何朝兵

(安陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,中國 安陽　455000)

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維納過程單變點模型的貝葉斯參數(shù)估計

何朝兵

(安陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,中國 安陽455000)

摘要通過引入潛在變量,利用正態(tài)分布的重要性質(zhì)得到了維納過程單變點模型比較簡單的似然函數(shù).結(jié)合Metropolis-Hastings算法對參數(shù)進行Gibbs抽樣,基于Gibbs樣本對參數(shù)進行估計.隨機模擬的結(jié)果表明估計的精度較高.

關鍵詞潛在變量;可加性;滿條件分布;Gibbs抽樣;Metropolis-Hastings算法

變點問題成為近年來比較熱的研究方向,它在經(jīng)濟、質(zhì)量控制和醫(yī)學等領域應用廣泛[1-5].變點分析方法主要有非參數(shù)方法、最小二乘法和貝葉斯方法等.而隨著統(tǒng)計計算技術的發(fā)展,貝葉斯變點分析方法越來越受到人們的歡迎,而復雜性的計算是貝葉斯方法的難點.貝葉斯計算方法中的Markov chain Monte Carlo (MCMC) 方法是最近發(fā)展起來的一種簡單有效的計算方法.MCMC方法中的Gibbs抽樣和Metropolis-Hastings算法使變點分析變得非常方便[6-9].Gibbs抽樣可以簡化變點問題,例如,未知參數(shù)的滿條件分布可轉(zhuǎn)化為無變點的后驗分布,變點的滿條件分布可轉(zhuǎn)化為分布參數(shù)已知的后驗分布.維納過程是具有平穩(wěn)獨立增量的二階矩過程,是一種特殊的擴散過程,它在純數(shù)學、應用數(shù)學、經(jīng)濟學與物理學中都有重要應用.維納過程不只是布朗運動的數(shù)學模型,在應用數(shù)學中,維納過程可以描述高斯白噪聲的積分形式;在電子工程中,維納過程是建立噪音的數(shù)學模型的重要部分;控制論中,維納過程可以用來表示不可知因素.對擴散過程變點模型的研究較多[10-13],雖然維納過程是特殊的擴散過程,但對維納過程變點模型的研究卻較少[14-15],并且這些文獻都是基于隨機微分方程的求解來進行參數(shù)估計,計算比較繁瑣,但基于似然函數(shù)并且利用MCMC方法研究此模型還不多見.

本文主要利用MCMC方法研究維納過程單變點模型的參數(shù)估計問題.通過添加潛在變量得到了比較簡單的似然函數(shù),結(jié)合Metropolis-Hastings算法對參數(shù)進行Gibbs抽樣,基于Gibbs樣本對參數(shù)進行估計.隨機模擬的結(jié)果表明估計的精度較高.

1維納過程單變點模型

定義1隨機過程W(t)如果滿足:

1)W(0)=0,具有獨立增量;

2)對任意s,t>0,W(s+t)-W(s)服從正態(tài)分布N(0,σ2t),σ>0,則稱W(t)為以σ2為參數(shù)的維納過程.

當維納過程的參數(shù)σ2在某個時刻改變時,有如下定義.

定義2隨機過程W(t)如果滿足:

1)W(0)=0,具有獨立增量,

(1)

在n個時刻t1

W(ti)-W(ti-1)=zi,t0=0,i=1,2,…,n.

假設已知在觀察時間區(qū)域(0,tn]內(nèi)有一個變點,即0<τ

τ∈(tm,tm+1],0≤m≤n-1,實際上m是τ的函數(shù).

由式(1)知

由正態(tài)分布的可加性得

W(tm+1)-W(tm)的觀察值為zm+1.

下面介紹概率論中一個很重要的結(jié)果,即下面的引理1.

當m=0時,D1=?, 當m=n-1時,D2=?.記x為X的取值,添加潛在變量后的似然函數(shù)為

2模型的貝葉斯估計

下面給出參數(shù)的先驗分布.

1) 取τ的先驗分布為均勻分布,即π(τ)∝1,0<τ

下面介紹MCMC方法的具體步驟.

3隨機模擬

下面進行隨機模擬試驗.

表1　各參數(shù)的貝葉斯估計

圖1　τ的Gibbs抽樣迭代　　　　　　　　　　　　　　　圖2　τ的兩條迭代鏈　　　　　Fig.1　Gibbs sampling iterations of τ　　　　　　　　　　　　　　　Fig.2　Two iterative chains of τ

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(編輯HWJ)

DOI:10.7612/j.issn.1000-2537.2016.04.014

收稿日期：2015-11-12

基金項目：國家自然科學基金(61174099); 河南省高等學校重點科研項目(16A110001)

*通訊作者,E-mail：chaobing5@163.com

中圖分類號O212.8; O212.4

文獻標識碼A

文章編號1000-2537(2016)04-0084-05

Bayesian Parameter Estimation of Wiener Process with a Change-Point

HEChao-bing*

(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University, Anyang 455000, China)

AbstractBy introducing a latent variable, the simple likelihood function of Wiener process with a change-point is obtained according to the important property of the normal distribution. All the parameters are sampled by Gibbs sampler together with Metropolis-Hastings algorithm, and the parameters are estimated based on the Gibbs samples. Random simulation results show that the estimations are fairly accurate.

Key wordslatent variable; additivity; full conditional distribution; Gibbs sampling; Metropolis-Hastings algorithm