付興中，李　偉，王晉忠，李　曄

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.空軍駐石家莊地區(qū)軍事代表室，河北 石家莊 050081)

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定時截尾試驗零故障時的MTBF估計方法

付興中1，李偉2，王晉忠1，李曄1

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.空軍駐石家莊地區(qū)軍事代表室，河北 石家莊 050081)

摘要針對產品定時截尾試驗中零故障時無法進行平均故障間隔時間(Mean Time Between Failures，MTBF)估計的問題，分析了不同情況下點估計方法選用的注意事項，并通過公式推導得出了零故障時置信下限的計算公式。對置信下限計算公式進一步推導，得到了便于實際應用的簡化計算公式。通過在多個可靠性試驗中應用該方法進行MTBF估計，結果表明該方法可行有效。

關鍵詞可靠性試驗；零故障；MTBF；驗證區(qū)間

0引言

隨著訂購方對產品可靠性越來越重視，產品的可靠性試驗也相應地備受各方關注。根據(jù)國軍標(GJB)899A-2009《可靠性鑒定和驗收試驗》的要求，可靠性試驗不僅要判定被試產品是否通過試驗，而且還需要根據(jù)試驗數(shù)據(jù)進行MTBF[1]估計，即計算MTBF值的點估計與驗證區(qū)間。

在產品可靠性試驗方案選擇時，由于定時截尾試驗方案具有很強的計劃性和可操作性，因此在實際工程中，訂購方與承制方常常選擇定時截尾試驗方案開展可靠性試驗[2]。同時，隨著產品設計不斷優(yōu)化、元器件質量水平逐步提高，在可靠性試驗中出現(xiàn)零故障的概率也在逐步提高[3]。

在可靠性試驗數(shù)據(jù)處理過程中，當故障數(shù)大于0時，可以方便地應用GJB899A提供的方法進行MTBF的估計，而對于零故障時的情況，則在標準中沒有明確描述[4]。在工程實踐中遇到零故障時，要么直接接收不進行估計，要么依據(jù)慣例和經驗公式進行估計[5]，估計結果的正確性無法使人信服。本文通過公式推導與理論分析，提出了適合實際項目使用的估計方法，具有一定的工程應用價值。

1故障數(shù)為r(r>0)時的估計方法

1.1故障數(shù)為r時的點估計

(1)

1.2故障數(shù)為r時的驗證區(qū)間

MTBF的驗證區(qū)間只有在確定的置信度下才有意義。一般情況下，訂購方會在合同或技術協(xié)議等相關文件中規(guī)定MTBF置信區(qū)間的置信度，若沒有明確規(guī)定，則可以采用GJB899A的建議，取置信度C=1-2β。

置信度為C的MTBF驗證區(qū)間為(θL,θU)，其中置信下限θL和置信上限θU計算公式如下[6]：

(2)

(3)

式中，C′=(1+C)/2為單邊置信限的置信度；θL(C′,r)與θU(C′,r)分別為置信下限系數(shù)和置信上限系數(shù)，計算公式為：

(4)

(5)

在GJB899A的表A.12《定時試驗接收時MTBF驗證區(qū)間的置信限系數(shù)θ(C′,r)》中，已分別列出了置信度為40%、60%和80%，故障數(shù)為1～37的各種不同情況的置信下限和置信上限系數(shù)。在總試驗時間T、置信度C和故障數(shù)r已知的情況下，通過查表計算，可得出MTBF的驗證區(qū)間。

2零故障時的估計方法

2.1零故障時的點估計

當試驗達到規(guī)定的試驗時間T，并作出接收判決時，若責任故障數(shù)r=0，則MTBF的點估計值依據(jù)式(1)無法計算。比較保守一點的作法是將此時的試驗時間T作為產品的MTBF點估計值，即認為如果繼續(xù)進行可靠性試驗，會立即出現(xiàn)一個故障，應用此方案訂購方承擔風險較小，生產方承擔了較大的風險[7]。

針對這一問題，訂購方與生產方可以采取提前約定的方式加以解決。如果進行可靠性試驗的產品采用較多高新技術，實際使用中需要極高的可靠性，或者定時截尾試驗選用了短時高風險、鑒別比又較大的試驗方案，在進行MTBF的點估計計算時，訂購方可以選擇比較保守的點估計方案。如果進行可靠性鑒定試驗的產品屬于成熟產品，或者基于可靠性試驗的數(shù)據(jù)有理由相信產品的可靠性較高，則可以選擇比較激進的點估計方案[9]。

2.2零故障時的置信下限

2.2.1置信下限計算公式推導

根據(jù)GJB899A的公式推導MTBF驗證區(qū)間的置信下限。將式(1)、式(4)代入式(2)，可得：

(6)

消去r，可得：

(7)

零故障時，r=0，帶入可得：

(8)

式(8)為定時截尾試驗零故障時，MTBF驗證區(qū)間置信下限的計算公式(其單邊置信限的置信度為C′=(1+C)/2)。

若采用默認置信度C=1-2β，則可將式(8)進一步簡化，可得，

(9)

2.2.2引理證明

證明：服從自由度為n的χ2分布的隨機變量的密度函數(shù)為Γ(t,n/2,1/2)，即此隨機變量的分布函數(shù)為形狀參數(shù)為n/2，尺度參數(shù)為1/2的gamma分布，因此隨機變量的密度函數(shù)為：

式中，Γ(n/2)是gamma函數(shù)在n/2處的函數(shù)值。

證畢。

2.2.3計算置信下限的簡化公式

根據(jù)引理，式(9)可以寫為：

θL=2T/(-2lnβ)。

即

θL=T/(-lnβ)。

(10)

式(10)為定時截尾試驗零故障時計算MTBF驗證區(qū)間置信下限的簡化公式(其單邊置信限的置信度為C′=(1+C)/2=1-β)。在總試驗時間T和使用方風險β已知的情況下，帶入數(shù)據(jù)即可計算得出MTBF驗證區(qū)間的置信下限。應用式(10)進行定時截尾試驗零故障時MTBF驗證區(qū)間置信下限的計算，無須查表，可針對任意β值進行計算，大大簡化了計算過程。式(10)在置信度C=1-2β的條件下才成立，若選取置信度為其他值，則應按照式(8)進行求解計算。

3實例應用

例如，某頻段電臺的可靠性指標為MTBF的最低可接收值θ1=100h，在產品驗收階段提交進行可靠性試驗。采取定時截尾試驗方式，選擇標準型定時試驗統(tǒng)計方案17號試驗方案進行(參數(shù)如表1所示)，試驗總試驗時間T=4.3*100=430h。

表1　標準型定時試驗統(tǒng)計方案17號試驗方案參數(shù)

試驗完成后，統(tǒng)計責任故障數(shù)為0，結論為接收，訂購方要求對其可靠性指標進行估計。

本次可靠性試驗無故障發(fā)生，只需計算MTBF驗證區(qū)間的置信下限[11]。由于訂購方未明確規(guī)定置信度，按照國軍標推薦置信度取值C=1-2β=60%，應用式(10)進行置信下限的計算，可得

θL=430/(-ln0.2)=267.2h。

即某頻段電臺MTBF驗證區(qū)間的置信下限為θL=267.2h(單邊置信限的置信度C′=80%)。

在以往的工程慣例中，試驗結果為零故障時只做出“合格”判定，不進行可靠性指標計算。而隨著訂購方對產品可靠性要求越來越具體化，對結果只進行定性判斷已遠遠不能滿足訂購方要求，需要定量計算得出具體數(shù)值[12]。在本例中，應用文中所述方法計算得出此電臺的MTBF估計結果，較好地解決了這一問題，得到了承制方與訂購方的認可。

4結束語

本文提出了定時截尾試驗中零故障時MTBF估計的工程計算方法，分析了所述方法中點估計的局限性，推導出了零故障時的置信下限計算公式并對其進行了化簡，為工程實踐提供了理論依據(jù)。通過工程應用表明，該方法可以解決零故障時無法進行MTBF估計的問題，對工程實踐具有一定的指導意義。

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doi:10.3969/j.issn.1003-3106.2016.07.25

收稿日期：2016-03-22

中圖分類號TN710

文獻標志碼A

文章編號1003-3106(2016)07-0098-03

作者簡介

付興中男，(1984—)，碩士，工程師。主要研究方向：項目質量管理。

李偉男，(1983—)，工程師。主要研究方向：質量管理與產品可靠性。

EstimationMethodofMTBFforZero-failureDatainReliabilityTimeTruncatedQualificationTest

FUXing-zhong1,LIWei2,WANGJin-zhong1,LIYe1

(1.The 54th Research Institute of CETC,Shijiazhuang Hebei 050081,China;2.Military Representative Office of PLA Air Force Stationed in Shijiazhuang Region,Shijiazhuang Hebei 050081,China)

AbstractFor the problem that there is no estimation method of MTBF (Mean Time Between Failures) for zero-failure in reliability time truncated qualification test,the notices of selecting point estimation methods in different situation are analyzed,and the formula for lower confidence limit of MTBF is presented in this paper.A simplified formula convenient to be used in practice is put forward through further derivation.The practical application results of several reliability tests show that the method is feasible and effective.

Key wordsreliability test;zero-failure;MTBF;verification interval

引用格式：付興中,李偉,王晉忠,等.定時截尾試驗零故障時的MTBF估計方法[J].無線電工程,2016,46(7):98-100.