◇　貴州　韋崇裕

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關(guān)于函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的幾“點(diǎn)”思考

◇貴州韋崇裕

函數(shù)的單調(diào)性是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).但教材中僅僅涉及它的定義,然后以幾個(gè)例題說明,因此學(xué)生往往在處理相關(guān)問題時(shí)顯得力不從心,從而影響到后面的學(xué)習(xí)內(nèi)容.在此筆者總結(jié)了如下單調(diào)性學(xué)習(xí)的“5步曲”.

1　先學(xué)后教,探求基點(diǎn)

在教師的引導(dǎo)下組織學(xué)生自主學(xué)習(xí),熟悉函數(shù)單調(diào)性的定義,要求學(xué)生不僅會(huì)用文字語言來描述,而且能較熟練地用符號(hào)語言進(jìn)行表達(dá).

2　緊扣定義,突出要點(diǎn)

在利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明時(shí),x1、x2的任意性是極其重要的，但學(xué)生往往忽略了“任意”這個(gè);單調(diào)性的定義體現(xiàn)了自變量x1、x2與函數(shù)值f(x1)、f(x2)的密切聯(lián)系.可以用一句話總結(jié):“同”增“反”減.

3　拓展延伸,突破難點(diǎn)

1) 對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)],若t=g(x)在區(qū)間(a,b)單調(diào),且y=f(t)在區(qū)間(g(a),g(b))(或(g(b),g(a)))上單調(diào), 則函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)的單調(diào)性可以用一句話來總結(jié):知“二”求“三”,“同”增“異”減.

2) 容易證明:若f(x)、g(x)均為定義在同一區(qū)間上的2個(gè)函數(shù)f(x)、g(x)的單調(diào)性一致時(shí),那么f(x)+g(x)的單調(diào)性可隨之確定.

g(x)=1/x是遞減的,y=x-1/x=f(x)-g(x)是遞增的;同樣可推斷y=x-1/x在x∈(0,+∞)上是遞增的.

4　重審定義,解惑疑點(diǎn)

1) 函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)與在區(qū)間上單調(diào)是一樣嗎?

2) 函數(shù)單調(diào)性的證明用圖形來證明嚴(yán)密嗎?

圖1

一般來說函數(shù)單調(diào)性是按照定義嚴(yán)格證明的，即按:取值→作差→變形→定號(hào)→下結(jié)論來進(jìn)行的.圖形證明,顯然不具有說服力.但是可以用圖象來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

5　溫故知新,剖析考點(diǎn)

1) 求函數(shù)值域(或最值),另辟蹊徑.

雖然函數(shù)值域(或最值)的求法很多,但是有時(shí)用函數(shù)的單調(diào)性來處理卻不失為最實(shí)用的方法.

2) 求解不等式,馭繁為簡(jiǎn).

此題若用常規(guī)方法操作,顯然計(jì)算量太大易半途而廢.而用函數(shù)的單調(diào)性來解決,則令人耳目一新,其簡(jiǎn)潔的解法令人拍案叫絕.

貴州省羅甸縣第一中學(xué))