賈彤彤,張曉樂,石玉英

(華北電力大學數理學院，北京102206)

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改進正則項的圖像盲恢復方法

賈彤彤,張曉樂,石玉英

(華北電力大學數理學院，北京102206)

摘要：圖像恢復是一個反卷積過程，這一過程通常是病態(tài)的，其中的盲恢復是一個最常見也最具挑戰(zhàn)性的問題。由于盲恢復過程中缺乏點擴散函數的相關先驗信息，使得這個過程變得更為復雜。為了保證在得到光滑圖像的同時也可以很好地保持圖像的邊緣信息，本文提出了一個改進的全變分正則項的盲恢復模型，并結合分裂Bregman算法對模型進行了求解。數值計算中采用了快速傅里葉變換和shrinkage公式來降低計算復雜度。數值實驗分別對模糊圖、含有噪聲和高斯模糊的灰度圖進行了處理，得到了滿意的結果。

關鍵詞：盲恢復；點擴散函數； 分裂Bregman算法；快速傅里葉變換

1引言

通常情況下，在獲取、傳輸、顯示圖像的過程中，許多因素會導致圖像質量的下降，造成圖像的模糊或是含有噪音。圖像恢復的目的就是從退化圖像的相關信息中得到盡可能接近原始圖像的數據，從而恢復圖像的本來面目，它在科學的各個領域都發(fā)揮著非常重要的作用[1-3]。

在圖像處理中，原始圖像與觀測圖像之間的關系可以表達如下：

g=Au+n，

這里g代表退化圖像，n是噪聲。A是模糊算子(也稱為點擴散函數(PSF))，且A=h*u，h是緊湊的卷積核(如：高斯卷積核)，*表示卷積。

一般來說，由于模糊的過程很難得到，這使得PSF很難確定。因此我們只能在缺乏PSF的先驗信息的情況下，從觀測到的圖像g中提取一些有用的信息來得到恢復圖像u，這一過程就稱為圖像盲恢復。它的優(yōu)點是在沒有任何圖像退化的先驗知識的情況下也可以實現圖像恢復過程。

反卷積過程中的病態(tài)特性，是反問題本身固有的一種特征。病態(tài)問題在圖像處理中意味著即使真實圖像中存在某些微小擾動，也可能造成逆變換中不可忽視的影響，嚴重影響研究的準確性。通常在解決病態(tài)問題時，并不要求獲得該問題的精確解，而是尋求具有物理意義的近似解，并且希望該近似解從計算角度而言是充分穩(wěn)定的。

解決病態(tài)性最一般的方法就是在目標函數的基礎上添加正則項，從而保證解在物理意義上是合理的，并且連續(xù)地依賴于數據。You等[4]考慮在目標函數的基礎上對于圖像和模糊核都添加H1正則項，然而，由于H1項的各向同性性質卻不能很好地保持邊緣信息。之后，Chan等[5]提出利用全變分正則項‖▽u‖1和‖h‖1來代替H1項并得到一個最小化模型。2012年，Li等[6]應用文獻[7]中的方法解決了下面的盲恢復問題：

(1)

其中，λ1>0，λ2>0。

基于全變分(TV)正則項的圖像去噪方法已經有了很多的研究。Rudin，等[8]提出的Rudin-Osher-Fatemi(ROF)模型是圖像恢復中的一個非常經典的模型。ROF模型最重要的一個性質就是可以很好地保持圖像的邊緣信息，但由于‖▽u‖1項，可能會產生“階梯效應”。為了彌補這一缺陷，2013年，Cai等[9]在Muford-Shah模型[10]的基礎上提出了如下模型解決了非凸問題所帶來的復雜性：

(2)

其中，α>0是平衡保真項與TV項的參數。

(3)

如此一來，模型(3)可以保證在得到清晰的恢復圖像的同時也可以很好地保持圖像的邊緣信息。

由于TV函數的非線性及不可導性，所以很難計算。隨著學者們多年的研究，已經有很多方法可以解決這類問題，例如不動點迭代[3,11]、對偶方法[2]、梯度下降法[12]、交替迭代法[13]和分裂Bregman算法[7]等。由于分裂Bregman迭代具有顯著的穩(wěn)定性和快速的收斂性，因此被廣泛地應用于圖像恢復中。本文，我們的模型(3)同樣用分裂Bregman方法來解決。

2圖像盲恢復數值實驗

一般來說，對于一個特定的目標函數，用Bregman迭代的收斂速度很快，尤其是對于含有L1正則項的優(yōu)化問題。而分裂Bregman算法可以把優(yōu)化問題中的L1和L2范數分離開來變成幾個子問題的形式，進而便于計算。故這一部分主要應用分裂Bregman方法來解決模型(3)。由于計算過程中的數據較大，因此用到了快速傅里葉變換(FFT)和shrinkage公式來降低算法的復雜度，從而縮短了計算時間。為了解決模型(3)中的兩個L1正則項，我們參考文獻[4]，引入輔助變量c=(cx,cy)，d=(dx,dy)，并做如下替換：

cx=▽xh，cy=▽yh，dx=▽xu，dy=▽yu，

則我們可以得到與模型(3)等價的約束優(yōu)化問題：

(4)

s.t.cx=xh,cy=yh,dx=xu,dy=yu。

添加二次罰函數，將上述約束問題轉為非約束問題，得到算法的第k+1步為：

(5)

其中，參數γ1>0，γ2>0，且

bk+1=bk+uk+1-dk+1，

sk+1=sk+hk+1-ck+1。

(6)

問題(5)～(6)的解可以通過一個給定的初始值u0，應用交替迭代技術計算如下序列

h1,u1,h2,u2, …,hk,uk,hk+1,uk+1, …，

然后求解下列4個子問題得到。

(1)h子問題：對于固定的uk, ck, sk，得

(7)

其中U是由圖像u形成的塊循環(huán)矩陣[6]。

這里以在周期邊界條件下為例，介紹塊循環(huán)矩陣U的形成過程。設u為3×3階矩陣，即

那么通過構造塊循環(huán)矩陣得到的U為

類似U矩陣的形式就叫做BCCB(block circulant with circulant blocks)矩陣，它可以有效地進行譜分解，加快計算速度。

根據一階最優(yōu)化條件，得到(7)的歐拉-拉格朗日方程

[(Uk)TUk-γ2Δ]hk+1=(Uk)Tg+γ2▽T(ck-sk)，

(8)

因為我們的算法是在周期性邊界條件下進行的，并且U通常是一個很大的循環(huán)矩陣，所以可以用快速傅里葉變換[5](FFT)來降低算法的復雜度。即

(9)

其中，F表示快速傅里葉變換。

(2)u子問題：對于固定的hk+1, dk, bk，有

(10)

與h子問題相似，我們需要解決

(11)

(12)

應用shrinkage公式(見[7])，上述子問題(12)的顯式解為

(13)

(14)

子問題(14)的顯式解為

(15)

由此，我們可以看出每個子問題都可以通過快速傅里葉變換或顯式解進行求解。于是我們得出如下算法：

ⅰ.初始化：令c0=s0=0, d0=b0=0,u0=g。

ⅱ.對于k=0, 1, …, 有

a:由迭代格式(9)得hk+1，

b:由迭代格式(11)得uk+1，

ⅲ.滿足終止條件則停止。

因為這個過程始于初始值u0，所以h子問題和u子問題的位置不能改變。

之所以說分裂Bregman算法具有較快的收斂速度及較好的穩(wěn)定性[7]，第一是由于一般來說γ越大，則對模型的約束作用越大，對噪聲的抑制作用越強，而分裂Bregman算法對數值很大的γ也能夠適應。第二是由于算法的計算速度是依賴于算法中使用的Bregman迭代?？紤]一個更特殊的形式，如果令λ2→∞，添加的二次罰函數會起到很大的作用，其中任意一個微小的變量都將對計算結果起到不可忽視的作用，(8)式就變?yōu)橐粋€具有病態(tài)性的問題，這時使用普通的算法(如高斯-賽德爾方法)將會失效，但分裂Bregman方法仍然適用。因此說分裂Bregman方法具有較好的穩(wěn)定性。

3數值實驗

為了使得結果更令人信服，本節(jié)分別對模糊圖像、含有噪聲和模糊的圖像進行了處理，并將模型(3)與模型(1)的恢復效果進行了比較。

下述所有實驗中，設誤差Δ為內循環(huán)迭代停止條件。當Δ<10-4時，外循環(huán)達到50次時，計算迭代停止。誤差Δ定義如下：

度量恢復后的圖像是否為最接近原始圖像的狀態(tài)有許多種方法。既可以從主觀上通過視覺來進行觀察，也可以從客觀上用一定的評價指標來度量，如信噪比、相似度和平均絕對誤差增益等。但最好的方式是客觀評價與主觀評價達到一致，且容易計算。

本文采用的客觀評價為改善信噪比，其計算公式為[14]：

式中，I為改善信噪比(ISNR)；wi,j,gi,j,ui,j分別表示原始圖像、觀測圖像和復原圖像的像素值。一般來說，改善信噪比的值越大，恢復圖像就越接近于原圖像。

本文所有實驗均添加兩種模糊，分別是像素尺寸為10×10，方差σ2=1的高斯模糊(GB)，和像素尺寸為10×10，方差σ2=1的Moffat模糊(MB)，并對圖1中的兩幅原始圖像進行了處理。

圖1　原始圖像Fig.1　The original image

3.1模糊圖像的復原

對于高斯模糊，模型(1)與模型(3)選取相同的參數λ1=1×10-5,λ2=1×10-2,γ1=1×10-4,γ2=70，另外在模型(3)中選取α=1×10-5。對于Moffat模糊，選取相同的參數λ1=1×10-5,λ2=0.2,γ1=2×10-4,γ2=60，模型(3)中選取α=5×10-8。

圖2的第一列給出了退化圖像，第二列給出了應用模型(1)的恢復圖像及其改善信噪比值，第三列給出了應用模型(3)的恢復圖像及其改善信噪比值。

圖2的結果表明兩個模型都可以得到較滿意的恢復圖像。盡管從視覺上看模型(3)比模型(1)的優(yōu)越之處不是很明顯，但從改進信噪比的值的大小來看，模型(3)能夠得到比模型(1)較大的改善信噪比值。說明相對模型(1)，模型(3)是一個改進。

3.2含有模糊和噪音的圖像復原

在電力系統應用中，由于圖像采集設備本身的缺陷和周圍環(huán)境的影響，采集到的圖像中難免會含有模糊和噪聲，這對設備的檢測、識別和研究等都帶來嚴重的影響，并且會降低處理結果的正確性。因此，對采集到的電力設備圖片進行預處理，盡可能恢復圖片原始的狀態(tài)是很有必要的。[15]

我們對絕緣子圖片分別添加與上節(jié)相同的兩種模糊，并在此基礎上添加噪聲強度為1%的高斯噪音。這里的兩種模糊參數均設定為λ1=1×10-5, λ2=0.2, γ1=2×10-4, γ2=60，且在模型(3)中選取α=5×10-5。圖3給出了絕緣子圖片分別用兩種模型得到的恢復結果。從圖中的結果我們可以看出，經過模型(1)和模型(3)的處理后，絕緣子柱子上的螺紋可以更清晰地顯現出來，且圖像最底端的字母也可以看得更清楚了。比較兩個模型的恢復后的改善信噪比，模型(3)可得到比模型(1)更大的改善信噪比值，恢復效果更好。

圖3　含有模糊和高斯噪音圖像的復原結果Fig.3　Restoration of blurry and Gaussian noise contaminated image

4結語

本文我們首先介紹了圖像反卷積的病態(tài)性，并引出了基于ROF模型的改進正則項的盲恢復模型。接著運用具有較快收斂速度和較好穩(wěn)定性的分裂Bregman算法對模型進行了求解，并且運用FFT和shrinkage公式加快了計算速度。最后，仿真實驗分別對不同類型的模糊圖像，含有噪音和模糊的絕緣子圖像進行了測試，并用改進信噪比對恢復結果進行了客觀評價。又通過與模型(1)的比較，證實了模型(3)比模型(1)更優(yōu)越。綜上所述，我們所提出的模型能夠在PSF缺乏先驗知識的前提下得到很好的恢復圖像。

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DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2016.03.020

收稿日期：2015-12-24

基金項目：國家自然科學基金(11271126)；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助(2014ZZD10)

作者簡介：賈彤彤(1990-)，女，碩士研究生，研究方向為圖像處理。Email:jttncepu@163.com

中圖分類號：TP391

文獻標識碼：A

文章編號：1002-4026(2016)03-0115-08

Image blind deconvolution approach with modified regularization term

JIA Tong-tong, ZHANG Xiao-le, SHI Yu-ying

(Department of Mathematics and Physics, North China Electric Power University, Beijing 102206, China)

Abstract∶Image restoration is a deconvolution process, which is usually morbid. Blind deconvolution is one of the most common and challenging problems. Without priori knowledge on point spread function, the process is therefore more complex. To preserve the edge information of an image as well as its smoothness, we present a blind deconvolution model with a modified total variation regularization term. We also solve the model with split Bregman iteration algorithm. Fast Fourier transform and shrinkage formula are applied in numerical calculation to reduce its computational complexity. We apply the model to the processing for a blurry image and a greyscale image with noise and Gaussian blur in numerical experiment, and then obtain satisfactory results.

Key words∶ blind deconvolution; point spread function; split Bregman algorithm; fast Fourier transform