加速度分別是

(21)

和

(22)

設(shè)帶電粒子的初速度與X軸平行,我們來分析帶電粒子的速度.將(21)式代入牛頓第二定律的x分量式

得到

兩邊積分

可以得到

(23)

其中

(24)

下面進一步分析帶電粒子的運動方程.利用vx=dx/dt,可以將方程(23)改寫為

利用Mathematica命令完成上式左邊的積分，得到

(25)

其中

(26)

(27)

(28)

是三類橢球積分,且

(29)

方程(25)即用隱函數(shù)f(x,t)=0的形式表示的粒子的運動學方程.盡管這一方程的數(shù)學形式非常復雜,但是利用Mathematica中的繪圖命令依然可以簡便地繪出粒子運動的x-t圖像,從而形象地顯示出粒子的運動特征.為了簡化繪圖操作,我們參照(24)式取

(30)

利用Mathematica命令繪出的x-t圖像如圖7.a所示,圖中縱坐標的單位是x0,橫坐標的單位是Ns.

a. x-t圖像　　　　　　　　　　　　　b. ax-x圖像　　　　　　　　　　　　　c. v-x圖像圖7　帶電粒子在均勻帶電圓環(huán)軸線上運動的圖像

另一方面,由方程(23)可知,隨著粒子的位移的增大,粒子的速度迅速趨近于常量.利用Mathematica命令繪出粒子運動的v-x圖像(圖7.c,圖中的橫坐標的單位是x0,縱坐標的單位是v0·N-1),可以直觀地看出粒子運動速度的這一特征.

2結(jié)論

綜上所述,在不同的非均勻電場中,帶電粒子的運動具有不同的特征.運用現(xiàn)代數(shù)學工具Mathematica,可以解析地導出在一些常見的非均勻電場(諸如均勻帶電球體、均勻帶電圓盤、均勻帶電圓環(huán)所產(chǎn)生的非均勻電場)中帶電粒子的運動學方程(多數(shù)是以隱函數(shù)形式呈現(xiàn)的運動學方程)、描繪出帶電粒子運動的x-t和v-x以及a-x圖像、分析出帶電粒子的運動特征. 這種分析方法可以拓展到對其他非均勻電場中帶電粒子的運動特征的分析、可以方便地引入到電磁學以及大學物理課程的教學中,從而深化相關(guān)知識點的教學改革,提升教學質(zhì)量.

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DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.04.007

收稿日期：2015-11-20

基金項目：安徽省自然科學基金項目(11040606M15),國家自然科學基金專項基金項目(11047019).

作者簡介：黃時中(1958-),男,安徽宿松人,教授，博士，主要從事大學物理和理論物理方面的教學和研究工作.

中圖分類號：O572.2

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2443(2016)04-0342-07

The Characteristics of a Charged Particle Moving in Non-Uniform Electric Fields

HUANG Shi-zhong,GUO Rui,WANG Man

(College of Physics and Electrical Information, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Abstract:The characteristics of a charged particle moving in non-uniform electric fields such as the electric fields generalized by a charged sphere, a charged disc and a charged ring are analyzed. The basic method is as follows: Based on the electric force acted on the charged particle under the non-uniform electric field, the dynamical equation of the charged particle is established, the moving equation of the charged particle is then derived analytically, the x-t and v-x images are drawn by verdure of the modern mathematics tool, mathematica, and finally, the moving characteristics of the charged particle is discussed.

Key words:non-uniform electric field; charged particle; moving characteristic

引用格式：黃時中，郭蕊，汪嫚.非均勻電場中帶電粒子的運動特征[J].安徽師范大學學報：自然科學版，2016，39(4)：342-348.