羅鵬飛

(湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙,410079）

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基于雙指數(shù)跳擴(kuò)散過(guò)程下的一個(gè)最優(yōu)投資問(wèn)題

羅鵬飛

(湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙,410079）

摘要：假設(shè)企業(yè)收益流服從雙指數(shù)跳過(guò)程，本文得到了實(shí)物期權(quán)價(jià)值、最優(yōu)關(guān)閉清算水平和最優(yōu)投資水平的解析解。數(shù)值結(jié)果表明：最優(yōu)投資水平及期權(quán)價(jià)值隨著跳強(qiáng)度、上跳概率、指數(shù)分布均值增加而增加；企業(yè)最優(yōu)關(guān)閉水平隨著跳強(qiáng)度、上跳概率、指數(shù)分布均值增加而減少。在跳強(qiáng)度較大時(shí)，最優(yōu)投資水平、期權(quán)價(jià)值、最優(yōu)關(guān)閉清算水平受上跳概率和指數(shù)分布均值影響較大。

關(guān)鍵詞：雙指數(shù)跳過(guò)程；最優(yōu)投資水平；最優(yōu)關(guān)閉水平；期權(quán)價(jià)值

一、引言

企業(yè)收益經(jīng)常會(huì)受到一些突發(fā)事件的影響，因此，企業(yè)盈利水平在連續(xù)隨機(jī)變化的同時(shí)，偶爾會(huì)在某個(gè)隨機(jī)時(shí)刻發(fā)生幅度不確定的跳躍變化。例如：2014年的第一個(gè)交易日美國(guó)原油下跌3.08美元，接著一路震蕩走升，于6月20日達(dá)到本年度最高點(diǎn)，較年初上漲12.50％。然而，12月26日美國(guó)原油較年內(nèi)最高價(jià)下跌約48.97％。由于這個(gè)原因，相比通常單純的連續(xù)擴(kuò)散模型，跳擴(kuò)散過(guò)程更能夠準(zhǔn)確地描述企業(yè)收益的變化。特別地，本文假設(shè)投資收益服從雙指數(shù)跳過(guò)程。這是因?yàn)樵撨^(guò)程具有三個(gè)好的性質(zhì)：一是雙指數(shù)跳擴(kuò)散過(guò)程既有上跳，又有下跳，故更符合真實(shí)市場(chǎng)情況；二是與正態(tài)分布相比,雙指數(shù)分布擁有資產(chǎn)收益率分布的尖峰和厚尾特性；三是它的無(wú)記憶特性便于計(jì)算停時(shí)的拉普拉斯轉(zhuǎn)換，因而容易得到資產(chǎn)價(jià)格的解析解。

Merton(1976)[1]最先考慮了跳擴(kuò)散模型。Kou (2002)[2]首次研究了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型，繼而Kou and Wang(2003，2004)[3～4]研究了首達(dá)時(shí),得到了基礎(chǔ)資產(chǎn)服從雙指數(shù)跳過(guò)程下的美式期權(quán)價(jià)格。Dixit and Pindyck(1994)[5]，鄭德淵（2004）[6]，范玉蓮和王廣富（2008）[7]，楊海生和陳少陵（2009）[8]研究了一般跳模型下的實(shí)物期權(quán)問(wèn)題，然而這些模型都沒(méi)有解析解。Koh and Paxson(2006)[9]考慮了雙指數(shù)跳模型下的永久性美式期權(quán)，它與本文最為相似。但是，本文與其有如下幾點(diǎn)不同：首先，由于企業(yè)存在運(yùn)行成本，因此本文還考慮了企業(yè)關(guān)閉水平，以及這一因素對(duì)實(shí)物期權(quán)價(jià)值的影響。其次，Koh and Paxson(2006)[9]利用偏微分方程方法獲得永久性美式期權(quán)價(jià)值，計(jì)算較復(fù)雜；與此不同，本文采取期望概率方法，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程；最后，Koh and Paxson(2006)[9]的基礎(chǔ)資產(chǎn)為企業(yè)價(jià)值，而本文的基礎(chǔ)資產(chǎn)是更具代表性的企業(yè)現(xiàn)金流流。

本文假設(shè)企業(yè)受益流服從雙指數(shù)跳過(guò)程，得到期權(quán)價(jià)值，最優(yōu)關(guān)閉清算水平和最優(yōu)投資水平的解析解。數(shù)值結(jié)果表明：最優(yōu)投資水平、期權(quán)價(jià)值隨著跳強(qiáng)度、上跳概率、指數(shù)分布均值增加而增加；最優(yōu)關(guān)閉清算水平隨著跳強(qiáng)度、上跳概率、指數(shù)分布均值增加而減少。同時(shí)，在跳強(qiáng)度較大時(shí)，最優(yōu)投資水平、期權(quán)價(jià)值、最優(yōu)關(guān)閉清算水平受上跳概率和指數(shù)分布均值影響較大；反之，影響較小。

余下內(nèi)容安排如下：第2節(jié)基于雙指數(shù)跳過(guò)程，建立企業(yè)實(shí)物期權(quán)模型；得到期權(quán)價(jià)值，最優(yōu)投資水平和最優(yōu)關(guān)閉水平的解析解；第3節(jié)為數(shù)值模擬分析；第4節(jié)是結(jié)論。

二、模型

1.預(yù)備知識(shí)

假設(shè)企業(yè)投資一個(gè)項(xiàng)目后，其產(chǎn)生隨機(jī)收益流X滿(mǎn)足[參見(jiàn)Chen and Kou(2009)[10]]：

其中常數(shù)μ是企業(yè)現(xiàn)金流風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后的平均增長(zhǎng)率，常數(shù)σ＞0是收益流的擴(kuò)散波動(dòng)率。B是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。對(duì)于跳部分，ξ是均值比例跳大小，由后面式（3）給出。N是跳強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，Zi服從獨(dú)立同分布，且為非負(fù)隨機(jī)變量。隨機(jī)源N，B，Zi相互獨(dú)立。

顯然，式（1）有如下唯一解：

其中x=X0＞0是企業(yè)當(dāng)前收益流水平。

為了簡(jiǎn)化表達(dá)式，引入變量Yi:=1n(Zi)，從而，式（2）可化簡(jiǎn)為

隨機(jī)過(guò)程Yi的密度函數(shù)具有對(duì)稱(chēng)雙指數(shù)分布，即

其中p，q分別代表上跳和下跳的概率，且p，q＞0，p+q=1。兩個(gè)指數(shù)分布的均值分別為1/η1和1/η2。

記β1，β2，-β3，-β4分別為如下方程的四個(gè)根根據(jù) Chen and Kou(2009)[7]，有 -∞＜-β4＜-η2＜-β3＜0＜β1＜η1＜β2＜∞.

令τd(x)是收益流X到達(dá)下水平xc的首達(dá)時(shí)（下首達(dá)時(shí)），即τd(x)=inf{t≥0:Xt≤xc}。τu(x)是收益流X到達(dá)上水平xu的首達(dá)時(shí)（上首達(dá)時(shí)），即τu(x) =inf{t≥0:Xt≤xu}。根據(jù)Kou and Wang(2004)[4]和Dao and Jeanblanc(2006)[11],可得如下結(jié)論：

命題1：（1）在下首達(dá)時(shí)獲得一單位價(jià)值的現(xiàn)值為：

（2）在下首達(dá)時(shí)獲得收益的權(quán)益現(xiàn)值為：

（3）在上首達(dá)時(shí)獲得一單位價(jià)值的現(xiàn)值為：

（4）在上首達(dá)時(shí)獲得收益Xζτu的權(quán)益現(xiàn)值為：

2.企業(yè)價(jià)值與最優(yōu)關(guān)閉水平

假設(shè)企業(yè)收益流滿(mǎn)足方程（1）。f是企業(yè)運(yùn)行時(shí)的單位成本，則企業(yè)獲得的收益流為給定一個(gè)正的生產(chǎn)成本，一旦企業(yè)收益流低于某一水平（xc）時(shí)，企業(yè)清算所有資產(chǎn)。在清算時(shí)刻，參見(jiàn)Egami(2006)[12]的模型，本文假設(shè)企業(yè)獲得固定的清算價(jià)值（企業(yè)清算時(shí)所獲得的價(jià)值）為γ。于是，公司價(jià)值由下式確定：

由光滑黏貼條件，可得最優(yōu)關(guān)閉水平xc*滿(mǎn)足

由命題1，公司的價(jià)值和最優(yōu)關(guān)閉水平由如下命題給出。

命題2企業(yè)價(jià)值為：

企業(yè)最優(yōu)關(guān)閉水平為

經(jīng)濟(jì)分析：根據(jù)命題2的結(jié)論，可知：企業(yè)的運(yùn)行成本較高，給企業(yè)造成較大的現(xiàn)金支出，從而增加企業(yè)清算水平。較高的清算價(jià)值也激勵(lì)企業(yè)提高其清算水平。

3.期權(quán)價(jià)值與最優(yōu)投資水平

在計(jì)算完投資后的資產(chǎn)價(jià)值（企業(yè)價(jià)值），根據(jù)Mauer和Sarkar（2005）[14]，容易得到投資機(jī)會(huì)（實(shí)物期權(quán)）價(jià)值F（x)滿(mǎn)足：

其中I為沉沒(méi)成本。最優(yōu)投資觸發(fā)水平xu*滿(mǎn)足光滑粘貼條件：

由命題1，期權(quán)價(jià)值和企業(yè)最優(yōu)投資水平由下列命題給出。

命題3期權(quán)價(jià)值為：

最優(yōu)投資水平xu是如下代數(shù)方程的根：

注解：如果考慮企業(yè)是一個(gè)純股權(quán)結(jié)構(gòu)的企業(yè)，且運(yùn)行中產(chǎn)生的成本可忽略，則有f=0和γ=0，由命題3，可知最優(yōu)投資水平為這一結(jié)論與Koh and Paxson(2006)[9]一致。實(shí)際上，在企業(yè)做決策時(shí)，企業(yè)運(yùn)行中產(chǎn)生的成本是不可忽略的一個(gè)重要因素。另外，清算價(jià)值也影響企業(yè)的最優(yōu)投資水平和清算關(guān)閉水平。例如：在自然資源的開(kāi)采與關(guān)閉決策中，清算價(jià)值是一個(gè)重要的影響因子。故而，本文的理論研究較Koh and Paxson(2006)[9]更加結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，為現(xiàn)實(shí)提供理論依據(jù)和判斷準(zhǔn)則。

三、數(shù)值模擬分析

本文的基本參數(shù)如下：跳參數(shù)部分參見(jiàn)Kou and Wang（2004）[4]，上跳概率 p=0.6（q=0.4），η1=25，η2=50，跳強(qiáng)度λ=5。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.05，擴(kuò)散波動(dòng)率σ=0.3，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的增長(zhǎng)率μ=0.01。投資成本I=10，清算價(jià)值γ=2[參見(jiàn)Egami(2006)[12]]，運(yùn)行成本f=0.1，當(dāng)前現(xiàn)金流水平x=1。

圖1　

1.最優(yōu)投資水平

從圖1（a）可知，當(dāng)收益流的擴(kuò)散波動(dòng)率系數(shù)較大時(shí)，企業(yè)延遲投資（underinvest）,此時(shí)等待更有價(jià)值。圖1（b）表明：收益流的預(yù)期增長(zhǎng)率較大時(shí)會(huì)激勵(lì)企業(yè)產(chǎn)生過(guò)度投資（overinvestment）的動(dòng)機(jī)。自然地，市場(chǎng)行情較好，企業(yè)較早投資便能獲得市場(chǎng)利潤(rùn)。圖1（c）表明：企業(yè)收益流行較低時(shí)迫使企業(yè)停止開(kāi)采，此時(shí)，企業(yè)獲得清算價(jià)值較高的話(huà)，就可以彌補(bǔ)因企業(yè)過(guò)度投資造成的損失。圖1(d)表明：隨著企業(yè)收益流跳風(fēng)險(xiǎn)的上跳概率增加，企業(yè)投資將延遲，上跳概率使得企業(yè)等待更有價(jià)值。圖1（e）、圖1（f）表明：隨著指數(shù)分布均值的減少，企業(yè)最優(yōu)的投資水平將提前。同時(shí)，當(dāng)指數(shù)分布的均值在較大值范圍變化時(shí)，投資水平變化明顯，而在較小值范圍內(nèi)變化時(shí)，投資水平變化不明顯。由于外界因素而導(dǎo)致的對(duì)于企業(yè)收益流產(chǎn)生的劇烈波動(dòng)程度用跳強(qiáng)度來(lái)刻畫(huà)。通過(guò)圖1，可知：當(dāng)收益流波動(dòng)較大時(shí)，企業(yè)總會(huì)延遲投資。同時(shí)，圖1（d） 至圖1（f） 可知：在企業(yè)收益流受外界產(chǎn)生的波動(dòng)程度較大時(shí)，上跳概率、指數(shù)分布的均值對(duì)企業(yè)投資水平的影響顯著。

2.最優(yōu)關(guān)閉水平

當(dāng)企業(yè)收益流的擴(kuò)散波動(dòng)率較大時(shí)，企業(yè)會(huì)在較低的收益流水平關(guān)閉。此時(shí)，延遲關(guān)閉對(duì)企業(yè)有價(jià)值，如圖2（a）所示。圖2（b）表明：企業(yè)收益流預(yù)期的增長(zhǎng)率較大時(shí)，此時(shí)，企業(yè)延遲關(guān)閉是有利的。當(dāng)企業(yè)關(guān)閉，獲得的清算價(jià)值較大時(shí)，企業(yè)會(huì)在收益流較低時(shí)較早放棄而獲得清算價(jià)值，見(jiàn)圖2（c）。圖2（d）表明：企業(yè)關(guān)閉水平是上跳概率減函數(shù)。當(dāng)企業(yè)收益流上行的可能性較大時(shí)，此時(shí)延遲關(guān)閉對(duì)于企業(yè)是有價(jià)值。圖2（e）、圖2 （f）表明：企業(yè)收益流中跳部分的指數(shù)分布均值較小時(shí)，企業(yè)關(guān)閉清算水平較高。在較小值的范圍內(nèi)變化時(shí)，關(guān)閉清算水平收到的影響較小。反之，關(guān)閉清算水平變化明顯。跳強(qiáng)度也會(huì)對(duì)關(guān)閉清算水平產(chǎn)生影響。圖2反映：當(dāng)宏觀因素對(duì)企業(yè)沖擊較大時(shí)，企業(yè)會(huì)選擇較低的收益流水平關(guān)閉清算，因?yàn)榇藭r(shí)企業(yè)收益流存在上行的可能，這樣對(duì)企業(yè)是有價(jià)值的。此外，圖2（d）至圖2（f），可知：在跳強(qiáng)度較小時(shí)（如λ=1），上跳概率和指數(shù)分布均值對(duì)最優(yōu)的關(guān)閉清算水平影響較小。而在跳強(qiáng)度較大時(shí)（λ=5），隨上跳概率和指數(shù)分布均值的變化，企業(yè)關(guān)閉清算水平變化比較明顯。

3.期權(quán)價(jià)值

圖3（a）表明：當(dāng)企業(yè)收益流擴(kuò)散部分的波動(dòng)率較大時(shí)，此時(shí)企業(yè)的期權(quán)價(jià)值較大。由圖1 （a）可知，波動(dòng)率較大時(shí)，企業(yè)投資水平較高。圖3（b）表明：企業(yè)收益流的預(yù)期增長(zhǎng)率較大時(shí)，自然企業(yè)的期權(quán)價(jià)值較高。清算價(jià)值與期權(quán)價(jià)值呈正相關(guān)，見(jiàn)圖3（c）。圖3（d）表明：上跳概率的增加對(duì)企業(yè)期權(quán)價(jià)值產(chǎn)生正的影響。宏觀因素促使企業(yè)收益流上行可能性較大，企業(yè)等待更有價(jià)值。而圖3（e）至3（f） 表明：隨著指數(shù)分布的均值減少時(shí)，期權(quán)價(jià)值也減少。從圖3可知：期權(quán)價(jià)值是跳強(qiáng)度的增函數(shù)。同時(shí)，在跳強(qiáng)度較小時(shí)（λ=1），跳參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響較??；反之，影響明顯。

四、結(jié)論

實(shí)物期權(quán)方法在實(shí)物投資中得到了廣泛的運(yùn)用，但是，針對(duì)收益含有劇烈跳變化的投資理論還很少。隨著人類(lèi)活動(dòng)范圍的不斷擴(kuò)大，突發(fā)事情存在增多的趨勢(shì)，基于跳擴(kuò)散模型的實(shí)物投資理論愈加重要。本文討論的雙指數(shù)跳擴(kuò)散過(guò)程具有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是它比較真實(shí)；二是可以得到模型的解析解。本文還考慮了企業(yè)的運(yùn)行成本，從而企業(yè)會(huì)選擇一個(gè)較高的清算水平。企業(yè)在做投資和關(guān)閉決策時(shí)，充分考慮宏觀因素等突發(fā)事前的影響，可以避免企業(yè)應(yīng)不明投資前景而過(guò)早投資的損失。研究表明：清算價(jià)值增加會(huì)對(duì)企業(yè)投資動(dòng)機(jī)和期權(quán)價(jià)值產(chǎn)生正的效應(yīng)；突發(fā)事件越頻繁，期權(quán)價(jià)值越大，因而企業(yè)應(yīng)選擇延遲投資，避免過(guò)度投資造成期權(quán)價(jià)值的損失，跳因素（即上行概率和指數(shù)分布均值）的變化對(duì)企業(yè)的投資水平和期權(quán)價(jià)值的影響愈加顯著。

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（責(zé)任編輯：羅蕾）

中圖分類(lèi)號(hào)：F304；F724.72

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-2107(2016)03-0044-07

收稿日期：2016－02－25

作者簡(jiǎn)介：羅鵬飛（1990—），湖南大學(xué)金屬與統(tǒng)計(jì)學(xué)院博士生，研究方向：資產(chǎn)定價(jià)與公司金融。

An Optimal Investment With a Double Exponential Jump-diffusion Process

LUO Peng-fei
(School ofFinance and Statistics,Hunan University,Changsha,410079,China)

Abstract：Supposing that the cash flow of a project follows a double exponential jump-diffusion process,we explicitly derive the value of the option to invest in the project,optimal investment threshold and optimal closure level.We show that the investment threshold and option value increase with jump intensity,upward probability and the mean of the double exponential distribution,while the closure level decreases with jump intensity,upward probability and the mean of the double exponential distribution.If jump intensity is high,upward probability and the mean of the double exponential distribution have a larger impact on the optimal investment threshold,option value and optimal closure level.

Key words：a double exponential jump-diffusion process;optimal investment threshold;optimal closure level;option vale