段美君，周荻（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

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控制量受限情況下的有限時間收斂制導(dǎo)律

段美君，周荻
（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

摘要：針對動能攔截器攔截臨近空間高速機動目標的問題，基于零化視線角速率原理，應(yīng)用有限時間收斂理論推導(dǎo)出了控制量受限情況下的Bang-Bang型滑模制導(dǎo)律有限時間收斂條件，既適用于二維平面情況又適用于三維空間問題。通過設(shè)計制導(dǎo)律中滯環(huán)控制開關(guān)門限的上下限，在視線角速率可控的條件下去除了其抖振。仿真結(jié)果表明，制導(dǎo)律有限時間收斂，具有較高的制導(dǎo)精度，并對目標機動具有魯棒性。

關(guān)鍵詞：控制科學(xué)與技術(shù)；滑模制導(dǎo)律；有限時間收斂；控制量受限；滯環(huán)控制開關(guān)

0　引言

臨近空間高超聲速飛行器具有飛行速度快、巡航高度高和突防能力強等特點，已經(jīng)超過了現(xiàn)有防空武器的攔截能力。臨近空間動能攔截器是一種不攜帶戰(zhàn)斗部，利用高速飛行的動能直接碰撞殺傷目標的飛行器。因其體積小、質(zhì)量輕，通過直接力控制實現(xiàn)精確制導(dǎo)，是對高速機動目標實施攔截的有效武器。精度高、魯棒性強的制導(dǎo)律是臨近空間攔截器的一項關(guān)鍵技術(shù)。

臨近空間動能攔截器因體積小，采用捷聯(lián)導(dǎo)引頭，并把姿態(tài)控制發(fā)動機安裝在彈體尾部以實現(xiàn)彈體坐標系跟蹤視線坐標系，保證目標在視場范圍內(nèi)。軌道控制發(fā)動機安裝在彈體縱軸，提供通過質(zhì)心垂直于視線的變軌推力實現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤，但只能以脈沖式工作，難以實現(xiàn)連續(xù)變推力。比例導(dǎo)引律［1］性能優(yōu)良而得到廣泛使用，但其過載指令垂直于速度方向且是連續(xù)變化的，與攔截器軌控發(fā)動機安裝方式和輸出推力不匹配。通過脈寬脈頻（PWPF）調(diào)制［2］可實現(xiàn)數(shù)字變推力，但參數(shù)選擇基于經(jīng)驗，且非線性特性帶來設(shè)計和分析困難，特別是可能因為附加的控制延遲產(chǎn)生極限環(huán)振蕩等系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象［3-4］?；诹憧孛摪辛浚?-6］（ZEM）的制導(dǎo)方法，需要對目標的運動狀態(tài)進行預(yù)測并實時解算出期望的速度增量，因此不適用對高速機動目標實施精確攔截的要求。考慮軌控推力的特點，滑模制導(dǎo)律［7］可以通過限制視線角速率實現(xiàn)準平行接近，并對系統(tǒng)攝動和外界干擾具有魯棒性。建立在Lyapunov理論上的魯棒制導(dǎo)律只保證漸進穩(wěn)定或指數(shù)穩(wěn)定，而對于臨近空間高速機動目標，精確制導(dǎo)時間很有限，有限時間收斂［8］的魯棒制導(dǎo)律才能達到精確末制導(dǎo)要求。

滑模制導(dǎo)律［7-9］存在抖振的問題，易導(dǎo)致軌控發(fā)動機頻繁開機，影響其工程應(yīng)用。針對抖振問題，常用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)去除抖振，但是因為目標機動，切換增益難于取值，影響系統(tǒng)制導(dǎo)性能。對于臨近空間攔截器而言，在末制導(dǎo)過程中，彈體動態(tài)響應(yīng)過程取決于軌控發(fā)動機的動態(tài)特性，此動態(tài)特性在一定程度上帶來過載跟蹤制導(dǎo)指令的滯后。但一般來講，攔截器所采用的軌控發(fā)動機都有很快的響應(yīng)特性，例如10ms就可以上升到指令的90%，對制導(dǎo)精度不會產(chǎn)生顯著影響。目標的逃逸機動是影響制導(dǎo)精度的一個主要因素，為了提高制導(dǎo)精度，非線性系統(tǒng)中機動目標的跟蹤問題［10-12］已有大量的研究成果，一般需要假設(shè)目標的機動模型及隨機機動的統(tǒng)計學(xué)特性，廣泛采用濾波方法得到目標機動加速度的估計值［13］。

針對上述問題，本文應(yīng)用滑模制導(dǎo)律，通過軌控發(fā)動機控制視線角速率保持在零附近，實現(xiàn)準平行接近?；谟邢迺r間收斂理論給出了制導(dǎo)律有限時間收斂的條件，并設(shè)計了帶滯環(huán)特性的控制開關(guān)，解決了抖振問題，減少了發(fā)動機的開關(guān)次數(shù)，節(jié)省了燃料，具有工程應(yīng)用價值。通過仿真驗證，對于高速機動目標所設(shè)計的制導(dǎo)方法制導(dǎo)精度高、魯棒性強，并可設(shè)計開關(guān)門限減小燃料消耗。

1　末制導(dǎo)數(shù)學(xué)模型描述

為了研究實際三維空間內(nèi)的末段制導(dǎo)問題，先以平面內(nèi)的制導(dǎo)問題為基礎(chǔ)進行說明，再做進一步推廣。因此，先建立平面內(nèi)的數(shù)學(xué)模型，如圖1所示為平面內(nèi)的導(dǎo)彈-目標相對運動關(guān)系，可得到相對運動方程如（1）式和（2）式所示。

圖1　平面內(nèi)目標-導(dǎo)彈相對運動關(guān)系Fig.1 Relative motion of missile and target on a plane

式中：R代表目標與導(dǎo)彈之間的相對距離；vt和vm分別代表目標速率和導(dǎo)彈速率；q代表視線角；φt和φm分別代表目標和導(dǎo)彈的速度方向角。

式中：at，LOS和am，LOS分別是目標加速度和導(dǎo)彈加速度在視線方向上的分量；at，LOS，n和am，LOS，n分別是目標加速度和導(dǎo)彈加速度在視線法向上的分量。在末制導(dǎo)問題中，am，LOS保證彈-目相對速度vm，t＜0；在空間攔截等實例中，導(dǎo)彈迎頭攔截目標，這時可以令am，LOS≡0.設(shè)計制導(dǎo)律的關(guān)鍵在于如何通過am，LOS，n控制視線角速率，令其趨近于0，從而實現(xiàn)準平行接近。因此，選擇狀態(tài)變量x=，由（4）式可得視線角速率狀態(tài)方程如（9）式，作為平面內(nèi)設(shè)計制導(dǎo)律模型，控制輸入 u=am，LOS，n，目標機動干擾 w= at，LOS，n.

接下來，建立三維制導(dǎo)空間下的數(shù)學(xué)模型，假設(shè)導(dǎo)彈和目標均為質(zhì)點，其相對運動方程［14］為

式中：符號與平面相對運動方程（3）式和（4）式對應(yīng)；qε和qβ分別為視線傾角和視線偏角，導(dǎo)彈和目標加速度在視線坐標系3個軸的分量分別為和

與平面制導(dǎo)問題相同，am，LOS，R保證彈-目相對速度vm，t＜0.設(shè)計制導(dǎo)律的關(guān)鍵在于末制導(dǎo)過程中如何通過am，LOS，n，ε和am，LOS，n，β使得視線角速率ε和β趨近于0，從而實現(xiàn)準平行接近。選擇x1=ε，x2=β，由（11）式和（12）式得到具有耦合特性的三維空間下的視線角速率狀態(tài)方程如（13）式，作為三維空間下設(shè)計制導(dǎo)律模型，控制輸入 u1=

2　控制量受限的有限時間收斂制導(dǎo)律設(shè)計

2.1制導(dǎo)律設(shè)計

為了研究控制量受限情況下的有限時間收斂制導(dǎo)律，先給出有限時間收斂的定義和引理，作為研究制導(dǎo)律的理論基礎(chǔ)。

引理 考慮非線性系統(tǒng)，假定存在一個定義在原點的領(lǐng)域 ^U?Rn上的C1光滑函數(shù)V（x，t），并且存在實數(shù)α＞0和0＜λ＜1，使得V（x，t）在 ^U上正定和（x，t）+αVλ（x，t）在 ^U上半負定，則系統(tǒng)的原點是有限時間穩(wěn)定的。收斂時間滿足

由于動能殺傷攔截器（EKV）軌控發(fā)動機只能提供常值推力，忽略EKV質(zhì)量變化，推力產(chǎn)生的加速度為常值，即平面系統(tǒng)模型的控制輸入u=Msgn x，三維空間系統(tǒng)模型控制輸入u1=Msgn x1和u2= -Msgn x2，其中常值M為加速度幅值。上述平面和三維空間下制導(dǎo)律帶有常值約束，其有限時間收斂性質(zhì)分別如定理1和定理2所述。

定理1 對于（9）式所示制導(dǎo)系統(tǒng)模型，在末制導(dǎo)過程中，若滿足常值加速度M＞|-2x（0）|+ ‖at，LOS，n‖，則制導(dǎo)律u=Msgn x可以保證視線角速率有限時間收斂，且M越大，收斂速度越快。如果導(dǎo)彈與目標相對接近速度可近似為常值，可保證視線角速率在制導(dǎo)結(jié)束前就能收斂到0.

證明：選取Lyapunov函數(shù)

則V1（x）沿系統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)為

將控制量方程代入系統(tǒng)方程（9）式，代入（16）式得

實際中彈-目相對運動速度可近似為常值c，則R（t）=R（0）-ct，由（18）式得

在定理1中，得到了如（9）式所示的平面內(nèi)導(dǎo)彈目標相對運動視線角有限時間收斂的條件，由于如（14）式所示在三維空間下，俯仰和偏航通道間存在耦合，需要進一步研究視線角速率有限時間收斂的條件，在定理1的基礎(chǔ)上進一步給出定理2.

定理2 對于（14）式所示制導(dǎo)系統(tǒng)模型，在末制導(dǎo)過程中，若滿足M＞|-2max（x1（0），x2（0））|+ ‖at，LOS，n‖，則制導(dǎo)律u1=Msgn x1和u2=-Msgn x2可以保證俯仰、偏航視線角速率有限時間收斂，且M越大，收斂速度越快。如果導(dǎo)彈與目標相對接近速度可近似為常數(shù)，可保證俯仰、偏航視線角速率在制導(dǎo)結(jié)束前就能收斂到0.

構(gòu)造光滑正定Lyapunov函數(shù)對（21）式求導(dǎo)，由定理1、cos qε＜1和均值不等式有

在末制導(dǎo)過程中，相對距離R減小，R＜R（0），

對照（23）式與（18）式可知，在三維空間下，如果導(dǎo)彈與目標相對接近速度可近似為常數(shù)，制導(dǎo)律仍能保證俯仰、偏航視線角速率在制導(dǎo)結(jié)束前就能收斂到0.證畢。

根據(jù)定理1和定理2中的有限時間收斂條件可知，在中、末制導(dǎo)交班初始時刻，EKV的軌控發(fā)動機產(chǎn)生的常值加速度M只要大于|-2x（0）|與目標機動加速度的界‖at，LOS，n‖二者的和，就可保證在末制導(dǎo)過程結(jié)束前視線角速率有限時間收斂到0.但是制導(dǎo)律中符號函數(shù)的存在，使得在視線角速率收斂到0后，控制量會產(chǎn)生抖振問題。使用滯環(huán)開關(guān)控制方法，解決抖振帶來的發(fā)動機頻繁開啟問題。

2.2滯環(huán)開關(guān)門限設(shè)計

控制量的抖動使發(fā)動機頻繁開啟，不僅浪費燃料，產(chǎn)生的振動還會影響彈上慣性導(dǎo)航系統(tǒng)和導(dǎo)引頭的工作，使制導(dǎo)性能降低。通過選擇合適的關(guān)閉和開啟門限，可保證視線角速率在門限區(qū)間內(nèi)小范圍運動。其中關(guān)閉門限避免了控制量的抖振，開啟門限使視線角速率有界。因視線角速率很小并不影響制導(dǎo)性能，仍能實現(xiàn)準平行接近。以此去除抖振和減少燃料消耗。關(guān)于（9）式所示平面內(nèi)制導(dǎo)系統(tǒng)模型，關(guān)閉和開啟門限值的選擇和滯環(huán)控制開關(guān)如定理3所示。

證明：當視線角速率為x1，發(fā)動機保持開啟狀態(tài)不變，視線角速率在控制作用下繼續(xù)收斂，由系統(tǒng)方程（9）式，經(jīng)過一個制導(dǎo)周期后的視線角速率為

當視線角速率為x3，發(fā)動機保持關(guān)閉狀態(tài)不變，視線角速率在無控下繼續(xù)發(fā)散，由系統(tǒng)方程（9）式，經(jīng)過一個制導(dǎo)周期后的視線角速率為

當x＞0時，am，LOS，n=M，關(guān)閉和開啟門限分別為

當x＜0時，am，LOS，n=-M ，關(guān)閉和開啟門限分別為

市面上使用酒精爐的火鍋店較多，主要分為液體酒精爐、固體酒精爐等幾種。孕媽媽要注意的是，如果使用液體酒精爐，服務(wù)員不能在餐桌上直接進行酒精爐操作，在對酒精爐添加酒精時，服務(wù)員需先蓋滅爐火，然后到獨立操作間中操作。若不遵循這一操作流程，很可能有發(fā)生意外的危險。

可知只有在目標不機動即 at，LOS，n=0時，才有，門限具有對稱特性；且門限大小只與距離R（t）有關(guān)，隨著R（t）減小，關(guān)閉門限增大，開啟門限減小。同時考慮末制導(dǎo)過程中彈體動態(tài)特性和目標機動逃逸，門限需要自適應(yīng)調(diào)整；但實際中開關(guān)門限在極限值范圍內(nèi)即可去除抖振，考慮各種干擾的存在，加入邊界層δ，使視線角速率在與邊界層距離為時δ，即執(zhí)行開關(guān)指令，無需達到極限值。對于三維空間下的制導(dǎo)模型（13）式，方程中的耦合項是2階小量，對門限的影響不大，因此可以直接使用定理3中的門限開關(guān)。

3　數(shù)字仿真

以臨近空間飛行器攔截來襲彈道導(dǎo)彈為例，末制導(dǎo)初始時刻，彈道導(dǎo)彈在發(fā)射點慣性系中的位置向量為rm=［244 589.3 m 93 277.7 m -1 574.7 m］，速度向量為vm=［-4 510.2 m/s -66.7 m/s -59.3 m/s］，臨近空間飛行器EKV在發(fā)射點慣性系中的位置向量為rEKV=［144636.8 m 95617.9 m -546.5 m］，速度向量為vEKV=［3 491.7 m/s -217.5 m/s -105.1 m/s］，初始質(zhì)量為 mEKV= 21.56 kg，發(fā)動機比沖Isp=200 N·s/kg.導(dǎo)引頭數(shù)據(jù)采樣周期和制導(dǎo)控制周期為15 ms.

由仿真初始條件，可計算出初始相對距離和相對速度為R（0）=99.985 km，（0）=-8 003.3 m/s，零控脫靶量為1 241.3 m.末制導(dǎo)開始時刻相對于發(fā)射點慣性系的視線仰角qε（0）=-1.34°和視線偏角qβ（0）=0.59°均為小角度，因此直接選用發(fā)射點慣性系作為末制導(dǎo)參考系。

3.1控制量受限對制導(dǎo)特性的影響

表1　制導(dǎo)律仿真結(jié)果Tab.1 Simulated results of guidance law

圖2　視線俯仰角速率變化Fig.2 Variation of LOS pitching angular rate

由仿真結(jié)果可知，在滿足定理2中的有限時間收斂條件時，脫靶量很小，視線角速率在有限時間內(nèi)收斂到0，推力越大，收斂時間越小。且均在制導(dǎo)結(jié)束前收斂到0.同時，隨著推力的增大，燃料消耗增加，視線角速率抖振加劇，脫靶量略微增大。在推力為120 N時，不滿足有限時間收斂條件，視線角速率發(fā)散，導(dǎo)致脫靶。

3.2目標機動特性的影響

圖3　縱向軌控加速度變化Fig.3 Variation of longitudinal track acceleration

目標機動使制導(dǎo)性能變差，但滑模制導(dǎo)律對干擾具有魯棒性；同時考慮定理3中有限時間收斂條件，需要進一步驗證目標機動特性對制導(dǎo)律有限時間收斂的影響。仿真初始條件不變，軌控發(fā)動機推力為400 N，則M=18.54，可知當at，LOS，n＜12.69 m/s2時，滿足有限時間收斂條件。對目標非機動、常值at，LOS，n，ε=-15 m/s2縱向機動和進行如圖4所示縱向機動3種情況進行仿真，得到俯仰視線角速率如圖5所示。

圖4　目標縱向機動加速度Fig.4 Longitudinal maneuvering acceleration of target

從圖5中可以看出：在at，LOS，n，ε=-15 m/s2時因不滿足有限時間收斂條件，視線角速率發(fā)散；在目標機動時由于初始存在-5 m/s2的加速度，滿足定理3中的條件仍有限時間收斂，但相對于目標非機動情況收斂時間增大。在視線角速率收斂到0后，在4～10 s加入幅值和方向不同的加速度，視線角速率保持在0附近，表明制導(dǎo)律對目標機動干擾具有魯棒性；且只有在目標機動加速度與視線角速率符號一致時才會導(dǎo)致其快速發(fā)散；在6～8 s由于視線角速率已經(jīng)收斂得很小，此時at，LOS，n，ε=-15 m/s2時仍然穩(wěn)定。在10 s后機動加速度增大到-25 m/s2，不再滿足有限時間收斂條件，視線角速率發(fā)散，脫靶量明顯增大。

圖5　視線俯仰角速率變化Fig.5 Variation of LOS pitching angular rate

3.3滯環(huán)控制開關(guān)的作用

有限時間收斂控制律中符號函數(shù)的存在導(dǎo)致如圖3所示視線角速率發(fā)生抖振，如圖3所示軌控發(fā)動機頻繁開啟；本節(jié)在定理2制導(dǎo)律中加入定理3的滯環(huán)控制開關(guān)進行仿真。仿真初始條件不變，軌控發(fā)動機推力為 400 N，目標加速度 at，LOS，n，ε= -4 m/s2和 at，LOS，n，β=-3 m/s2，發(fā)動機推力采用1階慣性環(huán)節(jié)描述，時間常數(shù)T=2 ms，純延時時間Td=2 ms，邊界層δ=0.005，仿真結(jié)果如圖6～圖8所示。

圖6　開關(guān)門限變化曲線Fig.6 Variation of switching threshold

圖7　俯仰通道參數(shù)變化Fig.7 Variation of pitching channel parameters

圖8 偏航通道參數(shù)變化Fig.8 Variation of yaw channel parameters

圖6是俯仰和偏航通道的關(guān)閉和開啟門限變化曲線。此時俯仰視線角速率ε為負，只給出俯仰通道負的關(guān)閉和開啟門限和δ；偏航視線角速率β為正，只給出偏航通道正的關(guān)閉和開啟門限 δ和δ.由于目標機動，門限不具有對稱性；隨著末制導(dǎo)時間增加，相對距離R（t）減小，開啟和關(guān)閉門限前期變化較小，最后關(guān)閉門限迅速發(fā)散，開啟門限迅速收斂。

圖7和圖8仿真結(jié)果為俯仰和偏航通道的視線角速率和推力加速度的變化曲線。視線角速率在關(guān)閉和開啟門限內(nèi)變化，在軌控發(fā)動機工作后，有限時間收斂到關(guān)閉門限，即不發(fā)散，也不抖振。軌控發(fā)動機在視線角速率收斂到關(guān)閉門限后關(guān)閉，避免了抖振；在視線角速率發(fā)散到開啟門限后才開啟，節(jié)省燃料。仿真結(jié)果脫靶量為0.004 9 m，燃料消耗為1.799 5 kg.滯環(huán)控制開關(guān)在不影響有限時間收斂和制導(dǎo)精度的條件下，去除了抖振，避免了發(fā)動機頻繁開啟，節(jié)省了燃料。

4　結(jié)論

針對動能攔截器攔截臨近空間高速機動目標，本文設(shè)計了控制量受限的有限時間收斂制導(dǎo)律，給出了收斂條件，并采用滯環(huán)控制開關(guān)去除了系統(tǒng)抖振，提高了制導(dǎo)性能。基于有限時間理論能夠保證視線角速率在制導(dǎo)結(jié)束前的有限時間內(nèi)收斂到期望值，且滑模控制對目標機動干擾具有魯棒性，視線角速率始終保持在較小范圍內(nèi)變化，實現(xiàn)準平行接近，具有較高的制導(dǎo)精度。采用滯環(huán)控制開關(guān)去除系統(tǒng)抖振，克服了飽和函數(shù)法參數(shù)經(jīng)驗取值問題，關(guān)閉和開啟門限保證視線角速率在其范圍內(nèi)有界變化，去除了抖振。此外，滯環(huán)控制開關(guān)解決了發(fā)動機頻繁開關(guān)問題，最大限度減少了燃料消耗，門限參數(shù)易于選取，制導(dǎo)律結(jié)構(gòu)簡單，便于工程應(yīng)用。

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中圖分類號：TJ765

文獻標志碼：A

文章編號：1000-1093（2016）06-1030-08

DOI：10.3969/j.issn.1000-1093.2016.06.009

收稿日期：2015-12-11

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（61174203）

作者簡介：段美君（1987—），男，博士研究生。E-mail：richie_dmj@126.com；周荻（1969—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：zhoud@hit.edu.cn

A Guidance Law with Finite Time under Control Variable Constraint

DUAN Mei-jun，ZHOU Di

（School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，Heilongjiang，China）

Abstract：Based on control theory with finite time convergence，the finite time convergence condition of Bang-Bang sliding-mode guidance law and a hysteresis control switch are proposed for the problem of that a kinetic kill vehicle intercepts a supersonic maneuvering target in near space.The condition of finite time convergence of the sliding-mode guidance law against maneuvering target under control variable constraint is presented based on the principle of nullifying the line-of-sight angular rate.Both planar guidance law and three-dimensional guidance law are designed.The upper and lower thresholds of hysteresis control switch are obtained to eliminate the chattering of line-of-sight angular rate.Simulation results show that the proposed guidance law ensures the finite time convergence of line-of-sight angular rate，and has higher guidance accuracy and robustness to high speed maneuvering target.The hysteresis control switch can remove the chattering of line-of-sight angular rate effectively.

Key words：control science and technology；sliding-mode guidance law；finite time convergence；control variable constraint；hysteresis control switch