劉常勝，宋紅偉

(1. 河南城建學(xué)院數(shù)理系，中國 平頂山　467044；2. 河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，中國 洛陽　471023)

?

二階部分線性自回歸模型的穩(wěn)健估計(jì)

劉常勝1，宋紅偉2

(1. 河南城建學(xué)院數(shù)理系，中國 平頂山467044；2. 河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，中國 洛陽471023)

本文將穩(wěn)健估計(jì)程序思想運(yùn)用到二階部分線性自回歸模型中, 得到了未知參數(shù)β和非參數(shù)函數(shù)g(·)的穩(wěn)健估計(jì). 在一定的條件下, 證明了未知參數(shù)和非參數(shù)函數(shù)估計(jì)的相合性. 并通過時(shí)間序列的數(shù)據(jù)模擬驗(yàn)證相合性結(jié)果.

自回歸模型;相合性;穩(wěn)健估計(jì)

對于部分線性模型，Bianco[1]運(yùn)用一定的穩(wěn)健估計(jì)程序, 得到了該模型參數(shù)和非參數(shù)函數(shù)的穩(wěn)健估計(jì). Tong[2]提到, 一些非線性時(shí)間序列模型不能通過線性進(jìn)行擬合, 因此必須通過非線性方法來處理. 但是在某些情況下, 完全的非線性自回歸函數(shù)失去了序列前后期關(guān)系的重要信息, 比如忽略了前后期之間存在的線性依賴關(guān)系. 擬合非線性時(shí)間序列之間關(guān)系的一個(gè)合理方法是使用部分線性自回歸模型.

(1)

這里t>max(cp,dq), 1≤c1

下述模型是模型(1) 的簡化模型, 它是二階部分線性自回歸模型.

Xt=βXt-1+g(Xt-2)+et,3≤t≤T,

(2)

關(guān)于模型(1)和(2),Robinson[3]首次引入并展開討論, Chen等人[4]用光滑樣條方法估計(jì)非參數(shù)函數(shù), 獲得最小二乘估計(jì)，Gao和Liang[5]利用權(quán)函數(shù)方法確立了參數(shù)β的最小二乘估計(jì)的漸進(jìn)正態(tài)性, Gao[6]和Liang[7]確立了該最小二乘估計(jì)的其他一些重要結(jié)論.

部分線性自回歸模型是部分線性模型與自回歸模型的有機(jī)結(jié)合, 文獻(xiàn)[8-11] 將部分線性模型討論引向深入. 文獻(xiàn)[12] 討論了分歧泊松自回歸模型的馬爾可夫性. 眾所周知, 線性模型和非線性模型極容易受異常值的影響, 部分線性模型也存在同樣的問題. 本文的目的是針對二階部分線性時(shí)間序列模型(2), 提出一個(gè)類似于文獻(xiàn)[1] 的穩(wěn)健估計(jì)方法, 得出一個(gè)穩(wěn)健估計(jì), 并研究該估計(jì)的相合性. 通過蒙特卡洛方法, 在正常數(shù)據(jù)和異常數(shù)據(jù)兩種情況下, 對該穩(wěn)健估計(jì)與經(jīng)典的最小二乘估計(jì)進(jìn)行比較.

1　穩(wěn)健估計(jì)方法與主要結(jié)果

1.1傳統(tǒng)的最小二乘估計(jì)方法

對于二階部分線性時(shí)間序列模型(2), 通過下列程序進(jìn)行, 首先

g(Xt-2)=E{(Xt-βXt-1)|Xt-2}=E(Xt|Xt-2)-βE(Xt-1|Xt-2)=φ2(Xt-2)-βφ1(Xt-2).

自然，φi(i=1, 2) 和g的估計(jì)通常被定義為：

(3)

這里Kh(·)=h-1K(·/h),K:R→R是一個(gè)核函數(shù).

(4)

1.2穩(wěn)健估計(jì)方法的提出

對于二階部分線性時(shí)間序列模型(2), 可以按照下面的步驟獲得穩(wěn)健估計(jì):

(5)

(6)

第三步：定義非參數(shù)分量g(·) 為

1.3相合性

為了推導(dǎo)一些穩(wěn)健估計(jì)相合性的結(jié)論，需要構(gòu)造以下條件.

A1. ψ:R→R是一個(gè)奇函數(shù), 同時(shí)又是嚴(yán)格增、有界且具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 滿足uψ′(u) ≤ψ(u).

A2.F1(u|Xt-2=xt-2) 和F2(v|Xt-2=xt-2) 分別關(guān)于φ1(xt-2) 和φ2(xt-2) 是對稱的.

A4.F1(u|Xt-2=xt-2) 和F2(v|Xt-2=xt-2) 都是xt-2的連續(xù)函數(shù)，而且對任意緊集C?R，它們滿足下面的等度連續(xù)條件:?ε>0,?δ>0:|ω1-ω2|<δ, 滿足

A5. 核函數(shù)K:R→R 是有界的非負(fù)函數(shù)，滿足∫K(u)du=1,∫ |u|K(u)du<∞, |u|K(u)→0(u→∞) 和一階Lipschitz條件.

A6. 序列h=hT滿足當(dāng)T→∞ 時(shí)，hT→0,ThT→∞ 和ThT/logT→∞.

假定條件A1～A6可以分成三類，第一類確立了得分函數(shù)ψ滿足的標(biāo)準(zhǔn)條件；第二類闡述了Xt-2的密度函數(shù)及條件分布F1(u|Xt-2=xt-2) 和F2(v|Xt-2=xt-2) 所滿足的正則條件，這意味著，對任意緊集C,0

本文主要得到以下兩個(gè)定理，即參數(shù)β和非參數(shù)函數(shù)g(·) 的穩(wěn)健估計(jì)的相合性.

定理1設(shè)(xt,xt-1,xt-2)′, 3 ≤t≤T滿足二階部分線性自回歸模型(2), 記P為(r2,t,r1,t)′=(xt.-φ2(xt-2),xt-1-φ1(xt-2))′ 的概率分布. 令β(H) 為模型v=βu+ε的回歸函數(shù), 這里(v,u)′ ～H,ε和u相互獨(dú)立，假定β(H) 在P處連續(xù).

2　蒙特卡洛模擬

誤差ε1, ε2,…, εT相互獨(dú)立，均服從N(0, 1), 這種情形相當(dāng)于數(shù)據(jù)沒有異常值.

表1　β 的LS估計(jì)的相合性

表2　g(·) 的LS估計(jì)的相合性

表3　β的中位數(shù)估計(jì)med 的相合性

表4　g(·) 的中位數(shù)估計(jì)的相合性

通過以上4個(gè)表的數(shù)據(jù)，可以看出傳統(tǒng)的最小二乘估計(jì)方法與穩(wěn)健估計(jì)方法得到的數(shù)據(jù)擬合吻合程度都比較好，本文提出的穩(wěn)健方法適用于時(shí)間序列的建模、估計(jì)和預(yù)測，為進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷提出了一個(gè)新的方法.

3　定理的證明

為了得到本文的主要結(jié)果, 需要引入以下兩個(gè)引理.

引理1假定條件A3～A6成立, 那么對任意緊集C?R，

(1) 在條件A1～A2下，有

(7)

(2) 如果F1(u|Xt-2=xt-2) 和F2(v|Xt-2=xt-2) 分別有唯一的中位數(shù)φ1(xt-2) 和φ2(xt-2)，有

(8)

證(1) 根據(jù)Boente 和Fraiman[13]的定理3.3 可以證明此結(jié)論.

(2) 假定條件A4的等度連續(xù)條件和條件中位數(shù)的唯一性, 蘊(yùn)含著φj(xt-2) 是一個(gè)連續(xù)函數(shù), 因而對任何固定的a∈R, 函數(shù)ha(t)=Fj(a+φj(xt-2)|Xt-2=xt-2) 也是t的連續(xù)函數(shù). 對任給的ε>0,?0<δ<ε, 使得

(9)

則根據(jù)條件中位數(shù)的唯一性及式(9). 對j=1,2,

(10)

(11)

(12)

(1) 對任何有界連續(xù)函數(shù)f:R2→R, 有

|EQT(f)-EPT(f)|→a.s.0;

(13)

(2)Π(QT,P)→a.s.0, 其中Π為Prohorov距離.

從式(11) 和強(qiáng)大數(shù)定律，則存在N?Ω, 使得P(N)=0, 那么對任何ω∈Nc, 有

(14)

(15)

(3) 從以上證明自然得到此結(jié)論.

定理1的證明:

定理2的證明:由定理1和引理1知

[1]BIANCO A, BOENTE G. Robust estimators in semiparametric partly linear regression models[J]. J Stat Plan and Infer, 2004,122(1):229-252.

[2]TONG H. Nonlinear time series: a dynamical system approach[M]. Oxford: Oxford University Press, 1990.

[3]ROBINSON P M. Root-N-consistent semiparametric regression[J]. Econometrica, 1988,56(4):931-954.

[4]CHEN H, CHEN K W. Selection of the splined variables and convergence rates in a partial spline model[J]. Can J Stat, 1991,19(3):323-339.

[5]GAO J, LIANG H. Asymptotic normality of pseudo-LS estimator for partly linear autoregression models[J]. Stat Probab Lett, 1995,23(1):27-34.

[6]GAO J. Semiparametric regression smoothing of non-linear time series[J]. Scand J Stat, 1998,25(3):521-539.

[7]LIANG H. Asymptotically efficient estimators in a partly linear autoregressive model[J]. Syst Sci Math Sci, 1996,9(2):164-170.

[8]BIANCO A, BOENTE G, MARTINEZ E. Robust tests in semiparametric partly linear models[J].Scand J Stat, 2006,33(3):435-450.

[9]BIANCO A, BOENTE G. On the asymptotic behavior of one-step estimates in heteroscedastic regression models[J]. Stat Probab Lett, 2002,60(1):33-47.

[10]洪圣巖. 一類半?yún)?shù)回歸模型的估計(jì)理論[J]. 中國科學(xué):A 輯, 1991,34(12):1258-1272.

[11]HONG S Y, CHENG P. Bootstrap approximation of estimation for parametric in a semiparametric regression model[J]. Sci China Ser:A, 1993,36(3):239-251.

[12]孫耀東. 分歧泊松自回歸模型的馬爾可夫性[J]. 湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2011,34(4):18-20.

[13]BOENTE G, FRAIMAN R. Strong uniform convergence rates for some robust equivariant nonparametric regression estimates for mixing processes[J]. Int Stat Rev,1991,59(3):355-372.

(編輯HWJ)

重要啟事

“優(yōu)先數(shù)字出版”是以紙質(zhì)版期刊錄用稿件為出版內(nèi)容，先于紙質(zhì)期刊出版日期出版的數(shù)字期刊出版方式．我刊已于2012年起與中國學(xué)術(shù)期刊(光盤版)電子雜志社簽訂了優(yōu)先數(shù)字出版協(xié)議．凡被我刊錄用的稿件一經(jīng)優(yōu)先數(shù)字出版，讀者即可在中國知網(wǎng)(CNKI)全文數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索和下載．凡向本刊投稿的作者，如無特別申明，均被視為作者授權(quán)本刊編輯部在紙質(zhì)期刊出版前，可以在中國學(xué)術(shù)期刊(光盤版)電子雜志社主辦的“中國知網(wǎng)”(www.cnki.net)上優(yōu)先數(shù)字出版；也被視為作者同意并授權(quán)我刊與其他電子雜志社簽訂的協(xié)議，并許可其在全球范圍內(nèi)使用該文的信息網(wǎng)絡(luò)傳播權(quán)、數(shù)字化復(fù)制權(quán)、數(shù)字化匯編權(quán)、發(fā)行權(quán)及翻譯權(quán)，并不再額外支付稿酬．

本刊編輯部

Robust Estimation of Two Order Partially Linear Autoregressive Model

LIUChang-sheng1,SONGHong-wei2*

(1.Department of Mathematics and Physics, He’nan University of Urban Construction, Pingdingshan 467044, China;2.School of Mathematics and Statistics, He’nan University of Science and Technology, Luoyang 471023, China)

In this paper, by applying the robust estimation procedure to two order partially linear autoregressive model, the robust estimators of unknown parametericβand nonparametric functiong(·) were obtained. And the consistency of unknown parametric and nonparametric function estimators under certain conditions was confirmed. Time series simulation was employed to verify the consistency results.

autoregressive model; consistency; robust estimation

圖1　ZWC5菌株在PDA平板上的菌落形態(tài)(P.19)Fig.1　Colony morphology of fungus ZWC5 on the PDA culture medium(P.19)

圖2　ZWC5-Pe對HepG2及SMMC-7721細(xì)胞形態(tài)的影響(P.20)Fig.2　Effects of ZWC5-Pe on cell morphology of HepG2 and SMMC-7721(P.20)

10.7612/j.issn.1000-2537.2016.04.015

2015-05-07

河南省科技計(jì)劃項(xiàng)目支持(112300410191)

,E-mail：csliu@hncj.edu.cn

O211.61, O212.1

A

1000-2537(2016)04-0089-06