胡異丁，　任偉新，　顏健毅，　李　苗

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院　長沙，410075) (2.五邑大學(xué)信息工程學(xué)院　江門，529020) (3.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院　合肥，230009)

?

Hilbert低通濾波器特性分析及改進(jìn)數(shù)值計(jì)算方法*

胡異丁1,2，任偉新1,3，顏健毅2，李苗1

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院長沙，410075) (2.五邑大學(xué)信息工程學(xué)院江門，529020) (3.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院合肥，230009)

摘要針對基于Hilbert變換的零相位低通濾波器數(shù)值計(jì)算中，時(shí)域離散化帶來的頻域周期化影響了其低通特性的問題，提出了相應(yīng)的改進(jìn)方法。通過證明Hilbert低通濾波器時(shí)域解析表達(dá)式的頻率響應(yīng)特性，指出離散Hilbert低通濾波器的頻響特性混疊了π兩側(cè)倒相的頻率成分,并根據(jù)頻響特性圖的特征采用兩級濾波結(jié)構(gòu)對數(shù)值計(jì)算方法做出了改進(jìn)。理論證明了改進(jìn)后的濾波器能數(shù)值實(shí)現(xiàn)零相位低通濾波，并通過調(diào)幅信號以及調(diào)幅-調(diào)頻信號的仿真算例進(jìn)行了驗(yàn)證。應(yīng)變實(shí)測信號處理實(shí)例表明,改進(jìn)后濾波器能剔除動應(yīng)變信號中低頻的溫度效應(yīng)成分的影響，適合非平穩(wěn)信號分析的預(yù)處理。

關(guān)鍵詞零相位濾波器； 解析模式分解； Hilbert低通濾波器； 數(shù)值計(jì)算； 非平穩(wěn)信號處理

引言

在振動信號處理中數(shù)字濾波是重要的信號調(diào)理手段。數(shù)字濾波器在濾波時(shí)通常存在相移，其相頻特性分為三類：零相位、線性相位和非線性相位[1]。對于平穩(wěn)信號應(yīng)用線性相位濾波器信號的相位是不存在失真的，只是有一個(gè)延遲。但是振動信號中往往存在非平穩(wěn)信息，對非平穩(wěn)信號使用一般濾波器濾波不僅會產(chǎn)生相位失真，還會改變信號的瞬時(shí)頻率。因此數(shù)字信號處理領(lǐng)域引入了零相位數(shù)字濾波技術(shù)[2-4]。此外，為了避免相位延遲，也可采用信號分解的方式，如經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解或小波分解。文獻(xiàn)[5-6]討論了零相位濾波器在非平穩(wěn)信號分析中的應(yīng)用，并將零相位數(shù)字濾波器與小波包分解重構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法的濾波能力進(jìn)行了比較。

Hilbert變換(Hilbert transform，簡稱HT)是信號分析與處理中的廣泛應(yīng)用的重要理論工具。最近，Chen等[7]提出了基于Hilbert變換的一種新的信號分解方法——解析模式分解法(analytical mode decomposition，簡稱AMD)，可從振動時(shí)程信號中提取出密集頻率的諧波成分，并應(yīng)用于時(shí)變線性和非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識別[8]和環(huán)境振動結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別[9]。Feldman[10]通過改進(jìn)的Bedrosian公式證明了該分解方法，并對這種方法給出了新的理論解釋，認(rèn)為該算法實(shí)際上是一種基于Hilbert變換的低通濾波器，并且具備良好零相位特性，保留了通帶內(nèi)的原始信號的幅度，頻率和相位關(guān)系，因此適合非平穩(wěn)信號的濾波。

盡管Feldman給出了濾波器的解析式，但是當(dāng)采用離散數(shù)值計(jì)算時(shí)，由于時(shí)域離散化帶來的頻域周期化，使得原解析式的計(jì)算結(jié)果將產(chǎn)生頻譜混疊而不能實(shí)現(xiàn)低通濾波，因此需要做出改進(jìn)。

在基于Hilbert變換的零相位低通濾波器的解析證明的基礎(chǔ)上，筆者從傅里葉角度證明該濾波器時(shí)域解析表達(dá)式的頻率響應(yīng)特性；進(jìn)而發(fā)現(xiàn)濾波器解析式的數(shù)值計(jì)算中存在的問題；在此基礎(chǔ)上提出改進(jìn)的濾波器數(shù)值計(jì)算方法；采用兩個(gè)仿真算例比較改進(jìn)前，后的濾波器特性；最后將其應(yīng)用到應(yīng)變實(shí)測信號處理的實(shí)例中。

1基于Hilbert變換的低通濾波器

Hilbert變換是一種積分變換，信號x(t)的Hilbert變換HT[x(t)][11]定義為

(1)

(2)

其中：sgn(Ω)為符號函數(shù)；HT(Ω)如圖1所示。

圖1　Hilbert變換的頻響特性Fig.1　Frequency response characteristic of Hilbert transform

Feldman在Hilbert變換性質(zhì)及Bedrosian乘積定理[13]的基礎(chǔ)上給出了Hilbert低通濾波器的解析證明。

(3)

即可得到

(4)

(5)

式(5)表明，任何低于正交函數(shù)頻率ωc的低頻成分s(t)從信號x(t)中被提取出來，因而也可將其理解為基于Hilbert變換的低通濾波器，正交函數(shù)的頻率ωc也可稱為該低通濾波器的截止頻率。顯然，高于截止頻率ωc的高頻成分f(t)也可通過f(t)=x(t)-s(t)被分離出來。

2濾波器的頻率響應(yīng)特性證明

考慮輸入信號x(t)=s(t)+f(t)，經(jīng)過式(5)的Hilbert低通濾波器，響應(yīng)為s(t)，分析該濾波器頻率響應(yīng)特性。

根據(jù)傅里葉變換的時(shí)域卷積性質(zhì)和頻域卷積性質(zhì)[14]，求s1(t)的傅里葉變換為

X(Ω)sgn(Ω-ωc)-X(Ω-2ωc)sgn(Ω-ωc)]

其中：X(Ω)為x(t)的傅里葉變換。

同理可求HT[x(t)sinωct]cosωct的傅里葉變換S2(Ω)為

X(Ω)sgn(Ω+ωc)+X(Ω)sgn(Ω-ωc)-

X(Ω-2ωc)sgn(Ω-ωc)]

因此，HT[x(t)cosωct]sinωct-HT[x(t)sinωct]·cosωct的傅里葉變換S(Ω)為

S(Ω)=S1(Ω)-S2(Ω)=

X(Ω)G2ωc(Ω)

(6)

其中

(7)

G2ωc(Ω)為系統(tǒng)頻響特性函數(shù)，如圖2所示。顯然，該濾波器相頻特性為0，為一零相位理想低通濾波器，截止頻率為ωc。

圖2　Hilbert低通濾波器頻響特性Fig.2　Frequency response characteristic of Hilbert low-pass filter

3數(shù)值計(jì)算中的問題及改進(jìn)

3.1數(shù)值計(jì)算中的混疊和倒相問題

實(shí)際工程計(jì)算對象往往是數(shù)字信號，數(shù)據(jù)時(shí)域的離散化將會帶來頻域的周期化。因此離散時(shí)間信號Hilbert變換器的頻響特性為HT(ejω)，這是將圖1的HT(Ω)的符號函數(shù)周期化，即

(8)

圖3　離散Hilbert變換器頻響特性Fig.3　Frequency response characteristic of discrete Hilbert transform

離散時(shí)間信號Hilbert變換器的頻響特性如圖3所示，即將圖2的符號函數(shù)截?cái)嗲乙?π為周期延拓而構(gòu)成。因此在數(shù)值計(jì)算中，按照解析式(5)得到的Hilbert低通濾波器頻響特性式(7)中的符號函數(shù)也將被截?cái)嗲抑芷谘油兀鐖D4(a)，(b)所示。假設(shè)截止頻率ωc<π/2，依據(jù)式(7)可得離散時(shí)間信號Hilbert低通濾波器的頻響特性為G2ωc(ejω)，如圖4(c)所示。

(9)

圖4　離散Hilbert低通濾波器頻響特性推導(dǎo)過程Fig.4　Derivation process of frequency response characteristic of discrete Hilbert low-pass filter

通過比較圖4(c)與圖2可知，采用離散時(shí)間信號計(jì)算Hilbert低通濾波器得到的頻率響應(yīng),除了保留了ωc以內(nèi)的低頻成分外，還混疊進(jìn)了π兩側(cè)的頻率成分，且產(chǎn)生了倒相，因此不再具備低通濾波特性。

例如，設(shè)一時(shí)長為1s信號x(t)分別由一直流成分和30Hz正弦信號相加，x(t)=2+sin(60πt)，采樣率為100Hz。按照式(5)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，設(shè)截止頻率為22Hz，濾波后的成分為s(t)。理論上經(jīng)過低通濾波后的結(jié)果應(yīng)該僅包含直流成分，而實(shí)際計(jì)算結(jié)果既包含直流成分，又混疊了30Hz信號成分，且產(chǎn)生了倒相，如圖5所示?？梢姶笥诮刂诡l率22Hz的30Hz正弦信號成分并沒有被濾除，而以倒相的形式仍舊存在于濾波后的結(jié)果中，計(jì)算結(jié)果不符合低通特性。

圖5　濾波產(chǎn)生倒相示例Fig.5　Example of phase inversion

3.2改進(jìn)的數(shù)值計(jì)算方法

(10)

圖6　改進(jìn)的離散Hilbert低通濾波器頻響特性Fig.6　Frequency response characteristic of improved discrete Hilbert low-pass filter

綜上所述，對一信號x(t)=s(t)+f(t)，其中s(t)為低頻成分，f(t)為高頻成分，改進(jìn)的離散Hilbert低通濾波器計(jì)算步驟為：

1) 設(shè)定合適的濾波器截止頻率ωc，將輸入信號x(t)除以2，再采用式(5)數(shù)值計(jì)算得到s′(t)，完成第1級濾波；

2) 將s′(t)做為輸入，仍舊設(shè)定截止頻率為ωc，再經(jīng)過式(5)數(shù)值計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果加上s′(t)即得到低頻成分信號s(t)，完成第2級濾波。

改進(jìn)的離散Hilbert低通濾波器結(jié)構(gòu)框圖如圖7所示，圖中虛線框內(nèi)即式(5)的結(jié)構(gòu)框圖。如果數(shù)值計(jì)算中截止頻率ωc>π/2，式(7)中的兩個(gè)符號函數(shù)經(jīng)周期延拓以后再相減，頻響特性仍將發(fā)生混疊，不再具備低通特性。因而，實(shí)際計(jì)算可增大采樣頻率以保證所需要濾出的低頻成分的頻率小于π/2。同時(shí)，由于工程處理的信號都是有限長度，Hilbert變換數(shù)值計(jì)算仍舊會產(chǎn)生端點(diǎn)效應(yīng)[15]。

圖7　改進(jìn)的離散Hilbert低通濾波器結(jié)構(gòu)框圖Fig.7　Block diagram of improved discrete Hilbert low-pass filter

4仿真算例

4.1算例1

改進(jìn)前、后的Hilbert濾波器用于處理調(diào)幅信號比較。設(shè)x(t)為包含兩個(gè)衰減振蕩諧波分量的輸入信號，低頻分量與高頻分量的振蕩頻率分別為20 Hz和230 Hz，其中低頻諧波分量從0.4 s開始，高頻諧波分量從0.2 s開始，數(shù)值表達(dá)式如下

其中：u(t)為階躍函數(shù)。

設(shè)置低通截止頻率為50 Hz，分別用改進(jìn)前、后的Hilbert濾波器對輸入信號x(t)進(jìn)行數(shù)字濾波。信號x(t)波形如圖8(a)所示。信號經(jīng)數(shù)值離散化，采樣率為500 Hz。改進(jìn)前Hilbert濾波器輸出的既有20 Hz分量又有倒相以后的230 Hz的分量，沒有完成低通濾波任務(wù)，結(jié)果如圖8(b)所示。改進(jìn)后Hilbert濾波器輸出僅有20 Hz分量，結(jié)果與原有信號低頻成分的幅度、相位一致，正確實(shí)現(xiàn)了零相位低通濾波任務(wù)，結(jié)果如圖8(c)所示。需注意改進(jìn)后濾波器輸出信號原信號中,低頻20 Hz成分的x1(t)，在信號發(fā)生突變的位置(0.4 s處)產(chǎn)生了一定的失真，這是因?yàn)橥蛔凕c(diǎn)的存在類似于將信號在該點(diǎn)截?cái)?，引入了新的端點(diǎn)。

圖8　算例1的改進(jìn)前、后濾波結(jié)果比較Fig.8　Comparison of results of the filter before and after improvement in the first example

4.2算例2

改進(jìn)前、后的Hilbert濾波器用于處理調(diào)幅-調(diào)頻信號比較。設(shè)x3(t)為1 s內(nèi)瞬時(shí)頻率從5 Hz變到200 Hz的線性調(diào)頻信號；x4(t)=sin(4πt)，為慢變2 Hz正弦信號；輸入信號為x(t)=x3(t)·x4(t)。信號經(jīng)數(shù)值離散化，采樣頻率為400 Hz。

設(shè)置Hilbert低通濾波器截止頻率為100 Hz，分別用改進(jìn)前、后的Hilbert濾波器進(jìn)行數(shù)字濾波得到結(jié)果分別如圖9(a)和(b)所示。從圖9(a)中可看到，改進(jìn)前濾波結(jié)果在0.5 s以后仍有輸出，即信號大于截止頻率100 Hz的成分仍舊存在，因此未能正確實(shí)現(xiàn)低通濾波效果。圖9(b)中，改進(jìn)后濾波結(jié)果在t<0.5 s內(nèi)與輸入信號幅度相位都一致，而當(dāng)t>0.5 s信號基本為零，表明濾除大于截止頻率100 Hz的成分，正確實(shí)現(xiàn)了低通濾波效果，且具備優(yōu)越的零相位特性，能有效消除濾波環(huán)節(jié)中對通帶內(nèi)信號造成的相位失真和瞬時(shí)頻率的改變。因此該濾波方法可廣泛應(yīng)用于橋梁振動，地震波等非平穩(wěn)信號分析的預(yù)處理中。

圖9　算例2的改進(jìn)前、后濾波結(jié)果比較Fig.9　Comparison of results of the filter before and after improvement in the second example

5實(shí)測信號處理實(shí)例

健康監(jiān)測系統(tǒng)所監(jiān)測到的動態(tài)應(yīng)變除了交通荷載影響外，還包括有環(huán)境(溫度等)的影響，因此通常采用溫度補(bǔ)償片貼在與構(gòu)件相同的材料上進(jìn)行溫度補(bǔ)償。對于大跨度橋梁結(jié)構(gòu)，特別是懸索橋、斜拉橋等多次超靜定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，溫度對結(jié)構(gòu)動力特性的影響與橋梁邊界約束條件有顯著關(guān)聯(lián)，從而對結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀態(tài)具有較大的影響[16-17]。而溫度補(bǔ)償片僅剔除了電阻應(yīng)變片箔絲材料本身的溫度應(yīng)變，補(bǔ)償后動應(yīng)變信號仍具有與溫度變化相關(guān)的波動形式，正是反映的結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力作用，為典型的非平穩(wěn)信號。

筆者分析的實(shí)測動應(yīng)變信號采自壩陵河懸索橋。根據(jù)大橋所在地的天氣情況，選擇在溫度波動較大的季節(jié)(4月份)對鋼桁架桿件的應(yīng)變進(jìn)行測量，應(yīng)變測試的測點(diǎn)位于橋梁主跨的跨中節(jié)段。圖10為跨中鋼桁梁上游上弦桿測點(diǎn)一天應(yīng)變測量數(shù)據(jù)，采集儀器為HBM MGCplus AB22A，數(shù)據(jù)已做溫度補(bǔ)償，采樣率為50 Hz。

圖10　溫度補(bǔ)償后的應(yīng)變時(shí)程Fig.10　Temperature-compensated strain history

圖11　Hilbert低通濾波處理后的溫度效應(yīng)成分和動荷載應(yīng)變時(shí)程Fig.11　Temperature effect component and strain history of dynamical load processed with Hilbert low-pass filter

因?yàn)樘幚淼臄?shù)據(jù)對象是非平穩(wěn)數(shù)字信號，采用筆者改進(jìn)的Hilbert低通濾波器處理數(shù)據(jù)，其零相位特性將不會改變?yōu)V波后數(shù)據(jù)的相位和瞬時(shí)頻率特征，以保證非平穩(wěn)信號處理的正確性。由于溫度效應(yīng)變化頻率極慢的特征，其低通特性則可以提取溫度變化的慢變趨勢。設(shè)置截止頻率為0.005 Hz，濾出的結(jié)構(gòu)動態(tài)應(yīng)變信號中的溫度效應(yīng)成分如圖11(a)所示，圖中慢變的低頻成分反映了結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力所產(chǎn)生的應(yīng)變時(shí)程。剩余的成分主要為動荷載產(chǎn)生的應(yīng)變時(shí)程如圖11(b)所示，這對由車輛荷載引起的橋梁結(jié)構(gòu)損傷識別，移動車輛識別等具有重要意義。可見，改進(jìn)Hilbert低通濾波器能應(yīng)用于實(shí)測非平穩(wěn)信號的預(yù)處理中。

6結(jié)束語

將基于Hilbert變換的零相位低通濾波器應(yīng)用到非平穩(wěn)信號分析中，并從傅里葉變換角度證明了該濾波器零相位低通頻率響應(yīng)特性。由于數(shù)值計(jì)算中符號函數(shù)頻域上的周期延拓，使得Hilbert變換低通濾波器原解析式低通帶寬特性在π兩側(cè)發(fā)生改變，在此基礎(chǔ)上提出了兩級濾波結(jié)構(gòu)的改進(jìn)濾波器數(shù)值計(jì)算方法。兩個(gè)仿真算例驗(yàn)證改進(jìn)后的濾波器才能正確完成零相位低通濾波。應(yīng)變測量數(shù)據(jù)處理實(shí)例表明，該濾波器能剔除動應(yīng)變信號中低頻的溫度效應(yīng)成分的影響，適合非平穩(wěn)信號分析的預(yù)處理。

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E-mail:eadien@163.com

doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.02.029

收稿日期：2014-04-24；修回日期：2014-08-21

中圖分類號TB123; TN911.6;TH82

第一作者簡介：胡異丁，男，1974年3月生，博士生、講師。主要研究方向?yàn)檎駝有盘柼幚?、橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測。曾發(fā)表《基于同步壓縮變換和局部替代數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)振動信號分解方法》(《振動與沖擊》2013年第32卷第23期)等論文。

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51078357)