邱飛力，　張立民，　張衛(wèi)華

(西南交通大學牽引動力國家重點實驗室　成都，610031)

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改進的特征值靈敏度在結(jié)構(gòu)損傷識別中的應(yīng)用*

邱飛力，張立民，張衛(wèi)華

(西南交通大學牽引動力國家重點實驗室成都，610031)

摘要傳統(tǒng)的特征值靈敏度分析中忽略了振型變化的影響，導致特征值靈敏度難以準確地識別出結(jié)構(gòu)損傷。為提高特征值靈敏度的準確性，利用未損傷結(jié)構(gòu)的振型線性表示損傷情況下結(jié)構(gòu)振型的變化，進而改進了特征值靈敏度的理論分析方法。在不同的損傷工況下，計算數(shù)值模型改進前后的特征值靈敏度，驗證表明改進后的特征值靈敏度具有更高的精度。以孔洞直徑和位置均未知的實際結(jié)構(gòu)為研究對象，利用改進后靈敏度方法準確識別了結(jié)構(gòu)損傷的位置和程度，與結(jié)構(gòu)的孔洞直徑和位置實測值相吻合，表明了改進后靈敏度方法具有準確實用性，從而彌補了傳統(tǒng)特征值靈敏度法在結(jié)構(gòu)損傷識別中的缺陷。

關(guān)鍵詞改進的靈敏度; 特征值靈敏度； 損傷識別； 振型改變

引言

在建筑、機械等結(jié)構(gòu)中往往存在損傷，損傷將影響結(jié)構(gòu)的正常工作甚至導致完全失效[1]。目前在結(jié)構(gòu)損傷識別方面已有大量的研究和應(yīng)用[2]，多依據(jù)結(jié)構(gòu)的模態(tài)測試結(jié)果，其目標量可分為以下三類：振動時域數(shù)據(jù)、頻域數(shù)據(jù)和模態(tài)參數(shù)[3]。由于模態(tài)頻率測試簡單，因此基于模態(tài)頻率的損傷方法應(yīng)用較為廣泛[4]。然而，結(jié)構(gòu)損傷引起模態(tài)頻率的變化細微，測試誤差、環(huán)境因素變化均會導致模態(tài)頻率變化。當測試及環(huán)境因素引起的誤差大于等于結(jié)構(gòu)損傷引起的模態(tài)頻率變化時，其損傷信息將被誤差所掩蓋而無法識別[5]。

為改善模態(tài)頻率的不足，引入模態(tài)振型變化量。對于結(jié)構(gòu)的局部損傷，模態(tài)振型的變化較模態(tài)頻率更為靈敏[6]。但結(jié)構(gòu)損傷對低階模態(tài)振型不靈敏[7]，且測點數(shù)目限制了模態(tài)振型測試的準確性[8]。結(jié)構(gòu)的模態(tài)特征值與模態(tài)頻率一樣測試簡單，卻對結(jié)構(gòu)損傷更為靈敏，研究表明結(jié)構(gòu)特征值是一種比較好的動力目標[9]?；趨?shù)靈敏度矩陣的損傷識別方法，通過線性方程組表征模態(tài)特征值的改變，卻忽略了振型形態(tài)的變化[10]，導致靈敏度分析存在誤差，進而影響結(jié)構(gòu)損傷識別的準確性[4]。Lee等[11]對結(jié)構(gòu)模態(tài)振型改變量測試方法進行了研究。Bicanic等[12]提出應(yīng)用結(jié)構(gòu)的振型向量表示其變化量，利用損傷結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率、剛度矩陣擾動和模態(tài)振型自身的改變量來表達模態(tài)振型的靈敏度參與因子，但該方法方程包含的未知數(shù)過多。

為此，筆者提出一種更簡潔的方法，將損傷結(jié)構(gòu)振型變化表示為未損傷結(jié)構(gòu)振型的線性組合，使得靈敏度矩陣中包含模態(tài)振型的改變，且無需知曉損傷結(jié)構(gòu)的振型，不增加測試工作量，其未知數(shù)僅為結(jié)構(gòu)的剛度參數(shù)，數(shù)目較少。

1靈敏度方法

1.1特征值改變量對比

未損傷結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率為fi，系統(tǒng)的特征值為λi，則有

(1)

結(jié)構(gòu)損傷引起的頻率改變率為bi<0，損傷后模態(tài)頻率為

(2)

將式(2)代入式(1)可得

(3)

系統(tǒng)的特征值相對改變量，如式(4)所示

(4)

1.2傳統(tǒng)特征值靈敏度

系統(tǒng)的模態(tài)特征方程可以表示為

(5)

其中：Kn×n和Mn×n分別為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，n為結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)；λi為系統(tǒng)的第i個特征值；φi為系統(tǒng)的第i階模態(tài)振型。

結(jié)構(gòu)損傷對結(jié)構(gòu)剛度矩陣的改變量用ΔK表示，并假設(shè)損傷不影響結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣。結(jié)構(gòu)的特征值和特征向量改變量分別表示為Δλi和Δφi，其特征方程為

(6)

(7)

忽略結(jié)構(gòu)損傷對模態(tài)振型向量的影響，即令式(8)成立

(8)

則式(7)可以改寫為如下形式[13-14]

(9)

舍棄的方程(8)部分，將影響靈敏度矩陣的精度，進而導致結(jié)構(gòu)損傷識別不準確。

1.3改進的特征值靈敏度

為解決靈敏度方法的不足，獲取更準確的特征值靈敏度，引入模態(tài)振型變化。對特征方程(5)兩邊同時求導并移項得

(10)

其中：dφi為i階模態(tài)振型的改變。

依據(jù)結(jié)構(gòu)模態(tài)振型的正交性，模態(tài)振型的改變可以用結(jié)構(gòu)振型向量的線性組合表示如下

(11)

其中：aij表示第j階模態(tài)對第i階模態(tài)振型改變的貢獻率。

(12)

其中：dK和dM分別為結(jié)構(gòu)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的改變。

(13)

將方程(11)代入方程(13)，化簡可得

(14)

假設(shè)結(jié)構(gòu)損傷對質(zhì)量的改變可忽略，損傷引起各階振型的改變量為

(15)

式(15)中

(16)

aii=0表明第i階振型對第i階振型的變化量參與因子為零。式(7)特征值的改變量可以表示為

改進后的特征值靈敏度計算式如(19)所示

(19)

1.4優(yōu)化求解

根據(jù)結(jié)構(gòu)損傷前后的特征值殘差和特征值靈敏度矩陣S建立目標函數(shù)，如式(20)所示

(20)

目標函數(shù)(20)可以通過信賴域方法求解，設(shè)pk為第k次迭代點，J=J(pk)，gk=▽J(pk)。Bk是Hessen矩陣▽2J(pk)的第k次近似，則第k次迭代步的信賴域子問題表達式[15]為

(21)

2特征值靈敏度

2.1靈敏度精度

為研究改進后的特征靈敏度精度，建立兩端約束的矩形截面梁。彈性模量為206 GPa，密度為7 800 kg/m3。單元尺寸為0.03 m，截面積為2.2×10-4m2，截面高為46 mm，慣性矩為3.8×10-8m4，有限元模型見圖1。

圖1　數(shù)值有限元模型Fig.1　The numerical FEA model

采用降低模量的方式模擬單元剛度的損傷，數(shù)值計算工況如表1所示。

表1　各工況單元模量損傷百分比

為量化改進后的特征靈敏度精度，引入特征值相對誤差，如式(22)所示

(22)

繪制結(jié)構(gòu)前7階特征值靈敏度誤差，如圖2所示。

帶*標記和小圓圈o標記的曲線分別為傳統(tǒng)特征值靈敏度和改進后的特征值靈敏度誤差圖2　各工況下特征值靈敏度誤差曲線Fig.2　The sensitive error curves of eigen values

結(jié)合表1和圖2，改進后的特征靈敏度方法比傳統(tǒng)的特征靈敏度方法更為準確。對比工況1～3，增大剛度損傷程度和增加新的損傷位置，都將增加傳統(tǒng)特征靈敏度方法的誤差。從工況4可知，結(jié)構(gòu)的剛度損傷程度嚴重(60%或80%)時，傳統(tǒng)靈敏度方法計算的部分階特征值誤差極大(近50%)。

2.2特征值改變量

某矩形長鐵片兩端約束，其結(jié)構(gòu)上存在3個直徑和位置均未知的孔洞，其幾何形狀如圖3所示。

圖3結(jié)構(gòu)幾何形狀圖
Fig.3The geometry of the structure

結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)值如表2。

表2　結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)表

Tab.2　The geometric parameters of the structure　　m

參數(shù)長度x寬度y厚度z數(shù)值0.9300.0480.004

為消除傳感器對結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量的影響，在結(jié)構(gòu)中部布置1個加速度傳感器，利用沖擊力錘進行模態(tài)測試，0～500 Hz內(nèi)的垂向頻響函數(shù)如圖4所示。

圖4　結(jié)構(gòu)綜合頻響函數(shù)Fig.4　The multi frequency function of structure

采用31個大小相等的shell63單元建立有限元模型，有限元模型單元劃分如圖5所示。

圖5有限元網(wǎng)格模型
Fig.5The finite element mesh model

在ANASYS中對模型結(jié)構(gòu)施加兩端固定約束，對0～500 Hz內(nèi)仿真和測試的頻率如表3所示。

由表3可知，結(jié)構(gòu)的特征值對結(jié)構(gòu)的局部損傷比模態(tài)頻率更為靈敏。

表3　模態(tài)參數(shù)對比表

Tab.3　The comparison of modal parameters

階數(shù)測試值/Hz仿真值/Hzf改變量/%λ改變量/%126.9027.994.068.28275.2877.693.196.493146.06152.274.258.684247.12253.542.605.265368.40379.112.915.90

f，λ分別表示模態(tài)頻率和模態(tài)特征值

2.3特征值靈敏度

以各單元的等效模量損失表示結(jié)構(gòu)的損傷。結(jié)合式(19)，對單元模量參數(shù)Ei進行特征值靈敏度分析。各Ei對前5階特征值的靈敏度如圖6所示。

圖6　各單元模量的特征值靈敏度Fig.6　The eigen value sensitivities of elements modulus

由圖6知，單元模量對各階特征值的靈敏度成起伏趨勢，而1～5階特征值分別對應(yīng)著結(jié)構(gòu)的前五階垂向彎曲振型。這表明振型變形最大位置對應(yīng)的單元模量對該階模態(tài)特征值靈敏度最高。

3損傷識別

利用信賴域方法求解式(20)，目標函數(shù)收斂過程如圖7所示。從圖7可知，目標函數(shù)經(jīng)過10次迭代趨于穩(wěn)定收斂，識別的各單元模量損傷量用百分比表示如圖8所示。

圖7　目標迭代收斂圖Fig.7　The converge of objective iterations

圖8　單元等效模量相對損失量Fig.8　The relative damage of element equal modulus

從圖8可知，改進靈敏度方法識別的結(jié)構(gòu)損傷位置位于第7和8個單元，15和16單元，24和25單元處。從表2和圖5可計算出損傷位置位于x=21.0 cm，x=45.0 cm，x=72.0 cm附近。

為驗證改進后靈敏度損傷識別位置的精度，對該結(jié)構(gòu)孔洞位置進行測量，如圖9所示。

圖9　結(jié)構(gòu)孔洞測量照片F(xiàn)ig.9　The measured of structure holes

從圖9可知，結(jié)構(gòu)實際損傷位置與改進靈敏度方法識別的損傷位置相吻合。

利用游標卡尺測量孔洞內(nèi)徑Φ，其結(jié)果見表4。

表4　孔洞內(nèi)徑測量結(jié)果

Tab.4　The measured results of inner diameters

x坐標位置/m內(nèi)徑/mm0.219.300.4512.200.728.84

帶有孔洞結(jié)構(gòu)等效模量的實際損傷量[17]可以用式(23)進行計算

(23)

其中：c1為孔洞的體積比率；a=(1+γ)/3(1-γ)，γ為泊松比。

損傷識別值和真實值對比如圖10所示。分析圖10，傳統(tǒng)靈敏度方法結(jié)構(gòu)損傷程度識別的誤差較大，且損傷程度越嚴重其準確性越低。改進的靈敏度方法與實際值比較誤差不大于2%，解決了傳統(tǒng)靈敏度方法的缺陷。

圖10　損傷識別值與實際損傷值對比圖Fig.10　The comporison of the exact and identified values圖中灰色、白色和黑色柱形填充分別為傳統(tǒng)方法、改進后方法的損傷識別量和結(jié)構(gòu)真實損傷量。

4結(jié)論

1) 在結(jié)構(gòu)損傷相同時，從理論上驗證了模態(tài)特征值比模態(tài)頻率對損傷更靈敏，更適合作為損傷識別的目標量。

2) 利用未損傷結(jié)構(gòu)的振型表示損傷前后振型的變化，推導了改進的特征值靈敏度計算方法。通過數(shù)值算例驗證表明：在不同的損傷工況下，改進的靈敏度方法均比傳統(tǒng)靈敏度方法的精度高。

3) 應(yīng)用改進的靈敏度方法對實際結(jié)構(gòu)進行損傷識別，識別的損傷位置與實際位置相吻合；識別的損傷程度與實際值之差不大于2%，其準確性遠高于傳統(tǒng)靈敏度方法識別結(jié)果，進而解決了傳統(tǒng)靈敏度方法損傷識別不準確的缺陷。改進后的方法經(jīng)過10次迭代收斂，具有實用高效性。

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E-mail: qfl_43@163.com

doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.02.009

收稿日期：2015-01-09；修回日期：2015-03-16

中圖分類號TH113.1

第一作者簡介：邱飛力，男，1987年2月生，博士生。主要研究方向為有限元模型修正。曾發(fā)表《基于響應(yīng)面方法的支架結(jié)構(gòu)模型修正研究》(《噪聲與振動控制》2014年第34卷第3期)等論文。

*國家自然科學基金資助項目(U1234208)