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        Schr?dinger Virasoro代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu)

        2016-07-31 23:19:20金婷婷
        湖州師范學(xué)院學(xué)報 2016年4期
        關(guān)鍵詞:全勤代數(shù)常數(shù)

        金婷婷,劉 東

        (湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州313000)

        Schr?dinger Virasoro代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu)

        金婷婷,劉 東

        (湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江湖州313000)

        研究李代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)問題是代數(shù)學(xué)研究中的一個重要問題.基于扭Heisenberg Virasoro代數(shù)的相關(guān)結(jié)果,利用根系階化的方法首先給出Schr?dinger Witt代數(shù)的所有Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu),進(jìn)而確定出Schr?dinger-Virasoro代數(shù)上的所有Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).該研究成果對于進(jìn)一步研究其他相關(guān)代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)有重要作用.

        Poisson代數(shù);Schr?dinger Virasoro代數(shù);Witt代數(shù);Virasoro代數(shù)

        MSC 2010:17B60,17B63,17B65

        無限維李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示理論對數(shù)學(xué)領(lǐng)域及物理學(xué)的發(fā)展都有極其重要的作用和影響.20世紀(jì)初,法國數(shù)學(xué)家E.Cartan給出了四類無限維李代數(shù),其中Virasoro代數(shù)是Witt代數(shù)的泛中心擴(kuò)張,是一類非常重要的無限維李代數(shù),隨后在Virasoro代數(shù)的基礎(chǔ)上又衍生了許多其他的代數(shù).1994年M.Henkel研究Schr?dinger自由方程不變性時引入了Schr?dinger-Virasoro代數(shù)的概念[1].

        Poisson代數(shù)源于Poisson幾何的研究,具有代數(shù)結(jié)構(gòu)和李代數(shù)結(jié)構(gòu),乘法與李代數(shù)乘法間滿足Leibniz法則.近來許多人研究了結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)問題:姚裕豐研究了Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)[2];靳全勤和佟潔研究了Toroidal李代數(shù)等李代數(shù)上結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)[3-4];Kubo研究了特征零情形下有限維Poisson代數(shù)[5],確定了仿射Kac-Moody代數(shù)上的所有結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)[6];在Kubo的研究基礎(chǔ)之上,靳全勤和佟潔系統(tǒng)地研究了擴(kuò)張仿射Kac-Moody代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)[7].

        目前,有關(guān)非交換、非結(jié)合的Poisson代數(shù)的研究較少.近來部分論文研究了Kac-Moody李代數(shù)、W(2,2),以及扭的Heisenberg-Virasoro代數(shù)上的非交換、非結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)[8-10].本文在文獻(xiàn)[9 -10]的基礎(chǔ)上研究Schr?dinger-Virasoro代數(shù)的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).由于Schr?dinger-Virasoro代數(shù)是Schr?dinger-Witt代數(shù)的普遍中心擴(kuò)張,因此本文首先給出Schr?dinger-Witt代數(shù)的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu),進(jìn)而確定Schr?dinger-Virasoro代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).

        在本文中,?總表示整數(shù)集,?表示復(fù)數(shù)域,所有的代數(shù)都定義在?上.

        1 基本概念

        定義1.1[10]根據(jù)定義,Schr?dinger-Virasoro代數(shù)L作為?上的向量空間有一組基{Li,Mi,Yp,C|i∈?,p∈?+1/2},且滿足如下關(guān)系式:

        Schr?dinger-Virasoro代數(shù)的由{Li,Mi,C|i∈?}生成的子代數(shù)稱為扭Heisenberg-Virasoro代數(shù),記為H.近來Schr?dinger-Virasoro代數(shù)表示理論得到了廣泛研究[1114].

        Poisson代數(shù)源于Poisson幾何的探究.它既是一個代數(shù),又是一個李代數(shù),且乘法與李代數(shù)乘法間滿足Leibniz法則.

        定義1.2[10]Poisson代數(shù)(A,*,[-,-])是指?上的一個向量空間A,同時具有代數(shù)乘法*以及李代數(shù)乘法[-,-],且滿足Leibniz法則:

        如果乘法*滿足結(jié)合律,則稱Poisson代數(shù)是結(jié)合的;如果乘法*滿足交換律,則稱Poisson代數(shù)是交換的.靳全勤和佟潔等主要研究了一些李代數(shù)上結(jié)合的或交換的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)[3-9],但是非結(jié)合、非交換的相關(guān)問題研究較少.本文主要研究李代數(shù)Schr?dinger-Virasoro代數(shù)上的一般Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)(非結(jié)合、非交換),進(jìn)而得到此代數(shù)上的結(jié)合或交換的Poisson結(jié)構(gòu).

        定理1.1[10]若H是?上的扭Heisenberg-Virasoro代數(shù),則H上的任何Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)滿足:

        ?m,n∈?,其余為零,其中k1∈?.

        2 Schr?dinger-Witt代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu)

        定義2.1[13]作為向量空間,Schr?dinger-Witt代數(shù)Q:=?{Li,Mi,Yp|i∈?,p∈?+1/2},且對?m,n∈?,p∈?+1/2滿足如下關(guān)系式:

        顯然Q關(guān)于Cartan子代數(shù)h=?{L0,M0}有分解[3]:

        引理2.1 如果在Schr?dinger-Witt代數(shù)Q上存在一個代數(shù)乘積*,使得(Q,*,[-,-])成為一個Poisson代數(shù),則有:

        證明 對任意的x∈Qi,y∈Qi,有:

        即x*y∈Qi+j,因此Qi*Qj?Q i+j.

        定理2.1 Schr?dinger-Witt代數(shù)Q上的任何Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)滿足:

        ?m,n∈?,其余為零,其中k1為常數(shù).

        證明 Q關(guān)于Cartan子代數(shù)h=?L0有分解:根據(jù)引理2.1,Qi*Qj?Qi+j,同時根據(jù)定理1.1,可假設(shè)Lm,Im之間乘法滿足(2)式~(4)式以及:

        由于[Mk,Lm*Yp]=[Mk,Lm]*Yp+Lm*[Mk,Yp]=-k Mm+k*Yp,但[Mk,Lm*Yp]=am,p[Mk,Ym+p]=0.因此有-kcm+k,pYm+k+p=0,從而cm+k,p=0,即

        類似上述討論,由下列等式:

        可推出

        其中c2為常數(shù).

        由于

        可推出Yp*Yq=c3(q-p)Mp+q,c3為常數(shù).

        注意到當(dāng)m+k≠0時,

        同樣,由于

        可推出k3=k1,c3=-k1.

        于是有

        ?m∈?,?p,q∈?+1/2,其中k1為常數(shù).定理得證.

        推論2.1 Schr?dinger-Witt代數(shù)上沒有非平凡的結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).

        3 Schr?dinger-Virasoro代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu)

        定理3.1 Schr?dinger-Virasoro代數(shù)上的任何Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)滿足如下形式:

        ?m,n∈?,?p,q∈?+1/2,其中k1為常數(shù).定理得證.

        證明 顯然Lm、Mm與Yp的Poisson乘法結(jié)構(gòu)與定理2.1相同.

        ①討論Lm與Mn的Poisson乘法結(jié)構(gòu).

        當(dāng)m+n≠0時,Lm*Ln,Lm*Mn,Mm*MnPoisson乘法結(jié)構(gòu)與定理2.1相同.

        當(dāng)m+n=0且n≠0時,可假設(shè):

        由于

        同時

        取k=-m,可推出

        從而

        類似上述討論,由等式:

        取k=-m,可推出

        ②討論Lm,Mn,Yp分別與C的Poisson乘法結(jié)構(gòu).

        得:

        當(dāng)m≠0時,有:

        當(dāng)m=0時,取k≠0,由于

        所以

        取k=1,得L0*C=0,從而Lm*C=0,?m∈?.類似上面的討論,由下列等式:

        所以,對C*Ln=0,Mn*C=0,C*Mn=0,?n∈?.

        當(dāng)m=0時,注意到

        于是有:

        故對?m∈?,有:

        類似地,容易得到:

        推論3.1 Schr?dinger-Virasoro代數(shù)L上沒有非平凡的結(jié)合的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu).

        [1]Henkel M.Schr?dinger invariance and strongly anisotropic critical systems[J].J Stat Phys,1994,75:1 023-1 029.

        [2]姚裕豐.Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)年刊,2013,34A(1):111-128.

        [3]靳全勤,佟潔.Toroidal李代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)年刊,2007,28A(1):57-70.

        [4]佟潔,靳全勤.李代數(shù)的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)Ⅱ[J].數(shù)學(xué)雜志,2010,30A(1):145-151.

        [5]KUBO F.Finite-dimensional non-commutative Poisson algebras[J].J Pure Appl Algebra,1996,113(3):307-314.

        [6]KUBO F.Non-commutative Poisson algebra struetures on affine Kac-Moody algebras[J].J Pure Appl Algebra,1998,126:267-286.

        [7]靳全勤,佟潔.廣義仿射李代數(shù)上的非交換Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2011,54A(4):561-570.

        [8]ZUSMANOVICH P A.Compendium of Lie structures on tensor products[J].Journal of Mathematical Science,2013,199(3):40-81.

        [9]李雅南,高壽蘭,劉東.李代數(shù)W(2,2)上的Poisson結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)年刊A輯,2016,In press.

        [10]趙曉曉,高壽蘭,劉東.扭Virasoro-Heisenberg代數(shù)上的Poisson結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報中文版,已錄用.

        [11]LI J B,SU Y C.Representations of the Schr?dinger-Virasoro algebras[J].Journal of Mathematical Physics,2008,49(5):053512.

        [12]LIU D.Classification of Harish-Chandra modules over some Lie algebras related to the Virasoro algebra[J].J Algebra,2016,447:548-559.

        [13]TAN S B,ZHANG X F.Automorphisms and Verma modules for generalized Schr?dinger-Virasoro algebras[J].J Algebra,2009,322(4):1 379-1 394.

        [14]ZHANG X F,TAN S B,LIAN H F.Whittaker modules for the Schr?dinger-Witt algebra[J].J Math Phys,2010,51(8):083524,17pp.

        Poisson Structure on the Schr?dinger-Virasoro Algebra

        JIN Tingting,LIU Dong
        (School of Science,Huzhou University,Huzhou 313000,China)

        It is important to determine Poisson algebra structures on a given Lie algebra.Based on such results on the twisted Heisenberg-Virasoro algebra,we firstly determine all Poisson structures on the Schr?dinger-Witt algebra by the method of root-graded,and then do researches on the Schr?dinger-Virasoro Algebra.The results can help to further determine Poisson structures on other relevant Lie algebras.

        Poisson algebras;Schr?dinger-Virasoro algebras;Witt algebras;Virasoro algebras.

        O152.5

        A

        1009-1734(2016)04-0001-06

        [責(zé)任編輯 高俊娥]

        2016-03-04

        國家自然科學(xué)基金項目(11371134,11201141);浙江省自然科學(xué)基金項目(LZ14A010001,LQ12A01005).

        劉東,教授,研究方向:李代數(shù).Email:liudong@hutc.zj.cn

        MSC 2010:17B60,17B63,17B65

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