王 俊 杰

( 1.普洱學院 數(shù)學系, 云南 普洱　665000；2.西北大學 數(shù)學學院, 陜西 西安　710127 )

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一類DGH方程的新保結(jié)構(gòu)算法研究

王 俊 杰*1,2

( 1.普洱學院 數(shù)學系, 云南 普洱665000；2.西北大學 數(shù)學學院, 陜西 西安710127 )

摘要：DGH方程作為一類重要的非線性水波方程有著廣泛的應用前景．基于哈密頓系統(tǒng)的多辛理論研究了一類DGH方程的數(shù)值解法，利用平均向量場方法對此哈密頓系統(tǒng)進行了數(shù)值離散，構(gòu)造了DGH方程的局部能量保結(jié)構(gòu)算法和局部動量保結(jié)構(gòu)算法．數(shù)值算例表明，這兩種保結(jié)構(gòu)算法具有較好的長時間數(shù)值穩(wěn)定性．

關(guān)鍵詞：哈密頓系統(tǒng)；保結(jié)構(gòu)算法；多辛理論；DGH方程

0引言

非線性水波方程是一類重要的非線性問題，隨著科技的發(fā)展，非線性問題的研究已經(jīng)成為當代研究的熱點．非線性水波方程采用不同近似方法可以得到不同的完全可積的方程，例如KdV方程、BBM方程、Camassa-Holm方程、DGH方程．

近幾十年，KdV方程、Camassa-Holm方程、DGH方程引起了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注[1-13]，發(fā)現(xiàn)了這些方程的許多性質(zhì)，例如：KdV方程、Camassa-Holm 方程、DGH方程都是可積方程，都廣泛地存在孤立波解．Camassa-Holm方程具有一個Lax對、雙哈密頓結(jié)構(gòu)及無窮個守恒量．對DGH方程的研究主要集中在定性方面的研究，數(shù)值模擬研究還比較少，然而在實際應用中要求得DGH方程的精確解幾乎不可能，大部分情況下只能用數(shù)值方法來模擬DGH方程，鑒于此，本文主要研究DGH方程的數(shù)值模擬方法．

現(xiàn)在，越來越多的學者在構(gòu)造數(shù)值方法時，關(guān)注設(shè)計的算法能否保持系統(tǒng)原有的一些特性，這樣的算法稱為保結(jié)構(gòu)算法．1984年我國計算數(shù)學大師馮康系統(tǒng)地提出了保結(jié)構(gòu)算法的理論框架，隨后，保結(jié)構(gòu)算法迅速發(fā)展，得到了許多方程的保結(jié)構(gòu)算法，這些結(jié)果無一例外地證實保結(jié)構(gòu)算法有明顯的優(yōu)點．20世紀末，Marsden等應用變分的思想提出了偏微分方程的多辛哈密頓系統(tǒng)[14]，并且得到了多辛守恒律；而Reich應用辛幾何的思想，提出了偏微分方程的多辛格式[15]，從而可以更加方便地應用于偏微分方程．經(jīng)過十幾年的發(fā)展，保多辛結(jié)構(gòu)算法已經(jīng)取得一定研究成果[16-27]，這些成果證明保多辛結(jié)構(gòu)算法可以進行長時間的數(shù)值跟蹤．

近年來，Celledoni等[28]利用AVF(平均向量場)方法來求解哈密頓系統(tǒng)，Chen等[29]利用AVF方法提出了多辛哈密頓偏微分方程組整體能量守恒的數(shù)值格式，Gong等[19]提出了多辛哈密頓偏微分方程組整體能量守恒的數(shù)值格式、局部能量守恒的數(shù)值格式、局部動量守恒的數(shù)值格式．

本文通過引入正則動量，證明DGH方程具有多辛結(jié)構(gòu)．首先給出多辛哈密頓格式，以及此格式具有的多辛守恒律、局部能量守恒律和局部動量守恒律．然后給出多辛哈密頓方程的離散保結(jié)構(gòu)算法格式，即局部能量保結(jié)構(gòu)算法格式和局部動量保結(jié)構(gòu)算法格式，進而給出DGH方程的保結(jié)構(gòu)算法．最后通過兩個數(shù)值模擬算例，驗證算法性能．

1 微分方程的多辛哈密頓形式及守恒律

Bridges首先發(fā)現(xiàn)，大量的偏微分方程可以寫成下列多辛哈密頓偏微分方程的形式[15]：

(1)

定理1[15]根據(jù)Bridges多辛理論，偏微分方程(1)滿足多辛守恒律

(2)

其中W、k分別表示t和x方向上的辛結(jié)構(gòu)，具體表達式為

定理2[15]根據(jù)Bridges多辛理論，偏微分方程(1)滿足局部能量守恒律：

(3)

局部動量守恒律：

(4)

其中

E為能量密度；F為能量流；I為動量密度；G為動量流．

如果z(t，x)關(guān)于x是周期函數(shù)或者滿足齊次邊界條件，偏微分方程(1)滿足整體能量和整體動量守恒律：

(5)

2多辛哈密頓偏微分方程的保結(jié)構(gòu)算法

為了研究問題方便，首先引入下面符號：

向前差分算子

(6)

平均算子

(7)

上面的算子滿足DtDx=DxDt，AtAx=AxAt，DA=AD，及推廣的Leibniz法則：

Dx(uv)j=uj+1Dxvj+Dxujvj

Dt(uv)j=uj+1Dtvj+Dtujvj

2.1局部能量保結(jié)構(gòu)算法

利用上面的算子，對空間方向進行離散，得到哈密頓系統(tǒng)(1)的半離散格式：

MddtAxzj(t)+KDxzj(t)=zS(Axzj(t))

(8)

用AVF方法對半離散格式(8)時間方向進行離散，得到哈密頓系統(tǒng)(1)的全離散格式：

∫10zS((1-ξ)Axznj+

(9)

為了分析全離散格式(9)的局部能量守恒律和局部動量守恒律，引入定義：

定義1 記

(10)

(11)

記

(12)

(13)

稱εn、ηn分別是整體能量和整體動量．

定理3[19]全離散格式(9)滿足離散局部能量守恒律：

定理4[19]如果滿足周期邊界條件z(x+L，t)=z(x，t)，全離散格式(9)滿足離散整體能量守恒律：

εn+1=εn

2.2局部動量保結(jié)構(gòu)算法

對時間方向進行離散，得到哈密頓系統(tǒng)(1)的半離散格式：

MDtzn(x)+KddxAtzn(x)=zS(Atzn(x))

(14)

用AVF方法對半離散格式(14)空間方向進行離散，得到哈密頓系統(tǒng)(1)的全離散格式：

∫10zS((1-ξ)Atznj+

(15)

定理5[19]全離散格式(15)滿足離散局部動量守恒律：

定理6[19]如果滿足周期邊界條件z(x+L，t)=z(x，t)，全離散格式(15)滿足離散整體動量守恒律：

ηn+1=ηn

3一類DGH方程的新保結(jié)構(gòu)算法

1895年，Korteweg和他的學生deVries研究無黏滯、不可壓縮流體運動時得到一個淺水波方程(在長波和小振幅條件下)，即KdV方程：

ut+2ωux+3uux+γuxxx=0

(16)

該方程是非線性水波理論研究的一個基本方程．1993年，美國阿爾莫斯國家實驗室的Camassa和Holm考慮重力作用下淺水層自由表面的水波運動時，推導出Camassa-Holm方程(簡稱C-H方程)：

ut+2ωux+3uux-α2uxxt-α2(uuxxx+2uxuxx)=0

(17)

該方程成為非線性水波理論研究的另一類重要的基本方程．2001年，Dullin、Gottwald和Holm從Euler方程出發(fā)，得到了一類帶線性和非線性色散項的新型淺水波方程，即DGH方程[1]：

ut+2ωux+3uux+γuxxx-α2uxxt-

α2(uuxxx+2uxuxx)=0

(18)

當α=0時，DGH方程變?yōu)镵dV方程，當γ=0時，DGH方程轉(zhuǎn)化為C-H方程．

-φx=-u，

ux=ψ，

(19)

定義狀態(tài)變量z=(uφwΦψ)，可以把系統(tǒng)(19)寫成多辛哈密頓偏微分方程的形式(1)，其中

哈密頓函數(shù)為

系統(tǒng)(19)滿足多辛守恒律(2)，其中

系統(tǒng)(19)滿足局部能量守恒律(3)，其中

系統(tǒng)(19)滿足局部動量守恒律(4)，其中

3.1DGH方程的局部能量保結(jié)構(gòu)算法

對系統(tǒng)(18)的等價方程組(19)應用局部能量保結(jié)構(gòu)算法(9)可得

(20)

其中

全離散格式(20)滿足離散局部能量守恒律：

(21)

消去輔助變量可以得到局部能量守恒格式為

(22)

3.2DGH方程的局部動量保結(jié)構(gòu)算法

對系統(tǒng)(18)的等價方程組(19)應用局部動量保結(jié)構(gòu)算法(15)可得

(23)

其中

全離散格式(23)滿足離散局部動量守恒律：

(24)

消去輔助變量可以得到局部動量守恒格式為

(25)

4數(shù)值算例

下面應用局部能量保結(jié)構(gòu)算法和局部動量保結(jié)構(gòu)算法對DGH方程(18)進行數(shù)值模擬，并且分析該數(shù)值方法的離散局部能量和動量守恒律誤差．本文將對局部能量保結(jié)構(gòu)算法、局部動量保結(jié)構(gòu)算法與有限差分法(中心差分法)的數(shù)值結(jié)果和精確解進行比較．對局部能量保結(jié)構(gòu)算法、局部動量保結(jié)構(gòu)算法與有限差分法取相同的空間和時間步長．

4.1DGH方程的局部能量保結(jié)構(gòu)算法數(shù)值模擬

4.1.1孤立波A取參數(shù)α=1，ω=1，γ=1，考慮DGH方程(18)的孤立波的初值條件為

由文獻[30]，可以得到DGH方程(18)的初值問題有孤立波解

取空間步長Δx=0.01，時間步長Δt=0.05，計算到T=60．計算結(jié)果見表1和圖1、2．表1給出了有限差分法、局部能量保結(jié)構(gòu)算法和精確解的比較．圖1給出了DGH方程孤立波的初值問題隨時間的演化圖．圖2給出了DGH方程孤立波初值問題的局部能量保結(jié)構(gòu)算法的局部動量守恒律誤差．

表1　有限差分法、局部能量保結(jié)構(gòu)算法和精確解的比較(孤立波A)

圖1 DGH方程局部能量保結(jié)構(gòu)算法的孤立波AFig.1 SolitarywavesolutionAoflocalenergystructure-preservingalgorithmofDGHequation圖2 局部能量保結(jié)構(gòu)算法的局部動量守恒律誤差(孤立波A)Fig.2 Theerroroflocalmomentumconservationlawoflocalenergystructure-preservingalgorithm(solitarywavesolutionA)

4.1.2孤立波B取參數(shù)α=1，ω=1，γ=1，考慮DGH方程(18)的孤立波的初值條件為

由文獻[30]，可以得到DGH方程(18)的初值問題有孤立波解

取空間步長Δx=0.01，時間步長Δt=0.05，計算到T=60．計算結(jié)果見表2和圖3、4．表2給出了有限差分法、局部能量保結(jié)構(gòu)算法和精確解的比較．圖3給出了DGH方程孤立波的初值問題隨時間的演化圖．圖4給出了DGH方程孤立波初值問題的局部能量保結(jié)構(gòu)算法的局部動量守恒律誤差．

4.2DGH方程的局部動量保結(jié)構(gòu)算法數(shù)值模擬

4.2.1孤立波A取參數(shù)α=1，ω=1，γ=1，考慮DGH方程(18)的孤立波的初值條件為

由文獻[30]，可以得到DGH方程(18)的初值問題有孤立波解

取空間步長Δx=0.01，時間步長Δt=0.05，計算到T=60．計算結(jié)果見表3和圖5、6．表3給出了有限差分法、局部動量保結(jié)構(gòu)算法和精確解的比較．圖5給出了DGH方程孤立波的初值問題隨時間的演化圖．圖6給出了DGH方程孤立波初值問題的局部動量保結(jié)構(gòu)算法的局部能量守恒律誤差．

4.2.2孤立波B取參數(shù)α=1，ω=1，γ=1，考慮DGH方程(18)的孤立波的初值條件為

由文獻[30]，可以得到DGH方程(18)的初值問題有孤立波解

表2　有限差分法、局部能量保結(jié)構(gòu)算法和精確解的比較(孤立波B)

圖3 DGH方程局部能量保結(jié)構(gòu)算法的孤立波BFig.3 SolitarywavesolutionBoflocalenergystructure-preservingalgorithmofDGHequation圖4 局部能量保結(jié)構(gòu)算法的局部動量守恒律誤差(孤立波B)Fig.4 Theerroroflocalmomentumconservationlawoflocalenergystructure-preservingalgorithm(solitarywavesolutionB)

表3　有限差分法、局部動量保結(jié)構(gòu)算法和精確解的比較(孤立波A)

圖5 DGH方程局部動量保結(jié)構(gòu)算法的孤立波AFig.5 SolitarywavesolutionAoflocalmomentumstructure-preservingalgorithmofDGHequation圖6 局部動量保結(jié)構(gòu)算法的局部能量守恒律誤差(孤立波A)Fig.6 Theerroroflocalenergyconservationlawoflocalmomentumstructure-preservingalgorithm(solitarywavesolutionA)

取空間步長Δx=0.01，時間步長Δt=0.05，計算到T=60．計算結(jié)果見表4和圖7、8．表4給出了有限差分法、局部動量保結(jié)構(gòu)算法和精確解的比較．圖7給出了DGH方程孤立波的初值問題隨時間的演化圖．圖8給出了DGH方程孤立波初值問題的局部動量保結(jié)構(gòu)算法的局部能量守恒律誤差．

表4　有限差分法、局部動量保結(jié)構(gòu)算法和精確解的比較(孤立波B)

圖7 DGH方程局部動量保結(jié)構(gòu)算法的孤立波BFig.7 SolitarywavesolutionBoflocalmomentumstructure-preservingalgorithmofDGHequation圖8 局部動量保結(jié)構(gòu)算法的局部能量守恒律誤差(孤立波B)Fig.8 Theerroroflocalenergyconservationlawoflocalmomentumstructure-preservingalgorithm(solitarywavesolutionB)

5結(jié)語

本文利用能量保結(jié)構(gòu)算法和動量保結(jié)構(gòu)算法對一類DGH方程的初值問題進行了數(shù)值模擬．給出了DGH方程的初值問題的離散格式．從數(shù)值模擬得到的圖1～8、表1～4說明，能量保結(jié)構(gòu)算法和動量保結(jié)構(gòu)算法能夠很好地保持孤子解的基本幾何性質(zhì)，并具有良好的長時間數(shù)值行為．

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文章編號：1000-8608(2016)04-0432-09

收稿日期：2015-11-20；修回日期: 2016-04-12．

基金項目:云南省教育廳科學研究基金資助項目(2015y490)；普洱學院創(chuàng)新團隊項目(CXTD003).

作者簡介:王俊杰*(1981-)，男，碩士，副教授，E-mail:pedxsxxwjj@163.com.

中圖分類號：O29

文獻標識碼：A

doi:10.7511/dllgxb201604016

Research on new structure-preserving algorithms for a DGH equation

WANGJun-jie*1,2

( 1.Department of Mathematics, Pu′er University, Pu′er 665000, China；2.School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127, China )

Abstract：DGH equation is an important nonlinear wave equation and has broad application prospect. Numerical method for the equation is studied based on the multi-symplectic theory in Hamilton system. The average vector field (AVF) method is used to discretize the Hamilton system, and local energy structure-preserving algorithm and local momentum structure-preserving algorithm are constructed to solve the DGH equation. The numerical examples show that the two kinds of structure-preserving algorithms have good long-time numerical stability.

Key words：Hamilton system; structure-preserving algorithms; multi-symplectic theory; DGH equation