◇儲(chǔ)冬生

超越現(xiàn)實(shí)：負(fù)數(shù)的誕生

◇儲(chǔ)冬生

負(fù)數(shù)的產(chǎn)生

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生無(wú)非就是兩個(gè)路徑：一是實(shí)踐的產(chǎn)物，二是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的產(chǎn)物。負(fù)數(shù)的產(chǎn)生就是如此：一方面是源自人們生活中的經(jīng)驗(yàn)，如交易中的盈利和虧損，個(gè)人收支的得與失等；另一方面也是數(shù)學(xué)自身的發(fā)展需求，如減法運(yùn)算中，兩個(gè)正數(shù)相減不一定得到正數(shù)。為了解決這些問(wèn)題，人類不得不創(chuàng)造出一種新數(shù)，把數(shù)的范圍從正數(shù)擴(kuò)大到負(fù)數(shù)。

據(jù)史料記載，世界上較早發(fā)現(xiàn)與認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的應(yīng)當(dāng)是我們中國(guó)人和同處東方的印度人。在我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，李悝在一部有關(guān)法律的著作《法經(jīng)》中就已記下應(yīng)用負(fù)數(shù)的案例：“今一夫挾五口，治田百畝，歲收畝一石半，為粟百五十石……衣五人終歲用千五百，不足四百五十。”這段話是說(shuō)：一個(gè)農(nóng)夫的五口之家，種田百畝。每年每畝收獲一石半，共收糧食一百五十石 （除繳稅、口糧以及宗祠祭祀用錢外，每年剩余1050錢——此處未引用原文），穿衣每人要300錢，5人一年1500錢。最后一句是說(shuō)這戶農(nóng)家入不敷出，“不足四百五十”，即 1050-1500=-450。 這里出現(xiàn)的“不足”二字，用現(xiàn)代觀點(diǎn)來(lái)看就是有了負(fù)數(shù)，至少是負(fù)數(shù)誕生的萌芽。

現(xiàn)在有很多秦漢時(shí)期的竹簡(jiǎn)陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)，在我國(guó)西北地區(qū)的居延海附近發(fā)現(xiàn)的漢代竹簡(jiǎn)上，出現(xiàn)了大量的負(fù)數(shù)運(yùn)算的寶貴史料，如“萬(wàn)歲候長(zhǎng)”有“負(fù)四筭，得七筭，相除得三筭”?！肮g”為古字“算”，“相除”就是相減，“負(fù)”是欠人家的，其算法是7-4=3，實(shí)際應(yīng)是（－4）+7=3。 又如“相除以負(fù)百二十四筭”，即指－124。這些出土文物證明了負(fù)數(shù)在我國(guó)的起源是很早的。

公元3世紀(jì)，我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，率先給出了負(fù)數(shù)的精辟定義：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。”這句話是說(shuō)，在計(jì)算過(guò)程中，遇到具有相反意義的兩數(shù)，以正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)區(qū)分它們。劉徽關(guān)于正負(fù)數(shù)的定義，是建立在當(dāng)時(shí)的人們使用正負(fù)數(shù)運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)之上的，是以凝練的詞語(yǔ)、確切的含義對(duì)這一實(shí)踐的理論升華，是負(fù)數(shù)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑。

關(guān)于負(fù)數(shù)的表示，較早有這方面記載的也是中國(guó)和印度。聰明的中國(guó)祖先是采用算籌來(lái)表示正負(fù)數(shù)的。比如：用紅籌表示正數(shù)，黑籌表示負(fù)數(shù)；用正著擺表示正數(shù)，用斜著擺表示負(fù)數(shù)；用截面為三角形的籌表示正數(shù)，用截面為正方形或矩形的籌表示負(fù)數(shù)；用斜畫(huà)一杠表示負(fù)數(shù)，通常畫(huà)在最后一位有效數(shù)字上；在負(fù)數(shù)后面寫(xiě)一個(gè)“負(fù)”字……但令人遺憾的是，中國(guó)古代數(shù)學(xué)始終沒(méi)有創(chuàng)造出簡(jiǎn)明的符號(hào)來(lái)表達(dá)負(fù)數(shù)，這是一個(gè)致命的弱點(diǎn)，它嚴(yán)重阻礙了中國(guó)數(shù)學(xué)的大發(fā)展。后來(lái)印度的數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《算法本源》一書(shū)中，首次提出用記號(hào)表示負(fù)數(shù)，即在數(shù)字的上面加上小點(diǎn)或小圓圈來(lái)表示負(fù)數(shù)，這應(yīng)當(dāng)是負(fù)數(shù)發(fā)展史上的又一次飛躍。

負(fù)數(shù)的爭(zhēng)論

中國(guó)人、印度人在1000多年以前就認(rèn)識(shí)了負(fù)數(shù)，并使用正數(shù)和負(fù)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單加減運(yùn)算，可是西方國(guó)家對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)卻經(jīng)歷了一段艱難曲折的歷程。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖一方面應(yīng)用負(fù)數(shù)，并且給出負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，另一方面卻拒絕方程的負(fù)根。丟番圖這種矛盾的雙重性態(tài)度，代表了西方世界較為普遍的傾向，即實(shí)踐上加以應(yīng)用，理論上拒絕承認(rèn)負(fù)數(shù)。就此，他們又展開(kāi)了長(zhǎng)時(shí)間的深入思考，思考的焦點(diǎn)凝聚于一點(diǎn)，就是：方程到底有沒(méi)有負(fù)根？

法國(guó)數(shù)學(xué)家阿納德還舉出一個(gè)例子來(lái)反對(duì)負(fù)數(shù)，他說(shuō)，承認(rèn)－1∶1=1∶－1，而－1<1，那么較小數(shù)與較大數(shù)的比，怎能等于較大數(shù)與較小數(shù)的比呢？這個(gè)責(zé)難引起了不少數(shù)學(xué)家的贊同，連德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲也認(rèn)為這個(gè)責(zé)難有道理。第一個(gè)給負(fù)數(shù)正確解釋的是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契，他在《算盤(pán)書(shū)》（1202年）中認(rèn)為負(fù)量是有意義的，可表負(fù)債，但他也不承認(rèn)負(fù)根。

西方世界對(duì)于負(fù)數(shù)的爭(zhēng)論達(dá)400多年之久，18世紀(jì)達(dá)到高潮。著名數(shù)學(xué)家德·摩根在《論數(shù)學(xué)的研究和困難》（1831年）一書(shū)中，仍堅(jiān)持 “負(fù)數(shù)是荒謬的”觀點(diǎn)。他也舉了一個(gè)“具有說(shuō)服力”的例子：“父親56歲時(shí)，他的兒子29歲。再過(guò)多少年，父親的年齡是兒子的2倍？”他設(shè)再過(guò)x年時(shí)，父親的年齡為兒子的2倍，并列出方程 56+x=2（29+x）,解得x=－2。他說(shuō)這個(gè)結(jié)果是荒唐的。事實(shí)上，x=－2可以理解為父子年齡退后2年便是問(wèn)題之解。

歐洲一些數(shù)學(xué)家無(wú)法撩開(kāi)負(fù)數(shù)的面紗，但也有一些思想開(kāi)放的數(shù)學(xué)家逐漸讀懂了負(fù)數(shù)的內(nèi)涵。意大利數(shù)學(xué)家邦別利在《代數(shù)學(xué)》（1572年）一書(shū)中正式給出了負(fù)數(shù)的明確定義。荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《代數(shù)新發(fā)現(xiàn)》（1629年）中第一次提出了代數(shù)的基本定理，最早指出一元n次方程有n個(gè)根，他是歐洲最早承認(rèn)方程有負(fù)根的數(shù)學(xué)家，同時(shí)第一個(gè)提出用負(fù)號(hào)“－”表示負(fù)數(shù)。從此，負(fù)數(shù)符號(hào)“－”逐漸得到人們的公認(rèn)，一直沿用至今。再后來(lái)數(shù)學(xué)家笛卡兒在《方法論》（1637年）一書(shū)中，系統(tǒng)建立了平面直角坐標(biāo)系，討論了決定正根和負(fù)根的“笛卡兒符號(hào)法則”，負(fù)數(shù)才得到新的地位，顯示出了它的獨(dú)特魅力。

回顧西方對(duì)待負(fù)數(shù)的態(tài)度轉(zhuǎn)變，我們可以看到數(shù)學(xué)家高斯的一段總結(jié)：早年的代數(shù)學(xué)家把方程的負(fù)根叫為假根，當(dāng)與它們有關(guān)的問(wèn)題是用這樣的方式來(lái)表達(dá)，即所求的量的性質(zhì)不能有相反的量時(shí)，這個(gè)講法的確是真實(shí)的。然而，正如分?jǐn)?shù)對(duì)許多可數(shù)的東西毫無(wú)意義而言，而我們卻在廣義的算術(shù)里毫不躊躇地承認(rèn)了它一樣，我們不應(yīng)該只因?yàn)橛袩o(wú)數(shù)的東西不許其有相反的量，就否認(rèn)負(fù)數(shù)有同于正數(shù)的權(quán)利。因?yàn)樵谄渌麩o(wú)數(shù)的場(chǎng)合中，負(fù)數(shù)也具有合適的解釋，所以它的真實(shí)性就得到充分的佐證了。這段話言簡(jiǎn)意賅地說(shuō)明了負(fù)數(shù)在西方開(kāi)始被拒絕的原因以及后來(lái)又被接受的理由。

負(fù)數(shù)的運(yùn)算

在我國(guó)公元前1世紀(jì)成書(shū)的《九章算術(shù)》中，就已建立了明確的正負(fù)數(shù)加減法運(yùn)算法則：“正負(fù)術(shù)曰：同名相除[即同號(hào)相減， 如±a－（±b）=±（a－b）]、異名相益（即異號(hào)相加?！嘁妗竷蓴?shù)相加），正無(wú)入負(fù)之（即以零減正得負(fù)），負(fù)無(wú)入正之（即以零減負(fù)得正）。其異名相除（即異號(hào)相減），同名相益（即同號(hào)相加），正無(wú)入正之（即零加正得正），負(fù)無(wú)入負(fù)之（即零加負(fù)得負(fù)）。”這里所說(shuō)“同名”“異名”分別為同號(hào)、異號(hào)，“相益”“相除”分別指兩數(shù)相加、相減；“無(wú)”具有零的意思。這是關(guān)于負(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的最早記載，它與今天的負(fù)數(shù)加減法法則是完全一致的。

負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算由于可用債務(wù)關(guān)系作為解釋，人們理解起來(lái)不算困難。而對(duì)于負(fù)數(shù)的乘除法法則，卻因?yàn)橐粫r(shí)找不到直觀的現(xiàn)實(shí)模型而陷入困惑之中。直到公元7世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多在他所著《婆羅摩修正體系》（628年）一書(shū)中，才記載了負(fù)數(shù)乘除法的法則，這在全世界都是領(lǐng)先的。500多年以后，印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在前面提到的那本《算法本源》的著作中，才進(jìn)一步明確了使用負(fù)號(hào)參與運(yùn)算的法則：“正數(shù)、負(fù)數(shù)的平方，常為正數(shù)；正數(shù)的平方根有兩個(gè)，一正一負(fù)；負(fù)數(shù)無(wú)平方根，因?yàn)樗皇且粋€(gè)數(shù)的平方數(shù)?！?/p>

對(duì)于“負(fù)負(fù)得正”的困惑，長(zhǎng)期困擾著人們。19世紀(jì)法國(guó)著名作家司湯達(dá)曾這樣描述自己的感受：“當(dāng)我發(fā)現(xiàn)沒(méi)有人能夠解釋‘負(fù)負(fù)得正’的原因時(shí)，你能想象我的感受嗎？對(duì)我來(lái)說(shuō)，這個(gè)沒(méi)有解決的難題是夠糟的了，而更糟糕的是，有人用那些顯然自己都不清楚的理由來(lái)對(duì)我講解?！彼枋鏊臄?shù)學(xué)老師無(wú)論怎樣解釋“負(fù)負(fù)得正”，總不能使人信服。最后，老師要他們將負(fù)數(shù)量看成某人的欠債，司湯達(dá)以幽默的筆調(diào)寫(xiě)道：“一個(gè)人該把10000法郎的債與500法郎的債乘在一起，好得到500萬(wàn)法郎的收入呢！”“負(fù)負(fù)得正”的幽靈，在現(xiàn)實(shí)中不易找到通俗的解釋，成為一種典型的文化現(xiàn)象。

隨著解析幾何學(xué)科的建立，用數(shù)軸解釋“負(fù)負(fù)得正”成為一種 “形象的直觀”。例如，我們把－1乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，看成是使該數(shù)在數(shù)軸上發(fā)生一次改變的操作。（－1）×（－1）=1 這一事實(shí)也可以解釋為，使數(shù)軸上距離原點(diǎn)左邊一個(gè)單位的點(diǎn)，變換成數(shù)軸上距離原點(diǎn)右邊一個(gè)單位的點(diǎn)。如此說(shuō)來(lái)，“負(fù)負(fù)得正”并非“不言而喻”，而是一個(gè)深刻的幾何事實(shí)。如果你還難以理解的話，我們不妨分享一下張景中院士和任宏碩教授在 《漫話數(shù)學(xué)》中給出的代數(shù)方法，即根據(jù)0的性質(zhì)和結(jié)合律來(lái)直接推導(dǎo)。為什么－（－a）=a(a 是正數(shù))？他們的推導(dǎo)方法如下：

上述的推導(dǎo)過(guò)程，恰好印證了數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)－（－a）=a （a 是正數(shù)）的經(jīng)典解釋：把a(bǔ)看成自己的錢，－a就是一筆債務(wù)。－（－a）就是免除了這筆債務(wù)，即收入了一筆錢。

負(fù)數(shù)的啟迪

負(fù)數(shù)概念的建立在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是一個(gè)重要的里程碑。負(fù)數(shù)作為數(shù)概念的一次擴(kuò)展，其意義至少包含以下幾個(gè)方面：首先，負(fù)數(shù)的概念是客觀存在的。生活中存在著許多相反意義的量，人們無(wú)法對(duì)它完全回避。其次，負(fù)數(shù)是方程的需要。引入負(fù)數(shù)以后，可以使更多的方程有解，而且可以對(duì)方程作更一般的討論，而不必回避很多類型的方程。再次，負(fù)數(shù)還是數(shù)的運(yùn)算的必然結(jié)果。正如前面所述，兩個(gè)正數(shù)相減，不夠減就需要用負(fù)數(shù)來(lái)表達(dá)其運(yùn)算結(jié)果。引入負(fù)數(shù)，構(gòu)成整數(shù)系統(tǒng)，這樣對(duì)于加、減、乘的運(yùn)算就都是封閉的了。

為什么負(fù)數(shù)在東方能較早得到認(rèn)可，而在西方普遍較晚呢？以我國(guó)為例，至少有以下幾個(gè)方面的原因?qū)ω?fù)數(shù)概念的提出起到了促進(jìn)作用：首先，我國(guó)在漢朝的社會(huì)生產(chǎn)力大大提高，現(xiàn)實(shí)生活中具有相反意義的量不斷出現(xiàn)，實(shí)踐中提出許多與負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，使得負(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生成為一件必要的事；其次，我國(guó)數(shù)學(xué)家普遍具有實(shí)用的態(tài)度也是重要原因。東方數(shù)學(xué)比較注重實(shí)用，而不太注意邏輯的嚴(yán)密性。我國(guó)最早產(chǎn)生負(fù)數(shù)是為了解決生活中越來(lái)越多的虧欠、負(fù)債等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，是實(shí)踐的需要。在東方，人們對(duì)有用的就引入使用，并沒(méi)有糾纏于負(fù)數(shù)存在的邏輯基礎(chǔ)，或過(guò)多考慮其中可能存在的更深刻的矛盾。再有一點(diǎn)值得提及的是，我國(guó)傳統(tǒng)哲學(xué)所注重的陰陽(yáng)對(duì)立、矛盾雙方相反相成等辯證觀念，也深刻影響了我們對(duì)負(fù)數(shù)概念的理解。劉徽對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)就是從陰陽(yáng)對(duì)立、雙方相反相成的觀點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行論述的。

與此相對(duì)，這些有利于引入負(fù)數(shù)的條件在當(dāng)時(shí)的西方卻不具備，其中最重要的一點(diǎn)就是東西方在數(shù)學(xué)基本觀念上的差別。西方數(shù)學(xué)家繼承了古希臘的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，不像中國(guó)數(shù)學(xué)家那樣注重實(shí)用，而是更為強(qiáng)調(diào)邏輯。雖然西方人也會(huì)經(jīng)常面對(duì)生活中具有相反意義的量，但是他們的數(shù)學(xué)觀念阻礙了他們從實(shí)踐中產(chǎn)生負(fù)數(shù)的概念。可以說(shuō)，正是西方數(shù)學(xué)傳統(tǒng)中具有的對(duì)邏輯嚴(yán)密性的情有獨(dú)鐘的傾向，阻礙了西方人對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)可，同時(shí)也促使他們對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行了更深刻的思考。所以，東西方對(duì)于負(fù)數(shù)接受得早與晚，不能簡(jiǎn)單地用先進(jìn)或落后來(lái)評(píng)價(jià)，這段歷史倒是讓我們看到了不同民族的社會(huì)背景、傳統(tǒng)文化對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展造成的深刻影響。

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[本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題“本原性問(wèn)題驅(qū)動(dòng)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐研究”的階段成果（項(xiàng)目批號(hào)：B-a/2013/02/007）]

（作者單位：江蘇海安縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）