于　剛，　周以齊

(山東大學高效潔凈機械制造教育部重點實驗室　濟南，250061)

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基于能量衰減比的雙通道源數(shù)目估計方法*

于剛，周以齊

(山東大學高效潔凈機械制造教育部重點實驗室濟南，250061)

摘要利用源信號到達兩傳感器間具有不同能量衰減比的特性，提出了一種新的源數(shù)估計方法，解決了因傳感器數(shù)量不足而無法準確估計源信號數(shù)目的問題。首先，利用線性時頻變換方法得到兩觀測信號在頻域的能量分布，然后，計算能量散點圖中對應角度上的能量總和；最后，通過峰值檢測法實現(xiàn)源數(shù)目的自動檢測。通過理論分析、仿真和實驗，證明了該方法的有效性。本方法為盲源分離算法處理振動、噪聲信號，提供了可靠的先驗信息。

關鍵詞源數(shù)目估計； 不相關源； 相關源； 欠定

引言

盲源分離(blind source separation, 簡稱BSS)技術(shù)僅通過測量信號即可估計出源信號，為提取振動、噪聲信號特征提供了新的思路[1-3]。BSS算法的成功應用需要滿足傳感器數(shù)目(m)大于或者等于源信號數(shù)目(n)的假設。但實際測量中，信號源個數(shù)往往是無法預知的，這一點限制了BSS方法在工程中的應用。當m

傳統(tǒng)源數(shù)目估計有主分量分析和奇異值分解法，通過識別測量信號協(xié)方差矩陣的非零奇異值或者非零特征值來估計不相關源的個數(shù)[4]。文獻[5]結(jié)合奇異值分解和聚類方法解決了不相關源的數(shù)目估計問題。文獻[6]將觀測信號變換到頻域中，利用非負矩陣分解的方法實現(xiàn)源數(shù)目估計。文獻[4-6]所用方法均需要滿足傳感器數(shù)目大于源信號。

多個文獻針對欠定情況下源數(shù)估計問題進行了研究。文獻[7]通過觀測信號間的功率譜比值估計了不相關源的數(shù)目。文獻[8]將觀測信號從時域變換到小波域，利用重構(gòu)的小波系數(shù)信號進行奇異值分解，得到源個數(shù)估計。文獻[9]利用經(jīng)驗模態(tài)分解得到觀測信號的本征模函數(shù)，同時利用奇異值分解得到多個虛擬觀測通道的特征分布，再利用貝葉斯信息準則判斷源信號數(shù)目。文獻[10]針對機械運行過程中的動態(tài)故障源，采用拓展四階累積量矩陣自適應地估計超定、正定及欠定情況下的源數(shù)目。文獻[8-10]通過將觀測信號進行分解，把欠定問題轉(zhuǎn)化為正定問題后，再估計源信號數(shù)目。由于需要用到信號分解方法，增加了計算復雜度，同時易受到干擾噪聲信號的影響。

本研究利用信號源在傳遞過程中到達兩傳感器具有不同能量衰減比的特性，依靠兩通道的測量信號可估計任意數(shù)量的不相關信號源，同時對信號間相關成分不大的相關源可實現(xiàn)正確的數(shù)目估計。

1算法原理

信號源以能量的形式向外傳播，源信號到達傳感器時具有一定的衰減。當機械設備穩(wěn)定運行時，單位時間內(nèi)不同傳感器間所獲得同一源的能量比值是固定的。僅存在單個源時，其能量計算可用公式

(1)

其中：Ei(i=1,2,…,n)為第i個傳感器接收到的信號能量；xi為第i個傳感器接收到的時域信號。

但機械設備運行中存在的源信號有多個，既有平穩(wěn)信號又有非平穩(wěn)信號，同時還混有噪音信號。無法僅利用實際測量信號在時域中的公式計算多個源的能量。

線性時頻變換是一種可以將時域信號展開到時頻域中的方法，較為常用的有短時傅里葉變換、連續(xù)小波變換等。定義觀測信號在時頻域中的頻率能量分布公式為

(2)

其中：Ei(f)為第i個傳感器接收到的信號在頻率上的能量分布;Re(xi(t,f))與Im(xi(t,f))為第i個傳感器信號在時頻變換后的實部與虛部。

如果源信號之間不相關或者僅部分相關(即沒有頻率共存或者僅部分頻率共存)，當存在某一個頻率點fk僅屬于一個源時，E1(fk)/E2(fk)即為此源信號到達兩傳感器之間的能量衰減比。系統(tǒng)穩(wěn)定運行時，對所有屬于同一源的頻率點，兩通道間Ei(f)的比值是固定的。證明如下。

假設有兩個源混入到兩觀測信號

(3)

其中：a11,a21,a12,a22分別為源s1和s2到達傳感器x1和x2的衰減；Δt1,Δt2為源信號之間的延遲。

對式(3)做時頻變換之后的實、虛部分別為

(4)

當某個頻率成分fk僅存在于s1時，則有

(5)

(6)

在頻點fk的兩通道能量比為

(7)

當某個頻率成分fh僅存在于s2時，則有

(8)

式(7)與式(8)表明，當把所有E1(f)與E2(f)的值畫在散點圖上時，若a11/a21≠a12/a22，則會形成兩條方向不同的聚類直線，其角度代表不同的源信號在兩傳感器間的能量衰減比，聚類直線的個數(shù)即為信號源的個數(shù)。以仿真信號為例說明算法過程。

2仿真驗證

構(gòu)造5個仿真信號，S1，S3為非平穩(wěn)調(diào)制信號，模擬旋轉(zhuǎn)機械的故障信號；S2，S4為周期平穩(wěn)信號，模擬設備正常運行信號；S5為振蕩衰減信號，模擬振動沖擊信號，信號長度為1 024。為了說明算法對相關源的估計能力，利用系數(shù)c12與c34來調(diào)整S1,S2間和S3,S4間相關成分的大小。各源信號的時域波形如圖1，設定c12=0，c34=0。源信號具體參數(shù)為

S1=sin(100πt)(1+cos(20πt))

S2=sin(200πt)+c12sin(120πt)

S3=sin(300πt)(1+cos(20πt))

S4=sin(400πt)+c34sin(320πt)

設混合矩陣為

圖1　源信號S1～S5時域波形Fig.1　The sources S1～S5 in time-domain

構(gòu)造觀測信號，同時混入20%的噪聲信號

x1(t)=a11S1(t)+a12S2(t+Δt2)+

a13S3(t)+a14S4(t+Δt4)+a15S5(t)

x2(t)=a21S1(t+Δt1)+a22S2(t)+

a23S3(t+Δt3)+a24S4(t)+a25S5(t+Δt5)其中：Δti代表不同源到達兩傳感器間的延遲。

2.1仿真信號源數(shù)目估計

以不相關源為例，設定c12=0，c34=0。選擇連續(xù)小波變換對信號x1(t)、x2(t)進行時頻變換，選取cmor3-3為小波基函數(shù)，尺度為102 4。根據(jù)式(2)，求得小波變換后兩觀測信號在頻域中的能量分布。在兩通道頻域能量值所形成的散點圖中，所有屬于同一個源的頻點能量值會聚類成不同角度的直線，圖2中共有5條明顯的聚類直線。為了實現(xiàn)自動檢測，將坐標軸從橫軸到縱軸按角度分為90份，計算每個角度上散點值的總和，得到90個能量和值，見圖3。然后利用峰值檢測方法得到每條聚類直線對應的角度和峰值的個數(shù)[11]，如圖中“*”標示，峰值個數(shù)即為源信號數(shù)目。通過設定一定的閥值(設為最大值的0.02)，可以消除幅值較小的噪音峰值影響，以此來實現(xiàn)自動判定源個數(shù)的目的。

圖2　能量散點圖Fig.2　The energy scatter plot

圖3　能量峰值圖Fig.3　The energy peak plot

算法具體流程為：

1) 對兩傳感器信號x1(t)和x2(t)進行連續(xù)小波變換，得到兩組小波變換系數(shù)X1(t,f)和X2(t,f);

2) 根據(jù)式(2)，計算每個頻率下的能量值，即E1(f)與E2(f);

3) 利用E1(f)與E2(f)得到兩通道信號的能量散點圖;

4) 計算每個角度上對應的能量和，將頻域能量值從散點圖變換到峰值圖中;

5) 設置一定的閥值，利用峰值檢測法得到源數(shù)目的估計。

2.2相關成分對源數(shù)估計的影響

本節(jié)討論相關成分大小對源數(shù)目估計的影響。當c12=0.1，c34=0.1；c12=0.2，c34=0.2；c12=0.4，c34=0.4時，所對應的能量峰值圖如圖4所示。從圖中可以看出，當源信號之間的相關成分較小時，可以通過設定一定的閥值，忽略掉相關成分形成的峰值，從而實現(xiàn)源數(shù)的正確估計。隨著相關成分比重的增加，相關成分所形成的虛假峰值會淹沒源信號的峰值，導致出現(xiàn)誤估計。

圖4　c12,c34取三組不同數(shù)值時相關源的能量峰值圖Fig.4　The energy peak plot of correlated source signals corresponding to three different values of c12,c34

2.3衰減比的接近程度對源數(shù)估計的影響

從仿真信號來看，提出的算法可以正確地估計出任意數(shù)量的不相關源數(shù)目，但前提是各源信號之間具有不同的能量衰減比。實際測試中，如果存在兩源信號到達兩傳感器具有相近或者相同的衰減比時，則兩源信號在能量散點圖中形成的聚類直線會較為接近甚至重合，會誤將兩個源信號估計為一個源信號。本節(jié)討論源信號傳遞到兩傳感器衰減比的接近程度對源數(shù)估計的影響。

假設兩源信號在散點圖中所形成聚類直線的方向向量分別為A1，A2，θ為A1，A2的角距離。將坐標軸等分為90份，即從1°到90°，然后計算每個劃分的角度空間所包含能量值的總和，得到90個能量和值，再利用峰值檢測法得到峰值的個數(shù)，即為源信號數(shù)目。A1，A2所形成峰值的個數(shù)與θ的關系如圖5所示。

圖5　A1，A2夾角與峰值個數(shù)的關系Fig.5　Relationship between the angle of A1，A2 and the number of peak

圖5所示的幾種情況中，(a)，(b)會形成1個峰值，(c),(d)會形成2個峰值。所以，當0°≤θ≤1°時，會將兩個源信號誤估計為一個源信號；1°<θ≤2°時，形成峰值的個數(shù)與A1,A2在坐標軸中的相對位置有關，具有一定的隨機性；2°<θ≤90°時，會形成2個峰值，可以正確地估計出源信號數(shù)目，定義(2°,90°]為有效估計區(qū)間。有效估計區(qū)間的最小值為坐標軸單個劃分區(qū)間的2倍。因此，增加坐標軸的劃分份數(shù)，將增大有效估計區(qū)間的范圍，有利于提高源數(shù)估計的精度。同時，實際測試中變換位置多測幾組數(shù)據(jù)，使得不同源信號到達傳感器具有不同的衰減比，一定程度上也會減少誤估計情況的出現(xiàn)。

3實驗驗證

為進一步驗證算法的有效性，將分別對實測的振動、噪聲信號進行源估計。每個實例用4張圖來說明算法過程。前2個為兩測量信號經(jīng)小波變換后的時頻分布圖,第3個為兩通道信號的能量散點圖,第4個為能量峰值圖。

3.1實例1

測量信號來自于某泵水系統(tǒng)中齒輪箱的振動加速度數(shù)據(jù)。已知齒輪箱傳動為兩級傳動，主動輪輪齒齒數(shù)為13，輸入轉(zhuǎn)速為997 r/min，采樣頻率為3 200 Hz。因此，通過計算得出此齒輪箱系統(tǒng)的1階嚙合頻率為13×997/60=216 Hz。

從測量信號1和2的時頻圖(圖6(a)和(b))可以看出，有4個主要頻率成分，其頻率分別約為216，281，432和864 Hz。則216，432和864 Hz頻率成分應為齒輪嚙合的1階頻率及其2階與4階倍頻。281 Hz成分應為齒輪安裝存在的輕微偏心所造成的1階邊頻成分。從能量散點圖(圖6(c))中可以看到，有4條聚類直線。能量峰值圖(圖6(d))中，有4個峰值被檢測出來。

圖6　齒輪箱振動加速度信號Fig.6　Gearbox vibration acceleration signals

3.2實例2

測量信號為聲壓信號，采集于某挖掘機消聲器排氣口附近。此挖掘機采用4缸4沖程內(nèi)燃機，當前轉(zhuǎn)速為2 400 r/min。消聲器排氣噪聲來自于內(nèi)燃機，主要包括氣門開閉時拍擊引起的機械噪聲與燃燒爆發(fā)引起的燃燒噪聲。由內(nèi)燃機相關參數(shù)可計算得出：發(fā)火頻率為(2400×2)/60=80 Hz，氣門開合拍擊的主要頻率為(2 400×4)/30=320 Hz。

數(shù)據(jù)采樣頻率為5 120 Hz，由于其主要頻率成分集中在0～500 Hz之間，為了更清晰地展示測量信號的時頻特征，截取信號這一部分的時頻分布圖。從觀測信號1和2的時頻圖(圖7(a)和(b))可以看到，有3個主要頻率成分，分別約為80，160 Hz和230～370 Hz的寬頻成分。80與160 Hz成分應為發(fā)火頻率的1階頻率與2階頻率。230～370 Hz的寬頻成分應為氣門開合拍擊噪聲在消聲器中產(chǎn)生的氣流再生噪聲，故其頻率呈現(xiàn)寬頻特性。從散點圖(圖7(c))可以看到，有3條聚類直線。在峰值圖中(圖7(d))，有3個明顯的峰值被估計出來。

圖7　聲壓信號Fig.7　Sound pressure signals

3.3實例3

數(shù)據(jù)采集于某懸臂梁錘擊實驗的兩個測點通道，從兩通道信號的時頻分布圖(圖8(a)和(b))中可以看出主要有3階模態(tài)被激發(fā)出來，其頻率分別約為100,200和600 Hz。如果每一階模態(tài)響應可當作一個源信號，則兩通道信號中存在有3個源。從能量散點圖(圖8(c))中可以看出，有3條明顯的聚類直線。能量峰值圖(圖8(d))中有3個峰值被檢測出來。

圖8　模態(tài)信號Fig.8　Modal signals

4結(jié)束語

本研究利用源信號傳遞到兩個傳感器具有不同的能量衰減比來估計信號源數(shù)目，解決了因傳感器數(shù)量不足而無法準確估計源信號數(shù)目的問題。僅利用兩傳感器信號可估計出任意數(shù)量的信號源，但同時也存在局限性：a.針對相關源信號的數(shù)目估計，當信號間相關成分較小時，可通過設置一定的閥值濾除虛假峰值的影響；當相關成分較大時，形成的虛假峰值會淹沒真實源信號的峰值，易造成誤估計。b.當兩個源信號到達兩傳感器具有相近或者相同的衰減比時，所提算法會將兩個源信號誤估計為一個源信號。針對后者局限性，可以通過增加坐標軸的劃分份數(shù)來提高源數(shù)估計精度；同時，通過調(diào)整測試位置，使得不同源信號到達傳感器具有不同的衰減比，以減少誤估計情況的出現(xiàn)。

實驗階段，通過機械工程領域中3種常用實測信號進行驗證，結(jié)果表明，該方法能夠準確估計出源數(shù)目，可以為盲源分離方法提供可靠的先驗信息，同樣也適用于其他工程實踐應用對信號源個的數(shù)估計。

參考文獻

[1]李舜酩. 轉(zhuǎn)子振動故障信號的盲分離[J]. 航空動力學報, 2006, 20(5): 751-756.

Li Shunming. Blind source separation of rotor vibration faults[J]. Journal of Aerospace Power, 2006, 20(5): 751-756. (in Chinese)

[2]艾延廷, 費成巍, 張鳳玲, 等. ICA在航空發(fā)動機振動信號盲源分離中的應用[J]. 振動、測試與診斷, 2010, 30(6): 671-674.

Ai Yanting, Fei Chengwei, Zhang Fengling, et al. Blind source separation for aero-engines vibration signal by independent component analysis[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2010, 30(6): 671-674. (in Chinese)

[3]Kerschen G, Poncelet F, Golinval J C. Physical interpretation of independent component analysis in structural dynamics[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2007, 21(4): 1561-1575.

[4]Kompella M S, Davies P, Bernhard R J, et al. A technique to determine the number of incoherent sources contributing to the response of a system[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1994, 8(4): 363-380.

[5]焦衛(wèi)東, 楊世錫, 吳昭同. 基于源數(shù)估計的旋轉(zhuǎn)機械源盲分離[J]. 中國機械工程, 2003, 14(14): 1184-1187.

Jiao Weidong, Yang Shixi, Wu Zhaoton. A method of blind source separation for rotating machinery based on estimation of the number of sources[J]. China Mechanical Engineering, 2003, 14(14): 1184-1187. (in Chinese)

[6]李寧, 史鐵林. 基于非負矩陣分解的盲信號源數(shù)估計[J]. 中國機械工程, 2007, 18(22): 2734-2737.

Li Ning, Shi Tielin. Estimation of the number of blind sources based on non-negative matrix factorization[J]. China Mechanical Engineering, 2007, 18(22): 2734-2737. (in Chinese)

[7]李寧, 史鐵林. 一種新的盲信號源數(shù)估計方法研究[J]. 中國機械工程, 2007, 18(19): 2298-2302.

Li Ning, Shi Tielin. A new method for estimating the number of blind sources[J]. China Mechanical Engineering, 2007, 18(19): 2298-2302. (in Chinese)

[8]毋文峰, 陳小虎, 蘇勛家, 等. 機械振動源數(shù)估計的小波方法[J]. 機械科學與技術(shù), 2011, 30(10): 1679-1682.

Wu Wenfeng, Chen Xiaohu, Su Xunjia, et al. Wavelet decomposition algorithm for source number estimation of mechanical vibration[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering. 2011, 30(10): 1679-1682. (in Chinese)

[9]葉紅仙, 楊世錫, 楊將新. 基于EMD-SVD-BIC的機械振動源數(shù)估計方法[J]. 振動、測試與診斷, 2010, 30(3): 330-334.

Ye Hongxian, Yang Shixi, Yang Jianxin. Mechanical vibration source number estimation based on EMD-SVD-BIC[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2010, 30(3): 330-334. (in Chinese)

[10]陽小燕, 唐一科, 周雄. 動態(tài)故障源數(shù)估計的自適應盲源分離方法[J]. 振動、測試與診斷, 2013，33 (2): 290-293.

Yang Xiaoyan, Tan Yike, Zhou Xiong. Method of adaptive blind source separation based on dynamic fault source number estimation[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2013，33 (2): 290-293. (in Chinese)

[11]Billauer E. peakdet: Peak detection using MATLAB.[EB/OL].(2008-08-01)[2012-07-20]. http://www.billauer.co.il/peakdet.html.

E-mail:yugang2010@163.com

doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.02.016

收稿日期：2014-06-12；修回日期：2014-08-27

中圖分類號TH17

第一作者簡介：于剛，男，1987年12月生，博士生。主要研究方向為信號處理。曾發(fā)表《General linear chirplet transform》(《Mechanical Systems and Signal Processing》2016，Vol.70,No.1)等論文。

*國家科技支撐計劃資助項目(2015BAF07B04)