陳　磊　張國山

(天津大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津　300072)

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基于動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的控制系統(tǒng)對(duì)稱化

陳磊張國山

(天津大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津300072)

摘要：從一類對(duì)稱方程的解出發(fā)，研究了基于動(dòng)態(tài)反饋控制，即構(gòu)建動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器，將非對(duì)稱系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間對(duì)稱系統(tǒng)的問題．首先，給出存在輸出反饋控制使系統(tǒng)狀態(tài)空間對(duì)稱的充分必要條件及輸出反饋控制器的參數(shù)化表達(dá)式；其次，將基于動(dòng)態(tài)反饋控制等效為輸出反饋控制從而得到動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的參數(shù)化結(jié)果．最后，通過一個(gè)數(shù)字算例說明了所得結(jié)果的有效性．

關(guān)鍵詞：狀態(tài)空間對(duì)稱；輸出反饋控制；動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器；穩(wěn)定性

對(duì)稱系統(tǒng)由于其特殊結(jié)構(gòu)和優(yōu)良的控制性能，已經(jīng)得到了廣泛的研究和應(yīng)用．例如，文獻(xiàn)[1-2]研究了連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間狀態(tài)空間對(duì)稱系統(tǒng)的H∞控制分析、輸出反饋穩(wěn)定性和輸出反饋H∞控制分析問題．文獻(xiàn)[3]研究了狀態(tài)空間對(duì)稱系統(tǒng)的模型降階問題．文獻(xiàn)[4]說明利用分散控制器的狀態(tài)空間對(duì)稱系統(tǒng)的穩(wěn)定性等效于利用集中控制器的系統(tǒng)穩(wěn)定性．文獻(xiàn)[5]得到了計(jì)算線性時(shí)不變狀態(tài)空間對(duì)稱系統(tǒng)的計(jì)算H∞范數(shù)的顯式表達(dá)式，及解決H∞范數(shù)最大化和正實(shí)性問題的靜態(tài)輸出反饋的顯式參數(shù)化表示．文獻(xiàn)[6]提出了一個(gè)僅和傳遞函數(shù)矩陣相關(guān)而不依賴有限維實(shí)現(xiàn)的負(fù)虛部對(duì)稱系統(tǒng)的定義，提出了在有理情形下根據(jù)傳遞函數(shù)在虛軸上的行為表征負(fù)虛傳遞函數(shù)的充要條件．

雖然對(duì)稱系統(tǒng)的研究已有許多結(jié)果，但是如何通過動(dòng)態(tài)補(bǔ)償使正常系統(tǒng)成為對(duì)稱系統(tǒng)且保持穩(wěn)定的研究尚未被注意到．而該項(xiàng)研究對(duì)于進(jìn)一步研究系統(tǒng)的魯棒控制及計(jì)算H∞范數(shù)均有意義．本文將研究通過輸出反饋和動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器使得非對(duì)稱系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為閉環(huán)的狀態(tài)空間對(duì)稱系統(tǒng)．

1預(yù)備知識(shí)

考慮如下一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)(LTI)的狀態(tài)空間表達(dá)式：

(1)

其中，x(t)∈Rn為狀態(tài)向量，u(t)∈Rm為輸入向量，y(t)∈Rm為輸出向量，A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rm×n，D∈Rm×m均為定常矩陣．

系統(tǒng)(1)的傳遞函數(shù)矩陣表示如下

定義：系統(tǒng)(1)被稱為狀態(tài)空間對(duì)稱的或內(nèi)部對(duì)稱的，如果滿足如下條件：

(2)

如果滿足G(s)=GT(s)，稱系統(tǒng)(1)為對(duì)稱的或者外部對(duì)稱的．顯然，由內(nèi)部對(duì)稱可以得到外部對(duì)稱，反之則不一定正確．

為了本文需要，引入下面兩個(gè)分別關(guān)于解矩陣方程AXB=D和AXB+(AXB)H=C的引理．

定義A-表示矩陣A的一個(gè)廣義逆矩陣，滿足AA-A=A．此時(shí)有如下引理：

引理1[7]設(shè)A∈Rm×n，B∈Rp×q，D∈Rm×q，X是n×p未知矩陣，則矩陣方程

AXB=D

有解的充分必要條件為AA-DB-B=D．其通解為X=A-DB-+Y-A-AYBB-，其中Y是任意n×p矩陣．

對(duì)于矩陣方程

(3)

其中：A∈Rm×p，B∈Rq×m和Hermite矩陣C∈Rm×m都是已知的．有如下引理：

引理2[8](a)[9]存在一個(gè)X∈Rp×q使得矩陣方程成立，當(dāng)且僅當(dāng)

(4)

或者，等價(jià)表示為

(5)

(b)在上述充分必要條件成立時(shí)，矩陣方程的通解可以表示成如下形式

其中，U和V是矩陣方程AUB+BHVAH=C的通解，或者可以直接寫成如下形式

(6)

(i)AXA=A；

(ii)XAX=A；

(iii)(AX)H=AX；

(iv)(XA)H=XA．

EA和FA表示兩個(gè)正交投影算子EA=Im-AA+和FA=In-A+A，其秩分別為r(EA)=m-r(A)和r(FA)=n-r(A)．

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中對(duì)引理2的證明，很容易得到：當(dāng)矩陣C滿足C=-CH時(shí)，矩陣方程AXB-(AXB)H=C的有解的充分必要條件與方程AXB+(AXB)H=C有解的充分必要條件相同；矩陣方程AXB-(AXB)H的通解表達(dá)形式為

其中，U和V是矩陣方程AUB-BHVAH=C的通解，也可以寫成如下形式

(7)

其中，X0，G，H，W，W1，W2均與引理2中的定義相同．

2主要結(jié)果

2.1輸出反饋情況

當(dāng)系統(tǒng)(1)中的D=0時(shí)，在輸出反饋控制

(8)

作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(9a)

(9b)

其中，v(t)∈Rm為新的控制輸入向量．

系統(tǒng)(9)為狀態(tài)空間對(duì)稱系統(tǒng)的充分必要條件為

A=BKC=(A+BKC)T，B=CT

基于引理1，有如下定理：

定理1假設(shè)系統(tǒng)(1)是一個(gè)非對(duì)稱系統(tǒng)，且B=CT，則存在輸出反饋控制(8)使得系統(tǒng)(9)是狀態(tài)空間對(duì)稱系統(tǒng)的充分必要條件為

此時(shí)，輸出反饋增益K為

其中，Z為相應(yīng)維數(shù)的任意對(duì)稱矩陣．

系統(tǒng)(9)是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)

證明：考慮如下方程

A+BKC=(A+BKC)T

對(duì)上式進(jìn)行簡(jiǎn)單變換，有

BKC-(BKC)T=AT-A

將BKC作為一個(gè)整體求解，可得

(10)

其中，Z為相應(yīng)維數(shù)的任意對(duì)稱矩陣．

接下來求解未知矩陣K．因?yàn)槿我饩仃嚩伎梢詫懗梢粋€(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣的和的形式，即

K=KD+KF

所以上式可寫成

因?yàn)閆為任意對(duì)稱矩陣，且B=CT，則可令

(11)

(12)

因此，矩陣方程(10)是否有解只取決于矩陣方程(11)是否有解，而與(12)無關(guān)．根據(jù)引理1，方程(11)有解的充分必要條件為

即

由于在控制系統(tǒng)中，B和C分別為列滿秩矩陣和行滿秩矩陣，根據(jù)矩陣論知識(shí)可知B-B=I，CC-=I．所以K的表達(dá)式為

系統(tǒng)(9)穩(wěn)定的充分必要條件為A+BKC<0，即

基于引理2，有如下定理：

定理2假設(shè)系統(tǒng)(1)是一個(gè)非對(duì)稱系統(tǒng)，且B=CT，則存在輸出反饋控制(8)使得系統(tǒng)(9)是狀態(tài)空間對(duì)稱系統(tǒng)的充分必要條件為

或者，等價(jià)表示為

此時(shí)，輸出反饋增益K為

證明：對(duì)于A+BKC=(A+BKC)T變換得到

BKC-(BKC)T=AT-A

對(duì)于上式，根據(jù)引理2，且B=CT，可以很容易得到存在滿足方程的K的充分必要條件和K的表達(dá)式．詳細(xì)證明在此處省略．

注1：當(dāng)B≠CT時(shí)，可設(shè)輸出反饋控制律為u=Ky+Lv，則此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

y=Cx

當(dāng)BL=CT成立時(shí)，定理1和定理2依然成立．

由于B為列滿秩矩陣，根據(jù)引理1，存在L使得BL=CT的充分必要條件為BB-CT=CT，此時(shí)L的表達(dá)式為L(zhǎng)=B-CT．

2.2動(dòng)態(tài)補(bǔ)償情況

現(xiàn)在研究通過動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器使閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間對(duì)稱的情況．

為了方便起見，假設(shè)系統(tǒng)(1)中D=0．當(dāng)D≠0時(shí)，可通過擴(kuò)大系統(tǒng)的非動(dòng)態(tài)變量的階而消除D項(xiàng)[10]．假設(shè)系統(tǒng)(1)的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器具有如下結(jié)構(gòu)：

(13a)

(13b)

(13c)

其中，xc∈Rnc是補(bǔ)償器的狀態(tài)；v∈Rq和vc∈Rnc分別是系統(tǒng)和補(bǔ)償器的新的控制輸入；Ac∈Rnc×nc，Bc∈Rnc×qc，Cc∈Rpc×nc，Dc∈Rpc×qc是常數(shù)矩陣．式(13c)表明可以直接得到補(bǔ)償器的狀態(tài)向量． 則閉環(huán)系統(tǒng)為

(14a)

(14b)

由文獻(xiàn)[11]可知，系統(tǒng)(14)可以等價(jià)于如下系統(tǒng)

(15a)

(15b)

和靜態(tài)輸出反饋

(16)

組成． 此處

(17)

是任意變化的參數(shù)矩陣．

用一種更簡(jiǎn)潔的方式表達(dá)上述系統(tǒng)

(18a)

(18b)

(19)

顯然，根據(jù)定理1和定理2，可以很容易地得到如下定理3和定理4．

系統(tǒng)(14)是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)

證明：將系統(tǒng)(14)等價(jià)替換為系統(tǒng)(18)和靜態(tài)輸出反饋(19)，再依據(jù)定理1的證明，很容易得到存在動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器(13)使得系統(tǒng)(14)是狀態(tài)空間對(duì)稱系統(tǒng)的充分必要條件為

即BB-(AT-A)C-C=(AT-A)．

或者，等價(jià)表示為

3算例

考慮系統(tǒng)(1)具有如下參數(shù)：

設(shè)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器(13)中的階數(shù)nc=2，若使閉環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)空間對(duì)稱系統(tǒng)，根據(jù)定理3，可得等效的輸出反饋系統(tǒng)參數(shù)

此時(shí)，

4結(jié)語

本文從一類對(duì)稱方程的解出發(fā)，提出了兩種基于輸出反饋控制的系統(tǒng)對(duì)稱化的方法，給出了存在輸出反饋控制的充分必要條件和輸出反饋控制的參數(shù)化表達(dá)式；并且通過將動(dòng)態(tài)反饋控制等效為輸出反饋控制，得出了基于動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的系統(tǒng)對(duì)稱化的充分必要條件和動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的參數(shù)化結(jié)果．這些結(jié)果可以應(yīng)用于實(shí)際的控制系統(tǒng)中和一些其他的控制問題，如H-∞控制等．

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[責(zé)任編輯張莉]

收稿日期：2015-11-10

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(61473202)

通信作者：張國山(1961-)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)閺V義系統(tǒng)的各種控制問題等．E-mail：zhanggs@tju.edu.cn

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.02.022

中圖分類號(hào)：TP13

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-948X(2016)02-0097-05

Control Systems Symmetrization Based on Dynamic Compensator

Chen LeiZhang Guoshan

(School of Electrical Engineering & Automation, Tianjin Univ., Tianjin 300072, China)

AbstractProceeding from a class of symmetric equation, the problem that an asymmetric system is transformed into a state-space symmetric system through dynamic feedback control i.e. structuring dynamic compensator, is investigated. Firstly, the necessary and sufficient conditions for the existence of output feedback controllers satisfying the above condition and the parametrization of the output feedback controllers are proposed. Secondly, dynamic feedback control is equivalent to output feedback control and the parametrization of dynamic compensator are obtained. Finally, a numerical example is given to demonstrate the effectiveness of the results.

Keywordsstate-space symmetry；output feedback control；dynamic compensator；stability