李　軍，石　青

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基于ELM的一類不確定性純反饋非線性系統(tǒng)的Backstepping自適應控制

李軍，石青

（蘭州交通大學自動化與電氣工程學院，甘肅 蘭州 730070）

摘要:針對一類不確定性純反饋非線性動力學系統(tǒng)，在中值定理、Backstepping控制的基礎上，提出一種基于極限學習機(ELM)的自適應神經控制方法。ELM隨機確定單隱層前饋網絡(SLFNs)的隱含層參數，僅需調整網絡的輸出權值，能以極快的學習速度獲得良好的推廣性。在每一步的Backstepping設計中，應用ELM網絡對子系統(tǒng)的未知非線性項進行在線逼近，通過Lyapunov穩(wěn)定性分析設計的權值參數自適應調節(jié)律，可以保證閉環(huán)非線性系統(tǒng)所有信號半全局最終一致有界，系統(tǒng)的輸出收斂于期望軌跡的很小鄰域內。將所設計的控制方法應用于化工過程中的連續(xù)攪拌反應釜(CSTR)非線性系統(tǒng)實例中，仿真結果表明了控制方法的有效性。

關鍵詞:非線性動力學；自適應；控制；Backstepping；極限學習機；神經網絡

引 言

Backstepping控制方法[1-2]也稱為反演控制，它目前已成為一大類非線性動力學系統(tǒng)的主流設計方法，與反饋線性化控制技術相比，它能靈活地避免系統(tǒng)中有用的非線性項被抵消，且很容易地保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。它在每一步的設計中，將復雜的非線性動力學系統(tǒng)分解為不超過系統(tǒng)階次的子系統(tǒng)，然后為每個子系統(tǒng)分別設計Lyapunov函數及中間虛擬控制量，一直“后退”到整個系統(tǒng)，直到完成整個控制律的設計。自適應神經控制[3-5]或自適應模糊控制[6-7]在應對非線性的參數變化、未建模動態(tài)以及外界干擾等方面具有更加優(yōu)越的性能，尤其是結合 Backstepping設計的自適應控制方法[8-12]在非線性系統(tǒng)的控制中已得到廣泛的應用，它解決了一大類非線性動力學系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性以及漸進跟蹤性等問題。

文獻[8-10]在自適應 Backstepping設計的基礎上，提出了不同的神經網絡自適應 Backstepping控制方法，且取得了較好的控制效果，它們均是針對如式(1)所示的嚴格參數反饋非線性系統(tǒng)進行的，即

與嚴格反饋非線性動力學系統(tǒng)相比，化學反應、飛行控制、生化過程等純反饋非線性動力學系統(tǒng)是一類更一般的且更能真實描述的非線性系統(tǒng)[11]。純反饋形式的非線性系統(tǒng)與嚴格反饋非線性系統(tǒng)一樣，均具有三角形結構，且狀態(tài)變量僅依賴于[x1,x2,…,xi+1]T，i=1,…,n-1。區(qū)別在于嚴格反饋非線性系統(tǒng)是一類特殊形式的純反饋非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)具有仿射形式的結構，即每個狀態(tài)變量以及控制輸入是仿射的，而純反饋非線性系統(tǒng)往往具有非仿射形式的結構。實際應用中的大多數工程系統(tǒng)本質上是非仿射的，因此研究純反饋非線性系統(tǒng)具有更好的工程實用價值。文獻[12]針對一類非仿射的純反饋單輸入單輸出非線性系統(tǒng)，提出了一種自適應變結構神經網絡控制策略, 而且證明閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號在平衡點上是半全局一致有界的。文獻[13]提出一種基于RBF神經網絡的Backstepping自適應控制方法，所設計的控制器能滿足閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號半全局一致最終有界，通過適當地選擇設計參數，能保證閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能。在上述文獻中，由于前饋神經網絡、RBF神經網絡或模糊邏輯系統(tǒng)的良好逼近特性，且具有自適應學習的特點，可用于逼近非線性系統(tǒng)的不確定部分，進一步基于Lyapunov綜合法設計參數的在線自適應調節(jié)律，以保證控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。但是在網絡結構的確定方面，如徑向基函數(radial basis function, RBF)神經網絡的隱含層節(jié)點的參數或模糊系統(tǒng)的隸屬度函數構造上，主要利用先驗知識確定，有時會影響閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤精度和控制效果，存在一定的不足。

極限學習機(extreme learning machine, ELM)是由Huang等[14-15]提出的用于單隱層前饋網絡(single layer feedback networks, SLFNs)的快速學習算法，其特點是隨機選擇 SLFNs的隱含層節(jié)點及相應的節(jié)點參數，在訓練過程中僅需調節(jié)網絡的輸出權值。針對單數單輸出仿射非線性系統(tǒng)，文獻[16]給出了基于 ELM的直接自適應神經控制方法，應用于倒立擺基準實例中。針對一類多輸入多輸出嚴格反饋非線性動力學系統(tǒng)，文獻[17]給出了基于ELM的自適應Backstepping控制方法，應用于雙軸運動平臺實例中；文獻[18]給出了基于ELM的魯棒自適應控制方法，應用于二自由度剛性機械臂實例中，均取得了很好的控制效果。

鑒于ELM在參數選擇和學習速度方面的優(yōu)勢，針對一類不確定性純反饋非線性動力學系統(tǒng)，在Backstepping設計與中值定理的基礎上，本文提出一種基于ELM的自適應神經控制方法，將其應用于化工過程中的連續(xù)攪拌釜(continuous stirred taank reactor, CSTR)系統(tǒng)的控制實例中，以驗證本文方法的有效性。

1　問題描述

考慮如下一類不確定性純反饋非線性系統(tǒng)

為將式(2)變形為嚴格反饋形式的非線性系統(tǒng)，首先，由中值定理在給定平衡點附近進行泰勒級數展開，即

其中，xi0是對應t0時刻的給定值，其次，將式(3)代入式(2)得

針對式(4)的嚴格參數反饋形式的非線性動力學系統(tǒng)方程，可以通過Backstepping控制思路，設計控制律 u(t)，以保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號半全局一致最終有界，使得系統(tǒng)的輸出能夠跟蹤給定的期望軌跡 yd(t)。非線性動力學系統(tǒng)式(4)滿足如下假設。

假設1 期望軌跡yd有界，且存在n階導數，其各階導數均可微有界。

假設2 函數gi(·)是符號已知的光滑函數，并且存在常數，使得。

假設2表明光滑函數gi(·)嚴格為正或為負，不失一般性，可設

另外，由式(3)看出，gi(·)的偏微分僅依賴于狀態(tài)變量，而fi(·)和gn(·)假定是光滑函數，在緊集合Ω內是有界的。因此，進一步給出假設3。

2　極限學習機

2.1 ELM

ELM起源于對SLFNs的研究，是SLFNs的推廣和延伸，其本質不同于對SLFNs學習算法的通常理解，即其隱含層的節(jié)點及其參數均無須調整，與訓練數據獨立，隨機的確定隱含層節(jié)點。

對于含有 L個隱含層節(jié)點，m個輸出節(jié)點的SLFNs，其網絡輸出的數學描述為

式中，wi、bi表示網絡隱含層節(jié)點的學習參數；θi表示連接第i個隱含層節(jié)點與網絡輸出層節(jié)點的輸出權值向量；hi(x)表示第 i個隱含層節(jié)點的輸出函數h(x;wi,bi)，h(x;wi,bi)由隱含層節(jié)點類型確定。

當隱含層節(jié)點為可加性Sigmoid激活函數時

當隱含層節(jié)點為RBF激活函數時

當隱含層節(jié)點為硬限幅Hard-limit激活函數時

其中，wi∈Rn,bi∈R，wi·x表示向量wi和x的內積。

2.2 ELM的學習

以矩陣形式表示為

其中

這里，H為SLFNs的隱含層輸出矩陣，其第i行表示與輸入xi相關的特征映射，即xi:h（xi），且h（x）=[h（x;w1,b1）,…,h（x;wL,bL）]。

若h(xj;wi,bi)在任意區(qū)間上無限可微，且SLFNs隱層節(jié)點及節(jié)點參數可以隨機生成，則由文獻[15]可知，當隱含層節(jié)點數目L小于樣本N時，SLFNs仍能以極小的訓練誤差逼近訓練樣本。此時矩陣H并非方陣，從而存在使得

因此，與使用梯度下降算法訓練所有網絡權值的SLFNs方法不同，ELM的基本學習算法就是求解式(9)的權值最小二乘解。

2.3 ELM對未知非線性函數的逼近

實際的控制工程中，基于前饋神經網絡的良好逼近特性，通?？蓱肦BF神經網絡或SLFNs對未知非線性函數進行建模。本文將應用 ELM逼近未知連續(xù)函數 ?（Z）∈R，輸入向量Z∈Rn。因此，式(8)中的B∈RL×m此時成為L×1的列向量，H∈RN×L成為列向量h（Z）∈R1×L，即有

假設4 對所有的Z∈ΩZ，存在最優(yōu)輸出權值向量，滿足≤ε?，常數ε?＞0。

3　Backstepping自適應神經控制器的設計

Backstepping控制是一種逐步遞推的設計方法，通過引進虛擬控制量達到靜態(tài)補償，前面的子系統(tǒng)必須通過后邊子系統(tǒng)的虛擬控制達到鎮(zhèn)定的目的。本節(jié)針對式(2)所示的一類不確定性純反饋非線性系統(tǒng)，將其變換為式(4)后，應用ELM網絡逼近子系統(tǒng)的未知部分，并使用Lyapunov綜合方法保證系統(tǒng)的半全局一致最終穩(wěn)定，設計出 Backstepping自適應控制器。

Step 1 定義跟蹤誤差e1=x1-yd，則其導數為

將x2視為虛擬控制輸入，則存在一個期望反饋控制

其中，設計參數 b1＞0；f1和11gλ均是未知光滑函數。

在國內，雖然一些酒店企業(yè)也擁有較豐富的管理經驗，但是往往沒有形成系統(tǒng)成熟的管理模式。在信息發(fā)達的今天，很多酒店沒有很好地利用起這一優(yōu)勢，在信息化管理方面欠缺，設施不齊全。很多企業(yè)在借鑒其他企業(yè)經驗或者從酒店管理公司獲得管理技術時沒有結合本企業(yè)的實際情況和發(fā)展特點。此外，我國酒店大多都是小規(guī)模經營，而且地區(qū)差異較大，發(fā)展不平衡，不能適應世界酒店發(fā)展的趨勢，更沒有吸取到世界上信息化管理酒店這一模式的好處，與全球較為成功的酒店還存在很大的差距。

式(18)求導可得

設計權值 ?iθ的自適應律為其中，γi>0，σi>0為設計參數。

令b1=b10+b11,b10,b11>0，考慮式(20)的自適應律在不同情形下的取值。

應用完全平方公式，有如下不等式成立

由假設2及假設3，可得

則有

可見，對于自適應律在不同情形下的取值，均能保證式(24)成立。

Step 2 定義e2=x2-α1，則其導數為

將x3視為虛擬控制輸入，存在一個期望反饋控制

其中，b2>0是一個設計參數。由式(14)可知，α1是關于x1、yd和的函數，則

選擇Lyapunov函數為

式(34)求導可得

應用完全平方公式，有如下不等式成立

另外，由假設2及假設3，可得

由式(35)得

因此，無論自適應律為何種形式，均能保證式(39)成立。Step定義，其導數為

將 xi+1視為虛擬控制輸入，存在一個期望反饋控制

其中，bi>0是一個設計參數。是關于及的函數，因此，可有

選擇Lyapunov函數為

式(48)求導可得

為了使整個系統(tǒng)穩(wěn)定，存在一個期望反饋控制

其中，bn>0是一個設計參數。是關于及的函數，因此，可有

則

選擇Lyapunov函數為

式(57)求導，結合權值 ?nθ的自適應律，與Step i的推導類似，可得如下不等式

在[0,t]內，式(60)積分，可得

在控制器的每步反演設計過程中，由于待逼近的?i(Zi)依賴于上一步設計中的神經網絡權值向量的影響，通過引入中間變量，則有效避免了第i步設計中，ELM網絡的輸入產生“維數災難”的不利情形。因此，每步設計中，均可應用有限數目輸入的 ELM網絡逼近子系統(tǒng)的未知部分。

4　仿真研究

為了驗證本文控制方法的有效性，以一階連續(xù)攪拌反應釜(CSTR)系統(tǒng)的不可逆放熱反應AB過程為例。該模型是一類典型的純反饋非線性系統(tǒng)，其質量和能量平衡方程式[19-20]為

其中，CA為反應物A的濃度，T是反應釜溫度，冷卻劑溫度Tc為操作控制變量。

與文獻[21]的處理一致，首先引入以下量綱 1形式的參數，即

其中，F、CAF和TF分別是過程流量、進料濃度、進料溫度。定義量綱1形式的變量如下

其中，TCO是冷卻液溫度的參考值。

在上述定義的基礎上，對式(62)進行變換，可轉換為量綱1的模型方程如下

其中

x1和x2分別是量綱1反應濃度和溫度，輸入u是夾套內的冷卻劑溫度，Da是Damkohler數，η是量綱1活化能，B是反應熱，δ是熱交換系數。

可見，式(63)與式(2)的形式一致，本質上屬于純反饋非線性系統(tǒng)。選擇參數 Da=0.072，η=20，B=8，δ=0.3。當u=0時，式(63)有3個平衡狀態(tài)[7]x1=(0.1440,0.8862)，x2=(0.4472,2.7520)，x3=(0.7646,4.7052)=控制目標是通過設計控制律u希望反應器能夠到達操作點（平衡狀態(tài)）或者在操作點附近波動，即使系統(tǒng)的輸出y=x1能夠跟蹤給定的期望軌跡yd，且保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號均一致最終有界。

4.1 仿真一

選擇系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x1=(0.1440,0.8862)，為獲取光滑的參考信號，可使用線性參考模型將不連續(xù)的參考信號 r(t)變換為期望參考信號 yd。線性二階的參考模型為

其中，r(t)是所選平衡狀態(tài)0.1440附近±0.02的階躍信號，ωn=5 r·min-1，ξn=1.0,yd(0)=0.1。初始條件x(0)=[0.1440,0.8862]T。

在設計參數的選取中，依據相關文獻的經驗取值及試湊法，通過多次實驗仿真，即可選取一組較優(yōu)的取值。設計參數為:σ1=σ2=2，γ1=0.002，γ2=0.2，b1=3600，b2=30，x10=0.1440。ELM 網絡的隱含層節(jié)點分別考慮 Sigmoid可加性節(jié)點、RBF節(jié)點及Hardlim節(jié)點，網絡及的隱含層節(jié)點分別為5和10，輸入分別為3和4維，即，隱含層節(jié)點參數(w,b)分別在［-1,1］及[0,1]之間隨機給定。用于對比的基于RBF網絡的Backstepping自適應控制方法中，其隱含層節(jié)點個數也分別選取5和10，高斯基函數參數中心矢量值按均勻分布在網絡輸入值范圍內的值選取，范圍均為[-2,2]，基寬取值為0.1。

圖1及圖2分別給出了在權值自適應律式(20)調節(jié)下，基于控制律式(55)的條件下，量綱1反應濃度x1的跟蹤曲線及跟蹤誤差曲線，可以看出采用不同節(jié)點的基于ELM的自適應Backstepping控制方法取得了很好的跟蹤控制效果，也略微優(yōu)于基于RBF的自適應控制方法。圖3給出了控制輸入的變化曲線。同時，為進一步從數值上比較差異，不同控制方法對狀態(tài)變量 x1的跟蹤輸出與參考軌跡 yd之間的均方根誤差(root mean square error, RMSE)也在表1列出。表1的結果顯示，基于ELM的自適應Backstepping控制方法，其RMSE較小，這也驗證了其良好的跟蹤性能以及方法的有效性。

圖1　x1的跟蹤曲線Fig.1 Tracking curve of x1

圖2　x1的跟蹤誤差曲線Fig.2 Tracking error curve of x1

圖3　控制輸入uFig.3 Control input u

表1　不同控制方法的評價指標比較(仿真一)Table 1 Comparison of performance index of different control methods(simulation 1)

另外，實驗還考慮了基于3種不同節(jié)點類型的ELM控制器，其隱含層節(jié)點數目變化時，所施加控制方法對控制性能的影響。當兩個ELM網絡的隱含層節(jié)點數目分別從5增加至25時，其狀態(tài)變量x1跟蹤參考軌跡yd的RMSE變化很微小，數值范圍大約在0.0010～0.0013之間，這說明不同類型隱含層節(jié)點的ELM控制器，其控制性能相當，控制方法的魯棒性好。

進一步考慮 ELM網絡的隱含層節(jié)點參數的不同初始值設置對控制性能的影響，以Sigmoid節(jié)點為例，節(jié)點數目均為10，分別改變w和b取值的隨機間隔范圍，其中w的取值在[-0.5, 0.5]～[-4, 4]之間變化，b的取值在[0, 0.5]～[0, 4]之間變化時，狀態(tài)變量x1跟蹤參考軌跡yd的均方根誤差(RMSE)變化很微小，控制器的性能幾乎不受影響。

圖4　x1在不同設定點的跟蹤曲線Fig.4 Tracking curve of x1for different set-points

4.2 仿真二

與文獻[7]的仿真情形一致，考慮系統(tǒng)在不同設定點情形下，控制器對量綱1反應濃度x1的跟蹤性能。ELM網絡的隱含層節(jié)點類型同仿真一，網絡及的隱含層節(jié)點數目均為10，，隱含層節(jié)點參數(w,b)分別在[-1,1]及[0,1]之間隨機給定。初始條件 x(0)=[0,0]T。設計參數選取為σ1=σ2=2，γ1=0.0002，γ2=0.2，b1=1800，b2=60，x10=0。用于對比的基于RBF網絡的Backstepping自適應控制方法中，其隱含層節(jié)點數目也均為10，高斯基函數參數中心矢量值的范圍為[-2,2]，基寬的取值為0.1。

圖4和圖5分別給出了量綱1反應濃度x1在不同設定點的跟蹤曲線和跟蹤誤差曲線，圖6進一步給出了控制輸入的變化曲線。從仿真結果可以看出，采用 Sigmoid可加性節(jié)點和 RBF型節(jié)點的基于ELM的Backstepping自適應控制方法，其控制性能相當，略優(yōu)于采用Hardlim硬限幅節(jié)點的ELM控制方法。不同節(jié)點類型的ELM控制方法，與基于RBF網絡的自適應控制方法相比，其控制效果更好。

圖5　x1在不同設定點的跟蹤誤差曲線Fig.5 Tracking error curve of x1for different set-points

圖6　控制輸入uFig.6 Control input u

表3　不同控制方法的評價指標比較(仿真二)Table 2 Comparison of performance index of different control methods(simulation 2)

為體現數值差異，不同控制方法中，狀態(tài)變量x1的跟蹤輸出與參考軌跡yd之間的RMSE也在表2列出。從表 2的結果看出，基于 ELM的自適應Backstepping控制方法，其RMSE較小，這也驗證了其良好的跟蹤性能及方法的有效性。

5　結 論

Backstepping控制在設計不確定性系統(tǒng)的自適應控制器或魯棒控制器方面已顯示出一定的優(yōu)越性，本文針對一類不確定性純反饋非線性系統(tǒng)，通過中值定理，將其變換為嚴格反饋非線性系統(tǒng)的形式，在此基礎上，給出了基于ELM的Backstepping自適應神經控制方法。該方法基于Backstepping控制設計步驟，應用 ELM網絡逼近每一子系統(tǒng)的未知非線性項，由Lyapunov綜合法設計參數自適應調節(jié)律，通過對 ELM網路輸出權值的在線自適應調整，確保了閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號半全局一致最終有界。最后，通過應用于化工過程的CSTR系統(tǒng)中，以其作為典型的純反饋非線性系統(tǒng)實例，在不同的仿真情形下驗證了本文控制方法的有效性。

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2015-10-10收到初稿，2016-04-19收到修改稿。

聯(lián)系人及第一作者:李軍（1969—），男，博士，教授。

Received date: 2015-10-10.

中圖分類號:TP 273

文獻標志碼:A

文章編號:0438—1157（2016）07—2934—10

DOI:10.11949/j.issn.0438-1157.20151533

基金項目:國家自然科學基金項目（51467008）。

Corresponding author:Prof. LI Jun, lijun691201@mail.lzjtu.cn supported by the National Natural Science Foundation of China (51467008).

Adaptive control for a class of uncertain pure-feedback nonlinear systems using Backstepping based on extreme learning machine

LI Jun, SHI Qing
(College of Electrical Engineering and Automation, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, Gansu, China)

Abstract:For a class of uncertain pure-feedback nonlinear dynamical systems, an adaptive neural control method using the extreme learning machine (ELM) is presented on the basis of mean value theorem and Backstepping control. As a kind of single-hidden layer feed forward networks (SLFNs), ELM, which randomly chooses hidden node parameters and analytically determines the output weights, shows good generalized performance at extremely fast learning speed. In the process of each step for the Backstepping controller design, the ELM network is used to approximate unknown nonlinear part of the subsystem. Meanwhile, the adaptive adjustment law of weights parameter by Lyapunov stability analysis is derived so that the semiglobal uniform ultimate boundedness of all signals in the closed-loop nonlinear system can be guaranteed and the output of the system can also converge to a small neighborhood of the desired trajectory. The employed control method is then applied to the instance of continuous stirred tank reactor (CSTR) system in the chemical process and the simulation results are presented to verify the effectiveness of the method.

Key words:nonlinear dynamics; adaptive; control; Backstepping; extreme learning machine; neural networks