靳紅玲，　陳建軍，　曹鴻鈞，　徐亞蘭

(1.西北農林科技大學機電工程學院　楊凌， 712100) (2.西安電子科技大學電子裝備結構設計教育部重點實驗室　西安， 710071)

?

泛灰數學的不確定鏈式結構系統(tǒng)固有頻率分析*

靳紅玲1,2，陳建軍2，曹鴻鈞2，徐亞蘭2

(1.西北農林科技大學機電工程學院楊凌， 712100) (2.西安電子科技大學電子裝備結構設計教育部重點實驗室西安， 710071)

摘要針對不確定因素對系統(tǒng)動力特性的影響，在應用泛灰數學的基礎上，對不確定鏈式結構系統(tǒng)固有頻率的求解方法進行了研究。首先，通過對泛灰數四則運算結果的分析，指出了利用泛灰數進行區(qū)間分析存在的缺陷，提出了一種改進的泛灰數除法運算規(guī)則，進而將鏈式結構系統(tǒng)中的不確定性參數用泛灰數表示；其次，基于矩陣傳遞法，導出了系統(tǒng)固有頻率的非線性泛灰方程，并針對該方程的求解，在運用泛灰數運算規(guī)則的基礎上，提出了一種區(qū)間搜索進退算法；最后，通過算例說明了筆者算法的可行性和求解方法的有效性。

關鍵詞鏈式結構； 傳遞矩陣法； 泛灰數學； 不確定性； 固有頻率

引言

結構固有頻率的計算在工程結構的動態(tài)分析和設計中具有重要的作用。但在實際中，由于幾何參數、物理參數等可能存在的不確定性，使得在結構動力特性分析時有必要考慮這些不確定性因素對固有頻率的影響?；疑到y(tǒng)理論[1]是繼隨機理論、模糊理論和區(qū)間數學[2-4]之后解決不確定性問題的又一類方法，它可以處理多種不確定性，尤其適用于解決概率統(tǒng)計、模糊數學難以解決的“小樣本”、“貧信息”不確定問題，而在決策學、預測學等領域也有廣泛的前景[5-6]。在灰色系統(tǒng)理論基礎上，有學者提出了泛灰集合和泛灰數學分析基礎[7]，為灰色信息的定量描述提供了新途徑。泛灰數學由于其有關運算能夠展開，為此利用泛灰數學方法處理不確定性問題，具有較好的實用性[8-10]。

工程中許多結構和傳動機械裝置，如連續(xù)梁結構、多層框架結構、船舶推進軸等均可簡化為鏈式結構系統(tǒng)。對于該類結構系統(tǒng)，迄今所見到的大多數結構動力分析建模均屬于確定性模型[11]。此類模型無法反映系統(tǒng)結構中的不確定因素對其動力特性的影響，在許多情況下，必須考慮系統(tǒng)中結構參數本身的不確定性。目前，針對結構參數具有不確定性的鏈式結構系統(tǒng)動力特性的研究較少[12-13]。

現以含有區(qū)間參數的鏈式結構系統(tǒng)為對象，筆者結合泛灰數學方法和傳遞矩陣法，研究了該系統(tǒng)的質量和剛度同時具有區(qū)間不確定性時系統(tǒng)固有頻率的求解方法。

1泛灰數學基礎及其區(qū)間分析

1.1泛灰數學基礎

泛灰數的四則運算規(guī)則[7]如下

(1)

(2)

(4)

(5)

為泛灰數g1,g2之間的距離，簡稱為泛灰模，它有如下性質：a.d(g1,g2)≥0；b.d(g1,g2)=0?g1=g2；c.d(g1,g2)=d(g2,g1)。

1.2泛灰數學的區(qū)間分析功能

1) 當a>0，有

(6)

2) 當ab<0，且max{|a|,|b|}=b，有

(7)

3) 當ab<0，且max{|a|,|b|}=|a|，有

(8)

4) 當b<0，有

(9)

利用區(qū)間數計算函數值域，計算結果與函數的表達式有關[10]；而利用泛灰數計算函數值域與函數的表達式無關，且用泛灰數計算得到的解區(qū)間包含于區(qū)間數計算得到的解區(qū)間。筆者通過分析式(4)發(fā)現：在該泛灰數除法運算規(guī)則中，商的上界和下界分別是由參與運算的泛灰數的上界和上界、下界和下界計算得到，而上界和下界之間沒有運算關系，其結果將可能使函數值域被縮小。為此針對式(4)提出如下改進的泛灰數除法運算規(guī)則：若g2≠0，且g1，g2相互獨立，則

(10)

由以上分析可知，泛灰數具有區(qū)間分析功能，利用改進的泛灰運算規(guī)則計算得到的函數解區(qū)間可以更好地接近真實解。由于區(qū)間擴展與因變量的運算順序有關，所以求解時需先將函數中區(qū)間數全部轉換為泛灰數，再用以上改進的泛灰函數運算規(guī)則求解。

2鏈式結構系統(tǒng)的動力特性分析

圖1 軸盤扭轉振動模型Fig.1　Torsional vibration model of shaft-disc system

(11)

其中：θ，M分別為盤與軸的轉角和扭矩，向量上標符號L,R分別表示盤與軸的左面和右面；Ci稱為第i個子傳遞矩陣，C為整個軸系的總傳遞矩陣。

Ci和C的各元素一般為系統(tǒng)固有頻率p的函數，可分別表示為

(12)

(13)

(14)

其中：f(δ,p)為系統(tǒng)固有頻率函數；δi(i=1,2,…,m)為系統(tǒng)中的結構參數，即指諸Ji和ki等。

3系統(tǒng)固有頻率非線性泛灰方程的求解

f([δ],p)=f([δ1],[δ2],…,[δm],p)=0

(15)

(16)

運用泛灰數的四則運算規(guī)則對式(16)整理后得

(17)

根據泛灰數與區(qū)間數的轉換規(guī)則，式(17)再變換為關于p的非線性區(qū)間方程

(18)

(19)

這種利用區(qū)間搜索的進退算法，求解不確定鏈式結構固有頻率解區(qū)間的主要步驟如下。

1) 建立所研究鏈式系統(tǒng)的子傳遞矩陣Ci，根據公式C=CnCn-1…C1得到總傳遞矩陣C。

2) 由邊界條件表出狀態(tài)向量Zn，Z1，再由Zn=CZ1傳遞公式得到非線性方程f(δ,p)=0。

4算例

算例1單鏈式三軸段圓盤扭振系統(tǒng)[13]：左端固定，右端自由。各圓盤的轉動慣量Ji=J(i=1,2,3)相同，各軸段的扭轉剛度ki=k(i=1,2,3)相同，其中各Ji存在±3%的誤差，各ki存在±5%的誤差。求系統(tǒng)的各階固有頻率，各階傳遞矩陣為

結構參數ki,Ji(i=1,2,3)相互獨立，上式中每一除式中分子、分母均相互獨立，所以可應用改進的泛灰數四則運算規(guī)則。置允許誤差ε=10-4，分別用泛灰運算和改進的泛灰運算，得到系統(tǒng)各階固有頻率值域與區(qū)間逐步離散法[13]的結果見表1。

表1　鏈式結構的固有頻率區(qū)間

由表1可見，泛灰解區(qū)間是文獻[13]的解區(qū)間的子集，而改進的泛灰解區(qū)間與文獻[13]相同。區(qū)間逐步離散法對于問題中的區(qū)間變量變化較小時，其計算結果能逼近真實的解區(qū)間[13]。由于利用改進的泛灰數運算方法，故改進的泛灰解比原泛灰解更逼近于原方程的準確解。

算例2求圖2所示5自由度框架結構的各階固有頻率的解區(qū)間[14]。其剛度參數區(qū)間[k1]=[2,2.02]kN/m，[k2]=[1.8,1.85]kN/m，[k3]=[1.6,1.63]kN/m，[k4]=[1.4,1.42]kN/m，[k5]=[1.2,1.21]kN/m；質量參數區(qū)間[m1]=[29,31]kg，[m2]=[26,28]kg，[m3]=[26,28]kg，[m4]=[24,26]kg，[m5]=[17,19]kg。

圖2　多層框架結構Fig.2　Multiple storied frame structure

該鏈式結構其各階傳遞矩陣為

表2　框架結構的固有頻率區(qū)間

由表2可見，矩陣攝動法得到的解區(qū)間與本問題的精確解即全局優(yōu)化解沒有明顯的包含與被包含的關系；泛灰解區(qū)間是全局優(yōu)化解區(qū)間的子集；而筆者改進的泛灰解區(qū)間則與全局優(yōu)化解相同，再次彰顯了改進的泛灰解的正確性。

從計算過程分析，采用區(qū)間逐步離散算法，針對某階固有頻率的計算時間與系統(tǒng)中自由度個數和獨立參數個數有關，且計算時間隨著系統(tǒng)中獨立參數個數的增長呈冪次方增長[13]，在獨立參數較多時，計算效率低；而筆者算法與系統(tǒng)中自由度個數和獨立參數個數無關，計算時間較短。

5結束語

筆者提出了改進的泛灰數除法運算規(guī)則，并編寫了泛灰四則運算的Matlab程序，通過數學算例表明了該運算規(guī)則的合理性。文中提供了不確定鏈式結構固有頻率計算的新方法。算例結果與其他文獻結果對比表明：原泛灰數運算規(guī)則下的固有頻率的解區(qū)間包含于系統(tǒng)的準確解，而改進泛灰數運算規(guī)則下的解區(qū)間則為原問題的精確解，進一步驗證了改進泛灰數運算規(guī)則的合理性和正確性。進行不確定性鏈式結構各階固有頻率分析時，基于泛灰理論的區(qū)間搜索進退算法沒有引入更多假設，求解過程與系統(tǒng)中自由度個數和獨立參數個數無關，適用面較廣，計算效率較高。

參考文獻

[1]Deng J. The control problem of grey systems [J]. Systems & Control Letter, 1982, 1(5): 288-294.

[2]Elishakoff I. Three versions of the finite element method based on concepts of either stochasticity, fuzziness or anti-optimization [J]. Applied Mechanics Review, 1998, 51(3): 209-218.

[3]Muhanna R L, Mullen R L. Uncertainty in mechanics problems-interval-based approach [J]. Journal of Engineering Mechanics, 2001, 127: 556-557.

[4]祁力群. 區(qū)間分析[J]. 運籌學雜志, 1982, 1(1): 151-156.

Qi Liqun. Interval analysis [J]. Chinese Journal of Operation Research, 1982, 1(1):151-156. (in Chinese)

[5]牟峰, 袁曉輝, 王慈光, 等. 基于灰預測和正態(tài)云的參數自適應蟻群遺傳算法[J]. 控制理論與應用, 2010, 27(6): 701-706.

Mu Feng, Yuan Xiaohui, Wang Ciguang, et al. Ant-colony-genetic algorithm with adaptive parameters based on grey prediction and normal cloud [J]. Control Theory & Applications, 2010, 27(6): 701-706. (in Chinese)

[6]秦海勤, 徐可君, 隋育松, 等. 基于系統(tǒng)信息融合的滾動軸承故障模式識別[J]. 振動、測試與診斷, 2011, 31(3): 372-376.

Qin Haiqin, Xu Kejun, Sui Yusong, et.al. Rolling bearing fault pattern recognition based on fusing random, gray and fuzzy information [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2011, 31(3): 372-376. (in Chinese)

[7]王清印. 灰色數學基礎[M]. 武漢: 華中理工大學出版社, 1996:91-157.

[8]Luo Youxin, Huang Hongzhong, Fan Xianfeng. The universal grey transfer matrix method and its application in calculating the natural frequencies of systems [J]. Strojniski Vestnik-Journal of Mechanical Engineering, 2006, 52(9): 592-598.

[9]吳曉, 羅佑新, 文會軍, 等. 非確定結構系統(tǒng)區(qū)間分析的泛灰求解方法[J]. 計算力學學報, 2003, 20(3): 329-333.

Wu Xiao, Luo Youxin, Wen Huijun, et al. Interval analysis method of uncertain structural systems using universal grey number[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2003, 20(3): 329-333. (in Chinese)

[10]靳紅玲, 陳建軍, 馬洪波, 等. 計算廣義Rayleigh商的泛灰數學方法[J]. 振動、測試與診斷, 2013, 33(3): 416-420.

Jin Hongling, Chen Jianjun, Ma Hongbo, et al. A method for the calculation of Rayleigh quotient with universal grey mathematics [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2013, 33(3): 416-420. (in Chinese)

[11]王艾倫, 駱舟. 基于鍵合圖的傳遞矩陣法及其在鏈式系統(tǒng)建模中的應用[J]. 機械科學與技術, 2009, 28(4): 426-430.

Wang Ailun, Luo Zhou. A transfer matrix method based on bond graph and its application to the modeling of chain structured systems [J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2009, 28(4): 426-430. (in Chinese)

[12]董滿才, 芮筱亭, 王國平. 隨機參數多體系統(tǒng)特征值隨機特性分析方法研究[J]. 南京理工大學學報, 2006, 30(4): 458-461.

Dong Mancai, Rui Xiaoting, Wang Guoping. Analysis methods of random eigenvalue of multibody system with random parameters [J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology, 2006, 30(4): 458-461. (in Chinese)

[13]張建國, 陳建軍, 黃居鋒. 基于傳遞矩陣法的不確定鏈式結構固有頻率區(qū)間分析[J]. 振動與沖擊, 2007, 26(1): 100-103.

Zhang Jianguo, Chen Jianjun, Huang Jvfeng. Interval analysis for natural frequencies of an uncertain structure based on transfer matrix method [J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(1): 100-103. (in Chinese)

[14]陳塑寰, 邱志平, 宋大同, 等. 區(qū)間矩陣標準特征值問題的一種解法[J]. 吉林大學學報, 1993, 23(3): 1-8.

Chen Suhuan, Qiu Zhiping, Song Datong, et al. A method for solving eigenvalue problem of the interval matrix [J]. Journal of Jilin University of Technology, 1993, 23(3): 1-8. (in Chinese)

[15]王登剛. 計算具有區(qū)間參數結構的固有頻率的優(yōu)化方法[J]. 力學學報, 2004, 36(3): 364-372.

Wang Denggang. Global optimization method for computing frequencies of structures with interval uncertain parameters [J]. Acta Mechanica Sinica, 2004, 36(3): 364-372. (in Chinese)

E-mail：375996348@qq.com

doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.02.007

收稿日期：2014-03-25；修回日期：2014-04-23

中圖分類號O242.29； TB122； TH113.1

第一作者簡介：靳紅玲，女，1975年9月生，博士、講師。主要研究方向為不確定結構分析與可靠性工程。曾發(fā)表《計算廣義Rayleigh商的泛灰數學方法》(《振動、測試與診斷》2013年第33卷第3期)等論文。

*中國博士后科學基金面上資助項目(2015M582709)；中央高校基本科研資金資助項目(2452015058)