王宏利，　吳麗莉

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京　100871)

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振蕩周期不受溫度影響的生物調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的數(shù)值研究

王宏利，吳麗莉

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京100871)

摘要：生物學(xué)中普遍存在的生物鐘的基本特性之一是其振蕩周期不隨環(huán)境溫度變化而變化，即具有溫度補償特性，其機制是近年來研究的熱點.本文對具有振蕩周期不隨溫度變化的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)做了數(shù)值分析.溫度補償振蕩是一種系統(tǒng)水平的性質(zhì)，跟網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)具有密切聯(lián)系.對多節(jié)點的僅有抑制性調(diào)控關(guān)系的隨機網(wǎng)絡(luò)的計算表明，溫度補償?shù)恼袷幮袨榭梢詢H僅通過采用適當?shù)耐負浣Y(jié)構(gòu)實現(xiàn)，而不需要細調(diào)的動力學(xué)參數(shù).對所有3個節(jié)點網(wǎng)絡(luò)的窮舉發(fā)現(xiàn)，溫度補償振蕩網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上是兩種性質(zhì)互補的振蕩網(wǎng)絡(luò)模體的組合，即延遲的負反饋網(wǎng)絡(luò))、抑制子振子和激活抑制振子、底物耗盡振子的組合.對網(wǎng)絡(luò)振蕩周期隨參數(shù)的敏感性分析表明，溫度補償振蕩可以通過熔斷機制來實現(xiàn)，振蕩周期僅敏感依賴于極少數(shù)的反應(yīng)速率常數(shù)，而這些常數(shù)的活化能很小因為阻斷了溫度對振蕩周期的影響.

關(guān)鍵詞：魯棒性；振蕩；生物網(wǎng)絡(luò)

自發(fā)周期振蕩作為一種典型的非線性動力學(xué)行為廣泛存在于各類動力學(xué)系統(tǒng)中.在生物體系中，生命活動一般表現(xiàn)為日夜節(jié)律的振蕩形式即生物鐘，其周期等于地球自轉(zhuǎn)周期(24小時).生物鐘是生物系統(tǒng)與其生存的地球環(huán)境日夜輪轉(zhuǎn)相適應(yīng)的結(jié)果，普遍存在于從簡單的單細胞生物(如藍藻)到鳥類以及人類等高等哺乳動物[1].生物鐘最重要的特性之一是隨著環(huán)境溫度的顯著變化，振蕩周期不發(fā)生明顯改變.振蕩周期不隨溫度的變化而變化的特性被稱為溫度補償[2].從亞細胞水平看，生物鐘行為是相關(guān)基因以及蛋白分子之間相互作用和調(diào)控的結(jié)果，其基礎(chǔ)是生化反應(yīng).生化反應(yīng)速率常數(shù)一并地隨著溫度升高而加快.隨溫度的升高和反應(yīng)速率的加快，生物鐘的振蕩周期不縮短反而在一定溫度范圍內(nèi)保持恒定，其溫度補償?shù)臋C制一直是生物物理研究中一個懸而未決的問題.在過去的二十多年中，研究者們在多種模式生物的生物鐘分子相互作用基礎(chǔ)上，提出了多種溫度補償機制，如拮抗平衡機制[3]，開關(guān)機制[4]，單一酶催化的化學(xué)反應(yīng)機制[5]，以及最近提出的將溫度補償看成是周期對溫度變化的適應(yīng)性機制[6].這些研究均在一定程度上說明了實現(xiàn)溫度補償?shù)目赡芡緩?，同時表明，溫度補償是系統(tǒng)的整體的特性，與其分子相互作用的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)具有一定關(guān)系.

本文試圖尋找具有溫度補償?shù)恼袷幘W(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)上的特點，發(fā)掘具有振蕩和溫度補償雙重特性的生物基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的簡單結(jié)構(gòu)和設(shè)計原理.我們考慮了由若干個節(jié)點構(gòu)成的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)，通過枚舉的方法尋找能實現(xiàn)振蕩同時又具有周期不隨溫度變化特性的網(wǎng)絡(luò)，通過分析其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上的特點，尋找能實現(xiàn)溫度補償振蕩的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上的規(guī)律.我們發(fā)現(xiàn)，動力學(xué)單一的結(jié)構(gòu)多節(jié)點網(wǎng)絡(luò)，只要結(jié)構(gòu)合適都可以形成具有周期隨參數(shù)變化不敏感的溫度補償振蕩.少節(jié)點的簡單網(wǎng)絡(luò)則需要適當?shù)慕Y(jié)構(gòu)和參數(shù)配合才能形成溫度補償振蕩.對于不多于三個節(jié)點的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)，有四種基本的網(wǎng)絡(luò)模體(motif)，即延遲的負反饋振子，三節(jié)點抑制子振子，激活抑制振子和底物耗盡振子.該四種簡單結(jié)構(gòu)的組合即可形成具有穩(wěn)健溫度補償?shù)恼袷幮袨?

1抑制相互作用網(wǎng)絡(luò)中的溫度補償振蕩

我們首先考慮多節(jié)點的抑制相互作用網(wǎng)絡(luò)是否具有實現(xiàn)溫度補償振蕩的可能性.網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點表示一個基因的蛋白表達產(chǎn)物，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間僅有抑制相互作用，即一個基因表達出的蛋白質(zhì)產(chǎn)物對另一個基因的轉(zhuǎn)錄具有抑制作用.為排除參數(shù)取值不同的影響，網(wǎng)絡(luò)中所有的抑制相互作用都相同，網(wǎng)絡(luò)中的某個節(jié)點i滿足的動力學(xué)方程為[7]：

(1)

方程右側(cè)第一項為網(wǎng)絡(luò)相互作用對節(jié)點i表達速率的貢獻，第二項為蛋白酶引起的降解；矩陣元Aij表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點j到i的連接矩陣，可取值1(激活)，-1(抑制)和0(沒有相互作用).分母中Aij(xj)n的將引起基因i表達速率的抑制.參數(shù)I表示抑制的強度.由于溫度變化10攝氏度，反應(yīng)速率常數(shù)一般變?yōu)樵瓉淼?倍.在我們的數(shù)值研究中，溫度的變化表現(xiàn)在I取值的變化上，I∈[1,2].為了尋找在溫度突變的條件下能保持振蕩周期不變的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，我們首先嘗試了10個節(jié)點20條節(jié)點連接的網(wǎng)絡(luò).通過初始的隨機網(wǎng)絡(luò)，檢查其是否能振蕩；對于能振蕩的網(wǎng)絡(luò)，則檢查是否具有I變化下的穩(wěn)定周期.如果能振蕩但周期不穩(wěn)定，則調(diào)整其網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的連接，使一條邊隨機地指向其他的節(jié)點，通過不斷的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的演化，尋找溫度補償?shù)恼袷幘W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).對10個節(jié)點20條邊的網(wǎng)絡(luò)的計算表明，從任意一個初始的網(wǎng)絡(luò)出發(fā)，都可以在有限的演化步驟之后到達能實現(xiàn)溫度補償?shù)恼袷幗Y(jié)構(gòu).圖1a所示為一個初始的隨機網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和演化得到的圖1b所示的具有溫度補償?shù)恼袷幘W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).

圖1　網(wǎng)絡(luò)演化得到的溫度補償網(wǎng)絡(luò).(a) 10個節(jié)點20條邊的初始振蕩網(wǎng)絡(luò)；(b)以網(wǎng)絡(luò)(a)為起點演化得到的溫度補償振蕩網(wǎng)絡(luò)；(c)(d)(e)為演化得到的4個節(jié)點8條邊構(gòu)成的溫度補償振蕩網(wǎng)絡(luò)；(f)5個節(jié)點和11條邊構(gòu)成的溫度補償網(wǎng)絡(luò).計算過程中，方程1中的參數(shù)p=100,n=3.

以上沒有可調(diào)參數(shù)的10節(jié)點網(wǎng)絡(luò)中，只要調(diào)整網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就可以進化出具有振蕩周期不隨溫度變化的網(wǎng)絡(luò).這表明，溫度補償振蕩網(wǎng)絡(luò)可以僅僅通過適當?shù)木W(wǎng)絡(luò)拓撲實現(xiàn).接下來，我們把網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)降到3，4和5，分別檢查了網(wǎng)絡(luò)的邊數(shù)由最少(分別為3，4，5)到最多(分別為9，16，和25)，依然通過進化的算法通過結(jié)構(gòu)的調(diào)整尋找溫度補償網(wǎng)絡(luò).對于3節(jié)點網(wǎng)絡(luò)，不論邊數(shù)，僅有首尾互相抑制結(jié)構(gòu)(即repressilator, 結(jié)構(gòu)為)具有振蕩行為，但周期會隨I的變化顯著改變.對于4節(jié)點網(wǎng)絡(luò)，我們窮舉了所有可能的邊數(shù)和連接方式，發(fā)現(xiàn)有3個結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)溫度補償振蕩(如圖1c，d，e所示).5節(jié)點網(wǎng)絡(luò)中能實現(xiàn)溫度補償?shù)木W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)比4節(jié)點網(wǎng)絡(luò)多，圖1f展示了其中的一個.以上結(jié)果表明，溫度補償振蕩網(wǎng)絡(luò)可以在相對簡單的網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn).

2溫度補償振蕩網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計原理

在以上的分析中，我們僅僅考慮了抑制相互作用的多節(jié)點網(wǎng)絡(luò)，且數(shù)學(xué)模型中沒有可以自由調(diào)整的參數(shù).為了尋找能實現(xiàn)溫度補償?shù)淖詈唵蔚恼袷幘W(wǎng)絡(luò)，弄清楚補償振蕩網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)成原理，我們接下來考慮僅有3節(jié)點構(gòu)成的簡單網(wǎng)絡(luò).不同于抑制相互作用網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(基因)間可以互相抑制也可以互相激勵.如果有一個基因的表達受到多于一種基因的蛋白表達物的調(diào)控，則它們將以競爭的方式結(jié)合到該基因的啟動子上.在模型中考慮了基礎(chǔ)表達和線性降解項后，網(wǎng)絡(luò)中一個基因的蛋白表達速率可以通過如下形式的常微分方程組描述[7]:

(2)

其中xi為基因i表達出來的蛋白質(zhì)分子的濃度，Kij為解離常數(shù),n為希爾系數(shù)，最大表達速率vij及降解速率常數(shù)ri被假定為依賴于溫度，遵守阿侖尼烏斯方程：

(3)

上式中E表示活化能，T為開爾文溫度，R為氣體常數(shù).Jil為網(wǎng)絡(luò)的連接矩陣.我們假定δi和Kij不隨溫度變化.文獻報道的結(jié)果表明蛋白質(zhì)的合成以復(fù)雜的形式依賴于溫度.上述反應(yīng)參數(shù)隨溫度的變化關(guān)系是我們的模型假設(shè)，是對實際情況的簡化.由于網(wǎng)絡(luò)中僅有三個節(jié)點，溫度補償?shù)恼袷幮袨樾枰m當?shù)木W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和適當取值的參數(shù)的結(jié)合.我們枚舉了每一種3節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，每個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)通過拉丁超立方采樣的算法產(chǎn)生10000組參數(shù)[8]，檢驗每組參數(shù)下動力學(xué)系統(tǒng)是否具有溫度補償?shù)恼袷幮袨?對于可以振蕩的網(wǎng)絡(luò)，進一步調(diào)整溫度使其在區(qū)間[283K，293K]內(nèi)變化.通過計算不同溫度下的振蕩周期，檢驗其是否具有不隨溫度改變的振蕩周期.對于一個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可能存在多組參數(shù)實現(xiàn)補償振蕩.圖2所示為3節(jié)點網(wǎng)絡(luò)枚舉溫度補償振蕩的算法流程圖.為了衡量一個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)補償振蕩和補償振蕩的能力，分別采用了Q-值和q-值來估計.Q-值為一個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的10000組隨機參數(shù)中能產(chǎn)生振蕩的參數(shù)的數(shù)目；q-值則進一步表示Q組參數(shù)中有多少組參數(shù)可以實現(xiàn)溫度補償?shù)恼袷?

圖2　枚舉3節(jié)點網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)通過在參數(shù)空間中用拉丁超立方采樣參數(shù)篩選溫度補償振蕩網(wǎng)絡(luò)算法流程圖

從所有可能的2423個結(jié)構(gòu)上不等價的3節(jié)點網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，計算共篩選出具有溫度補償?shù)恼袷幘W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)787個.這些網(wǎng)絡(luò)中具有最少邊數(shù)的最簡網(wǎng)絡(luò)共發(fā)現(xiàn)有四種，如圖3b中的M1, M2, M3和M4所示.這些最小網(wǎng)絡(luò)恰好是目前發(fā)現(xiàn)的能實現(xiàn)振蕩的最簡單模體(motif)，它們分別被稱為延遲的負反饋振子(M1)，三節(jié)點抑制子振子(M2)，激活抑制振子(M3)和底物耗盡振子(M4).對787個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的分析表明，這些能實現(xiàn)溫度補償振蕩的網(wǎng)絡(luò)中絕大多數(shù)都包含這4種基本振蕩模體或它們的組合.圖3c所示為這些最簡單模體組合的三個實際例子.為了弄清4個基本振蕩網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的差異，我們對它們的參數(shù)空間進行了更大規(guī)模(100000組)的參數(shù)采樣，通過統(tǒng)計它們的Q-值和q-值，并比較它們在振蕩能力和實現(xiàn)溫度補償能力上的差異.結(jié)果表明，模體M1，模體M2和模體M3，模體M4在振蕩能力上差異很大，前兩者的Q-值比后兩者大很多，表明M1和M2兩種結(jié)構(gòu)對于網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)振蕩的功能具有很大優(yōu)勢.另一方面，模體M3和模體M4雖然不容易振蕩，但是它們具有相對較大的q-值，表明它們雖然不容易產(chǎn)生振蕩，但是發(fā)生振蕩后其周期抵抗溫度變化的能力比模體M1和模體M2要強很多.這提示我們，具有穩(wěn)健實現(xiàn)溫度補償?shù)恼袷幘W(wǎng)絡(luò)可以通過這兩類在實現(xiàn)振蕩和實現(xiàn)溫度補償?shù)哪芰ι匣パa的基本網(wǎng)絡(luò)的組合構(gòu)成.對溫度補償振蕩能力最強的35個網(wǎng)絡(luò)的分析表明，它們確實是通過這兩類模體的組合構(gòu)成了.圖3c所示的3個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)即為q-值最大的能實現(xiàn)溫度補償?shù)慕Y(jié)構(gòu)之一.

圖3　實現(xiàn)溫度補償振蕩的最簡單網(wǎng)絡(luò)，延遲的負反饋振子M1(delayed negative feedback)，抑制子振子M2(repressilator)，激活抑制振子M3(activator-inhibitor)和底物耗盡振子M4(substrate-depletion).圖中的TCO表示溫度補償振蕩.(a)溫度補償示意圖；(b)四種最簡單的振蕩模體(motif)；(c)4種模體組合形成穩(wěn)健溫度補償振蕩網(wǎng)絡(luò)的3個實例.

3三節(jié)點溫度補償振蕩網(wǎng)絡(luò)的機理分析

為了檢查以上計算得到的溫度補償振蕩網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)補償振蕩的機制，我們對q-值最大的35個網(wǎng)絡(luò)進一步分析了其振蕩周期對參數(shù)以及溫度的敏感性.由于假定了反應(yīng)速率常數(shù)以阿侖尼烏斯方程(3)的方式依賴于溫度，則溫度補償振蕩從數(shù)學(xué)上可以表示為不同參數(shù)的改變對周期影響的拮抗平衡[10]，即：

(4)

圖4　六種溫度補償網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的反應(yīng)速率常數(shù)在補償振蕩常數(shù)下對振蕩周期的彈性(在溫度變化區(qū)間取平均值).橫坐標表示實現(xiàn)補償振蕩的不同常數(shù).圖中的灰色小圓表示所有常數(shù)彈性的疊加.

4結(jié)論

以上對能實現(xiàn)周期不隨溫度變化的振蕩網(wǎng)絡(luò)，從多節(jié)點到少節(jié)點都做了較為系統(tǒng)的檢驗.對多節(jié)點的分析表明，溫度補償?shù)恼袷幮袨?，可以僅僅通過合適的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)，而不需要調(diào)整系統(tǒng)動力學(xué)中的參數(shù).說明溫度補償振蕩行為主要是一種系統(tǒng)水平的性質(zhì)，跟網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)密切相關(guān).對僅有3個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)的枚舉表明，溫度補償振蕩可以通過合適的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和適當?shù)膮?shù)的組合來實現(xiàn).在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上，溫度補償振蕩網(wǎng)絡(luò)可以通過兩種性質(zhì)互補的振蕩網(wǎng)絡(luò)模體的組合來實現(xiàn)，即延遲的負反饋網(wǎng)絡(luò)(M1)、抑制子振子(M2)和激活抑制振子(M3)、底物耗盡振子(M4)的組合.對于溫度補償網(wǎng)絡(luò)的振蕩周期對參數(shù)的敏感性的計算表明，溫度補償振蕩可以通過熔斷機制來實現(xiàn)周期對溫度的魯棒性.網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)在一定程度上決定了系統(tǒng)整體的振蕩周期僅敏感依賴于極少數(shù)的參數(shù)，而這些參數(shù)可以通過采用很小的活化能的方式阻斷溫度升高導(dǎo)致反應(yīng)速率加快引起的振蕩周期的縮短.雖然系統(tǒng)中的大多數(shù)參數(shù)受溫度的影響可以顯著加快，但是由于它們的變化對振蕩周期的影響不明顯，最終導(dǎo)致了具有溫度補償?shù)恼袷幮袨?

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DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.04.002

收稿日期：2016-05-26

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11174013).

作者簡介：王宏利(1969-)，男，安徽歙縣人，安徽師范大學(xué)物理系1988級校友，北京大學(xué)物理學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師.

中圖分類號：O59

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2443(2016)04-0315-05

Numerical Analysis of Oscillatory Regulatory Networks with Temperature-Independent Oscillation Period

WANG Hong-li,WU Li-li

(School of Physics, Beijing University, Beijing 100871， China)

Abstract:Oscillatory gene interaction networks whose oscillation period is independent of temperature were theoretically investigated with multiple-node-networks having up to twenty nodes and with few-node-networks with only three nodes. Analyses revealed that the temperature independent oscillation period can be achieved through proper re-linkages between the nodes. With only inhibitory interactions in the networks, and without fine-tuning parameter values, most of multiple-node networks can evolve into proper topologies and oscillate with a period not affected by temperature fluctuations. The analysis revealed that temperature-compensated oscillations occur at the system level and depend strongly on the topological structure of the networks.

Key words:robustness; oscillation; biological network

引用格式：王宏利，吳麗莉.振蕩周期不受溫度影響的生物調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的數(shù)值研究[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2016，39(4)：315-319.