賈彤彤,張曉樂,石玉英

(華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京102206)

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改進(jìn)正則項(xiàng)的圖像盲恢復(fù)方法

賈彤彤,張曉樂,石玉英

(華北電力大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京102206)

摘要：圖像恢復(fù)是一個(gè)反卷積過程，這一過程通常是病態(tài)的，其中的盲恢復(fù)是一個(gè)最常見也最具挑戰(zhàn)性的問題。由于盲恢復(fù)過程中缺乏點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的相關(guān)先驗(yàn)信息，使得這個(gè)過程變得更為復(fù)雜。為了保證在得到光滑圖像的同時(shí)也可以很好地保持圖像的邊緣信息，本文提出了一個(gè)改進(jìn)的全變分正則項(xiàng)的盲恢復(fù)模型，并結(jié)合分裂Bregman算法對(duì)模型進(jìn)行了求解。數(shù)值計(jì)算中采用了快速傅里葉變換和shrinkage公式來降低計(jì)算復(fù)雜度。數(shù)值實(shí)驗(yàn)分別對(duì)模糊圖、含有噪聲和高斯模糊的灰度圖進(jìn)行了處理，得到了滿意的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：盲恢復(fù)；點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)； 分裂Bregman算法；快速傅里葉變換

1引言

通常情況下，在獲取、傳輸、顯示圖像的過程中，許多因素會(huì)導(dǎo)致圖像質(zhì)量的下降，造成圖像的模糊或是含有噪音。圖像恢復(fù)的目的就是從退化圖像的相關(guān)信息中得到盡可能接近原始圖像的數(shù)據(jù)，從而恢復(fù)圖像的本來面目，它在科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都發(fā)揮著非常重要的作用[1-3]。

在圖像處理中，原始圖像與觀測(cè)圖像之間的關(guān)系可以表達(dá)如下：

g=Au+n，

這里g代表退化圖像，n是噪聲。A是模糊算子(也稱為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF))，且A=h*u，h是緊湊的卷積核(如：高斯卷積核)，*表示卷積。

一般來說，由于模糊的過程很難得到，這使得PSF很難確定。因此我們只能在缺乏PSF的先驗(yàn)信息的情況下，從觀測(cè)到的圖像g中提取一些有用的信息來得到恢復(fù)圖像u，這一過程就稱為圖像盲恢復(fù)。它的優(yōu)點(diǎn)是在沒有任何圖像退化的先驗(yàn)知識(shí)的情況下也可以實(shí)現(xiàn)圖像恢復(fù)過程。

反卷積過程中的病態(tài)特性，是反問題本身固有的一種特征。病態(tài)問題在圖像處理中意味著即使真實(shí)圖像中存在某些微小擾動(dòng)，也可能造成逆變換中不可忽視的影響，嚴(yán)重影響研究的準(zhǔn)確性。通常在解決病態(tài)問題時(shí)，并不要求獲得該問題的精確解，而是尋求具有物理意義的近似解，并且希望該近似解從計(jì)算角度而言是充分穩(wěn)定的。

解決病態(tài)性最一般的方法就是在目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上添加正則項(xiàng)，從而保證解在物理意義上是合理的，并且連續(xù)地依賴于數(shù)據(jù)。You等[4]考慮在目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上對(duì)于圖像和模糊核都添加H1正則項(xiàng)，然而，由于H1項(xiàng)的各向同性性質(zhì)卻不能很好地保持邊緣信息。之后，Chan等[5]提出利用全變分正則項(xiàng)‖▽u‖1和‖h‖1來代替H1項(xiàng)并得到一個(gè)最小化模型。2012年，Li等[6]應(yīng)用文獻(xiàn)[7]中的方法解決了下面的盲恢復(fù)問題：

(1)

其中，λ1>0，λ2>0。

基于全變分(TV)正則項(xiàng)的圖像去噪方法已經(jīng)有了很多的研究。Rudin，等[8]提出的Rudin-Osher-Fatemi(ROF)模型是圖像恢復(fù)中的一個(gè)非常經(jīng)典的模型。ROF模型最重要的一個(gè)性質(zhì)就是可以很好地保持圖像的邊緣信息，但由于‖▽u‖1項(xiàng)，可能會(huì)產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”。為了彌補(bǔ)這一缺陷，2013年，Cai等[9]在Muford-Shah模型[10]的基礎(chǔ)上提出了如下模型解決了非凸問題所帶來的復(fù)雜性：

(2)

其中，α>0是平衡保真項(xiàng)與TV項(xiàng)的參數(shù)。

(3)

如此一來，模型(3)可以保證在得到清晰的恢復(fù)圖像的同時(shí)也可以很好地保持圖像的邊緣信息。

由于TV函數(shù)的非線性及不可導(dǎo)性，所以很難計(jì)算。隨著學(xué)者們多年的研究，已經(jīng)有很多方法可以解決這類問題，例如不動(dòng)點(diǎn)迭代[3,11]、對(duì)偶方法[2]、梯度下降法[12]、交替迭代法[13]和分裂Bregman算法[7]等。由于分裂Bregman迭代具有顯著的穩(wěn)定性和快速的收斂性，因此被廣泛地應(yīng)用于圖像恢復(fù)中。本文，我們的模型(3)同樣用分裂Bregman方法來解決。

2圖像盲恢復(fù)數(shù)值實(shí)驗(yàn)

一般來說，對(duì)于一個(gè)特定的目標(biāo)函數(shù)，用Bregman迭代的收斂速度很快，尤其是對(duì)于含有L1正則項(xiàng)的優(yōu)化問題。而分裂Bregman算法可以把優(yōu)化問題中的L1和L2范數(shù)分離開來變成幾個(gè)子問題的形式，進(jìn)而便于計(jì)算。故這一部分主要應(yīng)用分裂Bregman方法來解決模型(3)。由于計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)較大，因此用到了快速傅里葉變換(FFT)和shrinkage公式來降低算法的復(fù)雜度，從而縮短了計(jì)算時(shí)間。為了解決模型(3)中的兩個(gè)L1正則項(xiàng)，我們參考文獻(xiàn)[4]，引入輔助變量c=(cx,cy)，d=(dx,dy)，并做如下替換：

cx=▽xh，cy=▽yh，dx=▽xu，dy=▽yu，

則我們可以得到與模型(3)等價(jià)的約束優(yōu)化問題：

(4)

s.t.cx=xh,cy=yh,dx=xu,dy=yu。

添加二次罰函數(shù)，將上述約束問題轉(zhuǎn)為非約束問題，得到算法的第k+1步為：

(5)

其中，參數(shù)γ1>0，γ2>0，且

bk+1=bk+uk+1-dk+1，

sk+1=sk+hk+1-ck+1。

(6)

問題(5)～(6)的解可以通過一個(gè)給定的初始值u0，應(yīng)用交替迭代技術(shù)計(jì)算如下序列

h1,u1,h2,u2, …,hk,uk,hk+1,uk+1, …，

然后求解下列4個(gè)子問題得到。

(1)h子問題：對(duì)于固定的uk, ck, sk，得

(7)

其中U是由圖像u形成的塊循環(huán)矩陣[6]。

這里以在周期邊界條件下為例，介紹塊循環(huán)矩陣U的形成過程。設(shè)u為3×3階矩陣，即

那么通過構(gòu)造塊循環(huán)矩陣得到的U為

類似U矩陣的形式就叫做BCCB(block circulant with circulant blocks)矩陣，它可以有效地進(jìn)行譜分解，加快計(jì)算速度。

根據(jù)一階最優(yōu)化條件，得到(7)的歐拉-拉格朗日方程

[(Uk)TUk-γ2Δ]hk+1=(Uk)Tg+γ2▽T(ck-sk)，

(8)

因?yàn)槲覀兊乃惴ㄊ窃谥芷谛赃吔鐥l件下進(jìn)行的，并且U通常是一個(gè)很大的循環(huán)矩陣，所以可以用快速傅里葉變換[5](FFT)來降低算法的復(fù)雜度。即

(9)

其中，F(xiàn)表示快速傅里葉變換。

(2)u子問題：對(duì)于固定的hk+1, dk, bk，有

(10)

與h子問題相似，我們需要解決

(11)

(12)

應(yīng)用shrinkage公式(見[7])，上述子問題(12)的顯式解為

(13)

(14)

子問題(14)的顯式解為

(15)

由此，我們可以看出每個(gè)子問題都可以通過快速傅里葉變換或顯式解進(jìn)行求解。于是我們得出如下算法：

ⅰ.初始化：令c0=s0=0, d0=b0=0,u0=g。

ⅱ.對(duì)于k=0, 1, …, 有

a:由迭代格式(9)得hk+1，

b:由迭代格式(11)得uk+1，

ⅲ.滿足終止條件則停止。

因?yàn)檫@個(gè)過程始于初始值u0，所以h子問題和u子問題的位置不能改變。

之所以說分裂Bregman算法具有較快的收斂速度及較好的穩(wěn)定性[7]，第一是由于一般來說γ越大，則對(duì)模型的約束作用越大，對(duì)噪聲的抑制作用越強(qiáng)，而分裂Bregman算法對(duì)數(shù)值很大的γ也能夠適應(yīng)。第二是由于算法的計(jì)算速度是依賴于算法中使用的Bregman迭代?？紤]一個(gè)更特殊的形式，如果令λ2→∞，添加的二次罰函數(shù)會(huì)起到很大的作用，其中任意一個(gè)微小的變量都將對(duì)計(jì)算結(jié)果起到不可忽視的作用，(8)式就變?yōu)橐粋€(gè)具有病態(tài)性的問題，這時(shí)使用普通的算法(如高斯-賽德爾方法)將會(huì)失效，但分裂Bregman方法仍然適用。因此說分裂Bregman方法具有較好的穩(wěn)定性。

3數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了使得結(jié)果更令人信服，本節(jié)分別對(duì)模糊圖像、含有噪聲和模糊的圖像進(jìn)行了處理，并將模型(3)與模型(1)的恢復(fù)效果進(jìn)行了比較。

下述所有實(shí)驗(yàn)中，設(shè)誤差Δ為內(nèi)循環(huán)迭代停止條件。當(dāng)Δ<10-4時(shí)，外循環(huán)達(dá)到50次時(shí)，計(jì)算迭代停止。誤差Δ定義如下：

度量恢復(fù)后的圖像是否為最接近原始圖像的狀態(tài)有許多種方法。既可以從主觀上通過視覺來進(jìn)行觀察，也可以從客觀上用一定的評(píng)價(jià)指標(biāo)來度量，如信噪比、相似度和平均絕對(duì)誤差增益等。但最好的方式是客觀評(píng)價(jià)與主觀評(píng)價(jià)達(dá)到一致，且容易計(jì)算。

本文采用的客觀評(píng)價(jià)為改善信噪比，其計(jì)算公式為[14]：

式中，I為改善信噪比(ISNR)；wi,j,gi,j,ui,j分別表示原始圖像、觀測(cè)圖像和復(fù)原圖像的像素值。一般來說，改善信噪比的值越大，恢復(fù)圖像就越接近于原圖像。

本文所有實(shí)驗(yàn)均添加兩種模糊，分別是像素尺寸為10×10，方差σ2=1的高斯模糊(GB)，和像素尺寸為10×10，方差σ2=1的Moffat模糊(MB)，并對(duì)圖1中的兩幅原始圖像進(jìn)行了處理。

圖1　原始圖像Fig.1　The original image

3.1模糊圖像的復(fù)原

對(duì)于高斯模糊，模型(1)與模型(3)選取相同的參數(shù)λ1=1×10-5,λ2=1×10-2,γ1=1×10-4,γ2=70，另外在模型(3)中選取α=1×10-5。對(duì)于Moffat模糊，選取相同的參數(shù)λ1=1×10-5,λ2=0.2,γ1=2×10-4,γ2=60，模型(3)中選取α=5×10-8。

圖2的第一列給出了退化圖像，第二列給出了應(yīng)用模型(1)的恢復(fù)圖像及其改善信噪比值，第三列給出了應(yīng)用模型(3)的恢復(fù)圖像及其改善信噪比值。

圖2的結(jié)果表明兩個(gè)模型都可以得到較滿意的恢復(fù)圖像。盡管從視覺上看模型(3)比模型(1)的優(yōu)越之處不是很明顯，但從改進(jìn)信噪比的值的大小來看，模型(3)能夠得到比模型(1)較大的改善信噪比值。說明相對(duì)模型(1)，模型(3)是一個(gè)改進(jìn)。

3.2含有模糊和噪音的圖像復(fù)原

在電力系統(tǒng)應(yīng)用中，由于圖像采集設(shè)備本身的缺陷和周圍環(huán)境的影響，采集到的圖像中難免會(huì)含有模糊和噪聲，這對(duì)設(shè)備的檢測(cè)、識(shí)別和研究等都帶來嚴(yán)重的影響，并且會(huì)降低處理結(jié)果的正確性。因此，對(duì)采集到的電力設(shè)備圖片進(jìn)行預(yù)處理，盡可能恢復(fù)圖片原始的狀態(tài)是很有必要的。[15]

我們對(duì)絕緣子圖片分別添加與上節(jié)相同的兩種模糊，并在此基礎(chǔ)上添加噪聲強(qiáng)度為1%的高斯噪音。這里的兩種模糊參數(shù)均設(shè)定為λ1=1×10-5, λ2=0.2, γ1=2×10-4, γ2=60，且在模型(3)中選取α=5×10-5。圖3給出了絕緣子圖片分別用兩種模型得到的恢復(fù)結(jié)果。從圖中的結(jié)果我們可以看出，經(jīng)過模型(1)和模型(3)的處理后，絕緣子柱子上的螺紋可以更清晰地顯現(xiàn)出來，且圖像最底端的字母也可以看得更清楚了。比較兩個(gè)模型的恢復(fù)后的改善信噪比，模型(3)可得到比模型(1)更大的改善信噪比值，恢復(fù)效果更好。

圖3　含有模糊和高斯噪音圖像的復(fù)原結(jié)果Fig.3　Restoration of blurry and Gaussian noise contaminated image

4結(jié)語

本文我們首先介紹了圖像反卷積的病態(tài)性，并引出了基于ROF模型的改進(jìn)正則項(xiàng)的盲恢復(fù)模型。接著運(yùn)用具有較快收斂速度和較好穩(wěn)定性的分裂Bregman算法對(duì)模型進(jìn)行了求解，并且運(yùn)用FFT和shrinkage公式加快了計(jì)算速度。最后，仿真實(shí)驗(yàn)分別對(duì)不同類型的模糊圖像，含有噪音和模糊的絕緣子圖像進(jìn)行了測(cè)試，并用改進(jìn)信噪比對(duì)恢復(fù)結(jié)果進(jìn)行了客觀評(píng)價(jià)。又通過與模型(1)的比較，證實(shí)了模型(3)比模型(1)更優(yōu)越。綜上所述，我們所提出的模型能夠在PSF缺乏先驗(yàn)知識(shí)的前提下得到很好的恢復(fù)圖像。

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DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2016.03.020

收稿日期：2015-12-24

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11271126)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(2014ZZD10)

作者簡(jiǎn)介：賈彤彤(1990-)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)閳D像處理。Email:jttncepu@163.com

中圖分類號(hào)：TP391

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1002-4026(2016)03-0115-08

Image blind deconvolution approach with modified regularization term

JIA Tong-tong, ZHANG Xiao-le, SHI Yu-ying

(Department of Mathematics and Physics, North China Electric Power University, Beijing 102206, China)

Abstract∶Image restoration is a deconvolution process, which is usually morbid. Blind deconvolution is one of the most common and challenging problems. Without priori knowledge on point spread function, the process is therefore more complex. To preserve the edge information of an image as well as its smoothness, we present a blind deconvolution model with a modified total variation regularization term. We also solve the model with split Bregman iteration algorithm. Fast Fourier transform and shrinkage formula are applied in numerical calculation to reduce its computational complexity. We apply the model to the processing for a blurry image and a greyscale image with noise and Gaussian blur in numerical experiment, and then obtain satisfactory results.

Key words∶ blind deconvolution; point spread function; split Bregman algorithm; fast Fourier transform