于　強(qiáng)，楊甲山

(1. 遼東學(xué)院 師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧 丹東118003； 2. 梧州學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院，廣西 梧州 543002)

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二階非線性變時滯中立型微分方程的振蕩性分析

于強(qiáng)1，楊甲山2

(1. 遼東學(xué)院 師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧 丹東118003； 2. 梧州學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院，廣西 梧州 543002)

摘要:研究一類具有變時滯的二階中立型泛函微分方程的振蕩性.利用Riccati變換技術(shù)及一些分析技巧，獲得該類方程振蕩的兩個新的判別準(zhǔn)則和兩個比較性判別定理，這些結(jié)論推廣且改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的一些結(jié)果.所舉的兩個例子說明所得定理的假設(shè)條件是較寬松的.

關(guān)鍵詞:振蕩性；變時滯；泛函微分方程；Riccati變換

微分方程在自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域均有非常廣泛的應(yīng)用，如二階Emden-Fowler型微分方程x′′(t)+at-1x′(t)+btm-1xn(t)=0廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理、理論物理(特別是核物理)及化學(xué)物理等領(lǐng)域，因此，近來變時滯的中立型泛函方程振蕩性的研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛興趣[1-21].筆者考慮如下形式的二階非線性中立型變時滯微分方程

(1)

的振蕩性，(1)式中，a,p,q∈C([t0,+),R)；γ為兩個正奇數(shù)之商；f∈C(R,R)且uf(u)>0(u≠0).并總假設(shè)以下條件成立

(H1) a∈C1([t0,+),(0,+))，q(t)>0，p(t)≥0.

(H2) 滯量函數(shù)τ,δ:[t0,+)→(0,+),滿足τ(t)≤t且，為常數(shù)).

(H3) 存在常數(shù)L>0，使得當(dāng)u≠0時，f(u)/u≥L.

稱函數(shù)x(t)∈C1([Tx,+),R)(Tx≥t0)是方程(1)的一個解，如果函數(shù)x(t)滿足a(t)[(x(t)+p(t)x(τ(t)))′]γ∈C1([Tx,+),R)，且在區(qū)間[Tx,+)滿足方程(1).這里只討論方程(1)的非平凡解.如果方程(1)的一個解x(t)既不最終為正也不最終為負(fù)，則稱它為是振蕩的，否則稱它是非振蕩的；如果方程(1)的所有解都是振蕩的，則稱它為是振蕩的.作者將考慮方程(1)分別在條件

(2)

和

(3)

成立的情況下的振蕩性判別準(zhǔn)則.

1主要結(jié)果及其證明

為了方便，記

(4)

引理1設(shè)A>0，B>0和λ>0均為常數(shù)，則當(dāng)x>0時，有

當(dāng)x<0時，有

定理1設(shè)條件(2)成立且0≤p(t)≤p0<+(p0為常數(shù))，如果存在函數(shù)φ∈C1([t0,+),(0,+)),使得

(5)

證明反證法，設(shè)方程(1)存在一個非振蕩解x(t)，不妨設(shè)x(t)為最終正解(當(dāng)x(t)為最終負(fù)解時類似可證)，則Q(t)，使得當(dāng)t≥t1時，有x(t)>0，z(t)≤x(t)+p0x(τ(t))，x(δ(t))>0，于是由z(t)的定義知，τ·δ=δ·τ且z(t)≥x(t)(t≥t1).由方程(1)，得

(6)

由(6)式容易推得z′(t)>0(t≥t1).應(yīng)用(6)式，當(dāng)t≥t1時，有

(7)

于是，綜合(6)式及(7)式，當(dāng)t≥t1時，可得

注意到τ′(t)≥τ0>0，τ°δ=δ°τ及z(t)≤x(t)+p0x(τ(t))和Q(t)的定義，上式進(jìn)一步可寫成

(8)

作Riccati變換,有

(9)

則w(t)>0(t≥t1)，注意到(9)式及τ′(t)≥τ0>0，有

由于a(t)[z′(t)]γ是單調(diào)減少的，所以

即

注意到引理1，有

(10)

再作Riccati變換，有

(11)

則v(t)>0(t≥t1)，類似地，可推得

(12)

于是，由(10)式和(12)式，并注意到(8)式及z′(t)>0，有

(13)

由于a(t)[z′(t)]γ(t≥t1)是單調(diào)減少的，有

(14)

(15)

將(14),(15)式代入(13)式，得

于是

這與(5)式矛盾.定理證畢.

注1當(dāng)γ=1時,定理1即為文[14]中的定理2.1，但這里去掉了文[14]中的限制條件“δ′(t)>0且δ(t)≤τ(t)”.

定理2設(shè)條件(3)成立且0≤p(t)≤p0<+(p0為常數(shù))，如果存在函數(shù)φ∈C1([t0,+),(0,+))，使得(5)式成立，且

(16)

其中:常數(shù)T≥t0足夠大，函數(shù)

證明反證法，設(shè)方程(1)存在一個非振蕩解x(t)，不妨設(shè)x(t)為最終正解，則?t1≥t0，使得當(dāng)t≥t1時，有x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0，由定理1的證明知a(t)[z′(t)]γ是嚴(yán)格單調(diào)減少的且最終定號，從而z′(t)最終為正或最終為負(fù).所以，只需考慮下列兩種情形：(a) 當(dāng)t≥t1時,z′(t)>0； (b) 當(dāng)t≥t1時,z′(t)<0.

情形(a)當(dāng)t≥t1時,z′(t)>0.此時同定理1的證明，知方程(1)是振蕩的.

情形(b)當(dāng)t≥t1時,z′(t)<0.定義函數(shù)w(t)為

(17)

則w(t)<0,t≥t1，且

(18)

(19)

再定義函數(shù)v(t)為

(20)

則v(t)<0(t≥t1).類似地，同樣可得

(21)

(22)

于是，綜合(18),(21)式并應(yīng)用(8)式(由定理1的證明知，(8)式仍然成立)及z(δ(t))≥z(t)，得

(23)

當(dāng)γ>1時，由z(t)>0，z′(t)<0(t≥t1)，知z(t)≤z(t1)，即z1-γ(t)≥z1-γ(t1)=k.當(dāng)γ=1時，z1-γ(t)=1.當(dāng)γ<1時，再次利用a(t)[z′(t)]γ的單調(diào)減少性，得當(dāng)s≥t≥t1時，有a(s)[z′(s)]γ≤a(t)[z′(t)]γ，即z′(s)≤{a(t)[z′(t)]γ}1/γa-1/γ(s)，進(jìn)一步就有

即

其中:M=-{a(t1)[z′(t1)]γ}1/γ=-a1/γ(t1)z′(t1)>0為常數(shù)，在上式中令u→+，得

即

綜合上述3種情形及函數(shù)η的定義，根據(jù)(23)式，有

兩邊同乘以ζγ(t)并從t1到t(t≥t1)積分，由分部積分法，并分別注意到ζ′(t)=-a-1/γ(t)及(19)和(22)式，以及引理1，可得

因此

這與(16)式矛盾.定理證畢.

下面給出方程(1)振蕩的兩個比較性定理.

定理3設(shè)條件(2)成立且0≤p(t)≤p0<+(p0為常數(shù))，若存在函數(shù)η∈C1([t0,+),(0,+)),使得η(t)≤δ(t)且，如果一階微分不等式

(24)

沒有正解，其中t1≥t0足夠大，函數(shù)θ(t)的定義如定理1，則方程(1)是振蕩的.

證明反證法，設(shè)方程(1)存在一個非振蕩解x(t)，不妨設(shè)x(t)為最終正解，則?t1≥t0，使得當(dāng)t≥t1時，有x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0.由定理1的證明知，當(dāng)t≥t1時,z(t)>0，z′(t)>0，[a(t)(z′(t))γ]′<0且(8)式成立.于是由(8)式得

(25)

由于當(dāng)t≥s≥t1時，有a(t)(z′(t))γ≤a(s)(z′(s))γ，即a1/γ(s)z′(s)≥a1/γ(t)z′(t)，所以

利用η(t)≤δ(t)，由(25)式，得

令y(t)=a(t)(z′(t))γ，則y(t)是(24)的一個正解，矛盾.定理證畢.

定理4設(shè)條件(3)成立且0≤p(t)≤p0<+(p0為常數(shù))，若存在函數(shù)η,ξ∈C1([t0,+),(0,+)),使得η(t)≤δ(t)≤ξ(t)且(t)=+，如果一階微分不等式(24)和

(26)

沒有正解，其中t1≥t0足夠大，函數(shù)ζ(t)的定義如定理2，則方程(1)是振蕩的.

證明反證法，設(shè)方程(1)存在一個非振蕩解x(t)，不妨設(shè)x(t)為最終正解，則?t1≥t0，使得當(dāng)t≥t1時，有x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0.由定理1的證明知(8)式成立，進(jìn)一步，(25)式仍成立.同定理2，只需考慮下列兩種情形：(a) 當(dāng)t≥t1時,z′(t)>0，[a(t)(z′(t))γ]′<0； (b) 當(dāng)t≥t1時,z′(t)<0，[a(t)(z′(t))γ]′<0.

情形(a)當(dāng)t≥t1時,z′(t)>0，[a(t)(z′(t))γ]′<0.此時，同定理3的證明，方程(1)是振蕩的.

(27)

于是結(jié)合條件δ(t)≤ξ(t)和(27)式，并記y(t)=a(t)(z′(t))γ，由(25)式得

亦即

這就是說v(t)=-y(t)>0是(26)的一個正解，矛盾.定理證畢.

注2當(dāng)γ=1，f(u)=u時，定理4的結(jié)論即為文獻(xiàn)[12]中的定理1.

例1對常數(shù)α>0，考慮二階時滯微分方程

(E1)

其中：γ=1，a(t)≡1，p(t)=2/3，q(t)=α/t2，τ(t)=t-1，δ(t)=t，f(u)=u.顯然，條件(H1)～(H3)均滿足.若取φ(t)=t，由定理1(注意到此時L=1，p0=2/3，τ0=1且Ψ(s,t1)=1)，則

所以由定理1知，當(dāng)α>5/12≈0.416 67時方程(E1)是振蕩的.

注3現(xiàn)用文[13]的定理2.1來判定.由于

例2考慮二階泛函微分方程

(E2)

取f(u)=u[1+ln(1+u4)]，由于0

顯然條件(H1)～(H3)全部滿足.由于

為了計算簡單，在定理1中取φ(t)=1，T=5，則

所以定理1的條件均滿足，故由定理1知，方程(E2)是振蕩的.

注4由于方程(E2)的中立項系數(shù)函數(shù)p(t)>1，因此文獻(xiàn)[1-3,6-9,13-18,20-21]等中的定理都不能用于方程(E2).

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(責(zé)任編輯朱夜明)

doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2016.04.005

收稿日期：2015-06-13

基金項目:國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項目(61503171)；遼寧省教育廳科研項目(L2013500)

作者簡介：于強(qiáng)(1969-), 男, 遼寧丹東人, 遼東學(xué)院講師.

中圖分類號：O175.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1000-2162(2016)04-0022-08

Oscillation analysis of second-order nonlinear variable delay neutral differential equations

YU Qiang1, YANG Jiashan2

(1. Mathematical Department of Normal School, Eastern Liaoning University, Dandong 118003, China;2. School of Information and Electronic Engineering, Wuzhou University, Wuzhou 543002, China)

Abstract:We studied the oscillatory behavior of a class of second-order neutral functional differential equations with variable delay in this paper. By using the generalized Riccati transformation and some necessary analytic techniques, we established two new oscillation criteria and two comparison theorems for the oscillation of the equations. Those criteria improved and generalized some corresponding known results. Two examples were provided to illustrate assumptions in our theorems are less restrictive.

Keywords:oscillation; variable delay; functional differential equation; Riccati transformation