孫曉強(qiáng)，　陳　龍，　汪少華,　楊曉峰

(江蘇大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院　鎮(zhèn)江，212013)

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滾珠絲杠式慣容器非線性建模與參數(shù)辨識(shí)*

孫曉強(qiáng)，陳龍，汪少華,楊曉峰

(江蘇大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院鎮(zhèn)江，212013)

摘要針對(duì)滾珠絲杠式慣容器存在的非線性力學(xué)特征，首先，分析了滾珠絲杠式慣容器的工作原理，對(duì)慣容器的主要部件進(jìn)行了非線性力學(xué)分析，建立了考慮摩擦、間隙以及絲杠彈性力的慣容器非線性力學(xué)模型；然后,在數(shù)控液壓伺服激振試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行了慣容器的力學(xué)性能試驗(yàn)，得到了慣容器在不同慣容系數(shù)以及不同激振輸入下的力學(xué)響應(yīng)特性；最后,根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果分析了摩擦和間隙對(duì)慣容器力學(xué)性能的影響，得到了便于參數(shù)辨識(shí)的慣容器力學(xué)模型結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了慣容器輸出力仿真與試驗(yàn)結(jié)果的分析和對(duì)比。結(jié)果顯示，二者在一個(gè)周期內(nèi)的均方根值誤差不超過(guò)7%，非線性模型呈現(xiàn)出良好的擬合精度，證明了所述方法的可行性和有效性。

關(guān)鍵詞滾珠絲杠式慣容器； 非線性； 最小二乘法； 參數(shù)辨識(shí)

引言

為了在機(jī)械網(wǎng)絡(luò)中尋找一種能夠與電容嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)的基本元件，Smith[1]提出了慣容器(Inerter)的概念，并給出其兩端點(diǎn)實(shí)現(xiàn)形式，從此，電容在與機(jī)械元件對(duì)應(yīng)時(shí)不再有接地要求。隨后，Smith等[2]將慣容器應(yīng)用于車輛懸架中，通過(guò)優(yōu)化比較多種布置形式的慣容-彈簧-阻尼(interter spring damper，簡(jiǎn)稱ISD)懸架減振性能，對(duì)慣容器的隔振潛力進(jìn)行了分析。2006年，一種包含慣容器的補(bǔ)償裝置在高性能摩托車上得到了應(yīng)用，成功解決了摩托車在轉(zhuǎn)向過(guò)程中的失穩(wěn)問(wèn)題[3]。Wang等[4-5]針對(duì)含慣容器的列車懸架進(jìn)行了研究，結(jié)果表明慣容器能夠有效改善列車在行駛過(guò)程中的乘坐舒適性和安全。江蘇大學(xué)于2007年開(kāi)展了應(yīng)用慣容器的研究，證實(shí)應(yīng)用慣容器能夠提高車輛懸架系統(tǒng)的隔振性能[6-7]。

然而，上述慣容器的應(yīng)用研究均是以慣容器線性數(shù)學(xué)模型為前提，忽略了慣容器實(shí)際機(jī)械結(jié)構(gòu)中存在的非線性因素。文獻(xiàn)[8]指出，間隙和非線性彈性力對(duì)慣容器的力學(xué)性能有著直接影響。文獻(xiàn)[9]同時(shí)考慮了摩擦力這一非線性因素，建立慣容器非線性力學(xué)模型，研究了慣容器非線性對(duì)ISD懸架性能的影響。

在考慮非線性因素的影響下，筆者對(duì)滾珠絲杠式慣容器的主要部件進(jìn)行了力學(xué)分析，建立了包含摩擦、間隙以及絲杠彈性力的慣容器非線性力學(xué)模型。通過(guò)試驗(yàn)分析了摩擦和間隙對(duì)慣容器實(shí)際力學(xué)性能的影響，并對(duì)模型中的摩擦和間隙進(jìn)行了合理的簡(jiǎn)化，從而得到便于參數(shù)辨識(shí)的模型結(jié)構(gòu)，基于該結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出慣容器輸出力與慣容器兩端間相對(duì)加速度之間的傳遞函數(shù)，并采用最小二乘遞推算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)。仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比表明，該方法呈現(xiàn)出良好的擬合性能，具有較高的實(shí)用價(jià)值。

1慣容器非線性模型的建立

1.1滾珠絲杠式慣容器工作原理

滾珠絲杠式慣容器的結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由便于兩端吊耳焊接的圓筒(左筒和右筒)、絲杠、螺母、軸承、軸承座以及飛輪構(gòu)成。

圖1　滾珠絲杠式慣容器Fig.1　Ball-screw inerter

當(dāng)大小相等，方向相反的力沿軸向施加于慣容器兩端時(shí)，慣容器兩端間便會(huì)產(chǎn)生相對(duì)直線位移，通過(guò)滾珠絲杠副將其轉(zhuǎn)化為絲杠的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，然后通過(guò)絲杠帶動(dòng)飛輪旋轉(zhuǎn)，從而實(shí)現(xiàn)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的放大，即飛輪慣性的封裝。

滾珠絲杠式慣容器的理想線性動(dòng)力學(xué)方程如下

(1)

其中：ω為絲杠旋轉(zhuǎn)角速度；P為滾珠絲杠副的導(dǎo)程；v為慣容器兩端間相對(duì)速度；T為絲杠上驅(qū)動(dòng)力矩；J為慣容器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；F為慣容器兩端間作用力。

由式(1)可得F的表達(dá)式為

(2)

其中：b為慣容系數(shù)；a為慣容器兩端間相對(duì)加速度。

通過(guò)式(2)可得慣容系數(shù)b的表達(dá)式為

(3)

慣容系數(shù)為慣容器的慣性參照，單位為kg，因此，慣容器的物理性質(zhì)與一個(gè)同等質(zhì)量的質(zhì)量塊相似。根據(jù)式(3)，慣容器對(duì)飛輪旋轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的慣性質(zhì)量進(jìn)行了放大，從而能夠以較小的飛輪自重實(shí)現(xiàn)上百千克的慣性質(zhì)量，為慣容器的實(shí)際工程應(yīng)用提供了有利條件。

1.2主要部件的力學(xué)分析

慣容器中的非線性因素主要來(lái)源于滾珠絲杠副，因此，為建立慣容器非線性模型，考慮對(duì)螺母和絲杠進(jìn)行非線性力學(xué)分析(圖2)。圖2中，F(xiàn)為慣容器兩端間作用力；x1為慣容器兩端間相對(duì)位移；Td為絲杠驅(qū)動(dòng)力矩；x2為螺母與絲杠間力傳遞中螺母相對(duì)于慣容器另一端的位移；x1和x2之間的關(guān)系為x1-x2=ε，ε為慣容器中存在的間隙，主要包括絲杠和螺母之間的游隙、軸承的間隙以及兩端吊耳中存在的間隙，這里集中以ε表示。

圖2　螺母和絲杠的力學(xué)分析Fig.2　Mechanics analysis of nut and screw

(4)

其中：m為螺母、左筒以及吊耳三者質(zhì)量的集中表示；Ff為螺母與絲杠之間的摩擦力；Fd為螺母作用在絲杠上的驅(qū)動(dòng)力，是絲杠對(duì)螺母的反作用力。

絲杠的軸向剛度和扭轉(zhuǎn)剛度并非為理想中的無(wú)窮大，因此，絲杠在承受軸向力以及驅(qū)動(dòng)力矩時(shí)會(huì)產(chǎn)生彈性形變。絲杠的彈性特性可以用等效剛度ke和等效阻尼ce來(lái)表示，絲杠受到的驅(qū)動(dòng)力和摩擦力與其彈性形變?chǔ)之間存在如下關(guān)系

(5)

由于絲杠中存在彈性形變，因此，螺母與絲杠間實(shí)際相對(duì)位移x3可以用式(6)表示，同時(shí)絲杠的實(shí)際旋轉(zhuǎn)角度θ如式(7)

(6)

(7)

由式(2)得到，絲杠受到的驅(qū)動(dòng)力和摩擦力隨絲杠旋轉(zhuǎn)角度θ、螺母與絲杠間相對(duì)位移x3的變化關(guān)系為

(8)

其中：J為慣容器中所有轉(zhuǎn)動(dòng)部件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和(包括絲杠本身、絲杠上的緊固螺母以及飛輪等)。

1.3非線性模型

通過(guò)上述分析，掌握了非線性因素在滾珠絲杠式慣容器力流傳播過(guò)程中的影響機(jī)理，從而建立了如圖3所示的慣容器簡(jiǎn)化力學(xué)模型，進(jìn)而可以得到慣容器的非線性力學(xué)模型，如圖4。

圖3　滾珠絲杠式慣容器簡(jiǎn)化力學(xué)模型Fig.3　Simplified mechanics model of ball-screw inerter

圖4　滾珠絲杠式慣容器非線性模型Fig.4　Nonlinear model of ball-screw inerter

2慣容器的試驗(yàn)

為分析非線性因素對(duì)滾珠絲杠式慣容器實(shí)際力學(xué)性能的影響，進(jìn)行了慣容器的力學(xué)性能試驗(yàn)。試驗(yàn)對(duì)象為本課題組研制的滾珠絲杠式慣容器，采用兩種質(zhì)量不同的飛輪，通過(guò)式(3)進(jìn)行慣容系數(shù)的計(jì)算，得到相應(yīng)的慣容系數(shù)分別為130和330 kg。試驗(yàn)設(shè)備為美國(guó)INSTRON公司生產(chǎn)的8800數(shù)控液壓伺服激振試驗(yàn)臺(tái)，該試驗(yàn)臺(tái)能夠支持激振頭按照一定的位移要求運(yùn)動(dòng)，并實(shí)時(shí)觀測(cè)和保存激振頭的位移和載荷信號(hào)。慣容器上端固定，下端與激振頭相連，試驗(yàn)采用正弦輸入，為了防止測(cè)試力超出激振臺(tái)的負(fù)荷，在高頻振動(dòng)時(shí)采用了較小的振幅。測(cè)試工況參數(shù)如表1所示(括號(hào)內(nèi)為相應(yīng)頻率)。

表1　測(cè)試工況參數(shù)

通過(guò)試驗(yàn)獲得了不同測(cè)試工況下的慣容器動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，以b=130 kg為例，當(dāng)頻率分別為0.1和7 Hz時(shí)，慣容器的力學(xué)響應(yīng)如圖5所示。各測(cè)試工況下的試驗(yàn)結(jié)果如表2，表中主要對(duì)比了不同激振輸入下慣容器輸出力的平均幅值和理論幅值以及二者之間的誤差百分比。

圖5　慣容器的力學(xué)輸出Fig.5　Mechanical outputs of inerter

f/Hzb=130kgb=330kg試驗(yàn)幅值/N理論幅值/N誤差百分比/%試驗(yàn)幅值/N理論幅值/N誤差百分比/% 0.161.2 1.098.4 64.3 2.795.81185.4102.744.6334.3262.321.53653.7461.929.31351.81179.912.75872.5641.326.51832.01637.810.67869.1754.413.22131.21926.69.69929.2831.610.52316.02123.88.3

由上述試驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在部分頻率下，理論值與試驗(yàn)值之間存在較大幅度的誤差，這說(shuō)明非線性因素對(duì)慣容器實(shí)際力學(xué)性能的影響不容忽視。因此，為實(shí)現(xiàn)非線性慣容器的力學(xué)性能預(yù)測(cè)，考慮對(duì)慣容器非線性力學(xué)模型中的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

3模型參數(shù)辨識(shí)

由于所建慣容器力學(xué)模型中包含摩擦和間隙等非線性因素，常規(guī)的辨識(shí)方法難以對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行有效辨識(shí)，因此，進(jìn)一步分析摩擦和間隙對(duì)慣容器力學(xué)性能的影響，并對(duì)模型中的摩擦和間隙進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，從而得到便于參數(shù)辨識(shí)的模型結(jié)構(gòu)。

3.1摩擦與間隙的簡(jiǎn)化

3.1.1摩擦的簡(jiǎn)化

慣容器中的摩擦主要存在于絲杠和螺母間的接觸面上，且摩擦力Ff與絲杠螺母間相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v之間的關(guān)系[10]可用下式表示

(9)

其中：f0為摩擦力的幅值；sgn為符號(hào)函數(shù)(當(dāng)v>0時(shí)，函數(shù)值取1；當(dāng)v=0時(shí)，函數(shù)值取0；當(dāng)v<0時(shí)，函數(shù)值取-1)。

在低頻時(shí)，慣容器的慣性力較小，此時(shí)摩擦力占據(jù)主導(dǎo)地位，因此，在圖5(a)中，慣容器的輸出力與正弦波相差較大，呈現(xiàn)出方波的特征。圖6為慣容系數(shù)b=330 kg，頻率f=0.1 Hz時(shí)，慣容器的力學(xué)響應(yīng)。結(jié)合圖5和圖6可以看出，當(dāng)慣容系數(shù)改變時(shí)，摩擦力的幅值基本不變，因此，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果可以確定摩擦力的幅值f0為60 N，摩擦力的性質(zhì)為方波，摩擦力的方向與速度方向相反。

圖6　慣容器的力學(xué)響應(yīng)(b=330 kg，f=0.1 Hz)Fig.6　Mechanical responses of inerter (b=330 kg，f=0.1 Hz)

3.1.2間隙的簡(jiǎn)化

間隙主要會(huì)導(dǎo)致慣容器在高速旋轉(zhuǎn)換向時(shí)產(chǎn)生遲滯現(xiàn)象，因此，當(dāng)慣容器的位移方向改變時(shí)，間隙的非線性特性就會(huì)顯現(xiàn)。由圖5(b)可以看出，慣容器輸出力在零值附近出現(xiàn)了較小幅度的波動(dòng)，這正是受到了間隙的影響。因?yàn)楦鶕?jù)慣容器位移輸入與加速度輸入之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)加速度為零時(shí)，慣容器的位移方向恰好出現(xiàn)了突變，因而間隙的影響在此時(shí)得以體現(xiàn)?；陂g隙對(duì)慣容器輸出力的影響幅度較小，且在研制慣容器時(shí)，對(duì)滾珠絲杠副采用了雙螺母預(yù)緊，使得其中的間隙盡可能減小。因此，為了便于模型參數(shù)的辨識(shí)，忽略了間隙對(duì)慣容器力學(xué)性能的影響，即令ε= 0。

3.2慣容器輸出力模型

通過(guò)對(duì)摩擦和間隙進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，得到了慣容器輸出力的簡(jiǎn)化模型，如圖7所示。

圖7　慣容器輸出力簡(jiǎn)化模型Fig.7　Simplified model of inerter output force

根據(jù)圖7所示的模型，建立慣容器的相關(guān)動(dòng)力學(xué)方程如下

(10)

(11)

由于試驗(yàn)時(shí)慣容器的上端固定，即x3=0，因此，以上方程可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(12)

(13)

3.3模型參數(shù)辨識(shí)

通過(guò)進(jìn)行慣容器的力學(xué)性能試驗(yàn)，獲取了真實(shí)測(cè)試工況下的系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步采用最小二乘遞推算法對(duì)慣容器非線性力學(xué)模型中的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。具體參數(shù)辨識(shí)過(guò)程如下[11-12]。

1)根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求取系統(tǒng)輸入與輸出間的傳遞函數(shù)。

對(duì)式(13)進(jìn)行拉普拉斯變換可得

(14)

通過(guò)式(14)可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(15)

將矩陣A，B，C，D代入上式，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進(jìn)一步可表示為

(16)

2)采用雙線性變換方法對(duì)連續(xù)傳遞函數(shù)進(jìn)行離散化。

令

(17)

其中：T為采樣周期。

然后將式(17)代入到式(16)中，得到傳遞函數(shù)的離散形式為

(18)

其中：a1，a2，a3，a4，a5，a6為待辨識(shí)的參數(shù)。

這些參數(shù)與慣容器力學(xué)模型參數(shù)之間存在如下關(guān)系

(19)

根據(jù)式(18)得到系統(tǒng)相應(yīng)的差分方程為

a1Y(k)+a2Y(k-1)+a3Y(k-2)=a4U(k)+

a5U(k-1)+a6U(k-2)

(20)

3)根據(jù)差分方程推導(dǎo)系統(tǒng)的最小二乘格式。

將待辨識(shí)的系數(shù)移到等式右端可得

o4U(k-1)+o5U(k-2)

(21)

因此，系統(tǒng)輸入輸出的最小二乘格式為

(22)

其中:θ為待辨識(shí)的參數(shù)集合;h為樣本集合;e(k)為系統(tǒng)采樣誤差。

(23)

4)根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)。

取準(zhǔn)則函數(shù)為

(24)

4慣容器力學(xué)模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證所建模型的準(zhǔn)確性以及辨識(shí)方法的有效性，利用試驗(yàn)獲取的慣容器輸入輸出數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)辨識(shí)。鑒于試驗(yàn)臺(tái)只能保存慣容器的位移輸入，這里借助Matlab曲線擬合工具箱Cftool對(duì)慣容器的位移輸入進(jìn)行曲線擬合，然后將得到的曲線方程進(jìn)行差分求導(dǎo)便可獲得慣容器的速度和加速度輸入。

針對(duì)兩種不同的慣容系數(shù)，分別選取部分測(cè)試工況下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并采用前述的模型參數(shù)辨識(shí)方法對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表3。根據(jù)表3中結(jié)果對(duì)相應(yīng)的方程組進(jìn)行求解，得到慣容器輸出力模型的參數(shù)值如表4，其中，T為試驗(yàn)臺(tái)保存數(shù)據(jù)的采樣間隔，取為0.001 s。

表3　參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

表4　慣容器輸出力模型參數(shù)

從表4中可以看出，通過(guò)辨識(shí)得到的慣容系數(shù)與實(shí)際值十分接近，最大誤差僅為2.7%，同時(shí)表示螺母、左筒以及吊耳三者質(zhì)量的m與實(shí)際估算值2.5 kg也較為吻合，這間接證明了辨識(shí)方法以及辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性。根據(jù)表4最終確定絲杠的等效剛度ke為1 280 kN/m，等效阻尼ce為4 100 Ns/m。

將上述參數(shù)代入慣容器非線性力學(xué)模型中，并將擬合后得到的慣容器兩端間相對(duì)速度和相對(duì)加速度作為慣容器力學(xué)模型的輸入進(jìn)行仿真，部分測(cè)試工況下的仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖8所示。表5對(duì)各測(cè)試工況下慣容器輸出力仿真值與試驗(yàn)值在一個(gè)周期內(nèi)的均方根值及其誤差進(jìn)行了對(duì)比。

圖8　仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.8　Comparison between simulation results and testing results

f/Hzb=130kgb=330kg試驗(yàn)幅值/N理論幅值/N誤差百分比/%試驗(yàn)幅值/N理論幅值/N誤差百分比/% 0.160.856.76.7 55.3 52.74.7186.389.43.6 154.2 163.15.83347.2359.63.6 674.3 697.33.45478.1508.96.4 926.5 946.72.27468.3486.03.81126.41157.52.89482.8499.13.41215.31258.93.6

通過(guò)圖8及表5可以看出，在不同測(cè)試工況下，慣容器輸出力的仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果均吻合良好，同時(shí)慣容器輸出力在一個(gè)周期內(nèi)的均方根值誤差最大不超過(guò)7%，平均誤差僅為4.2%，模型呈現(xiàn)出良好的擬合精度。模型驗(yàn)證結(jié)果表明，通過(guò)上述方法得到的慣容器非線性力學(xué)模型可以實(shí)現(xiàn)慣容器力學(xué)性能的有效預(yù)測(cè)，為進(jìn)一步分析慣容器非線性對(duì)隔振系統(tǒng)性能的影響奠定了良好的基礎(chǔ)。

5結(jié)束語(yǔ)

筆者建立的包含摩擦、間隙以及絲杠彈性力的慣容器非線性力學(xué)模型，能夠準(zhǔn)確體現(xiàn)出滾珠絲杠式慣容器存在的非線性力學(xué)特征。慣容器的力學(xué)性能試驗(yàn)結(jié)果真實(shí)反映了摩擦和間隙對(duì)慣容器力學(xué)性能的影響，在此基礎(chǔ)上，可以對(duì)模型中的摩擦和間隙進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，從而得到便于參數(shù)辨識(shí)的模型結(jié)構(gòu)。最小二乘遞推算法可以根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)慣容器力學(xué)模型中的參數(shù)進(jìn)行有效辨識(shí)，其中，辨識(shí)得到的慣容系數(shù)與實(shí)際值最大誤差僅為2.7%，間接驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和可靠性。慣容器非線性力學(xué)模型的輸出力仿真值與試驗(yàn)值在一個(gè)周期內(nèi)的均方根值誤差最大不超過(guò)7%，平均誤差僅為4.2%，說(shuō)明所建模型以及采用的模型參數(shù)辨識(shí)方法可以對(duì)滾珠絲杠式慣容器非線性力學(xué)性能進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)。

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E-mail: sunxqujs@126.com

doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.02.020

收稿日期：2014-03-13；修回日期：2014-05-21

中圖分類號(hào)U463.33; TH86

第一作者簡(jiǎn)介：孫曉強(qiáng)，男，1989年7月生，博士生。主要研究方向?yàn)檐囕v系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、車輛底盤動(dòng)態(tài)性能模擬與控制。曾發(fā)表《兩級(jí)串聯(lián)式ISD懸架非線性建模與參數(shù)優(yōu)化》(《農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)》2014年第45卷第6期)等論文。

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50905078)；江蘇省科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(SBE201300959)