◇　江蘇　劉智娟

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淺談利用導數(shù)解決方程問題

◇江蘇劉智娟

導數(shù)是解決函數(shù)零點、最值問題的重要的工具，方程根的問題通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題處理，因此可借助導數(shù)來處理，下面舉例說明.

1利用導數(shù)判斷方程根的個數(shù)

分析判斷某區(qū)間內(nèi)方程根的個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù),此時先利用導數(shù)判斷函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性,再利用零點存在性定理或數(shù)形結(jié)合的思想,求出方程在區(qū)間上根的個數(shù).

當a<0時,因為x>0,所以f′(x)>0恒成立,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù). 又因為x→0,f(x)→-∞;x→+∞,f(x)→+∞,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有且只有1個零點.

當a>0時,令f′(x)>0,解得x>a,所以函數(shù)f(x)在(0,a)上是單調(diào)減函數(shù),在(a,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),所以

fmin(x)=f(a)=a-alna=a(1-lna).

當a(1-lna)>0時,即0

當a(1-lna)=0時,即a=e,此時函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有且只有1個零點.

當a(1-lna)<0時,即a>e,此時函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有2個零點.

解法2原方程解的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為方程alnx=x的解的個數(shù),即g(x)=alnx的圖象與直線y=x的圖象交點的個數(shù),當a=0時,原方程無正實數(shù)根.

圖1

當a<0時,2個函數(shù)的圖象有1個交點,原方程有1個實數(shù)根(如圖1所示);當a>0、直線y=x與g(x)=alnx相切時,設切點為

(x0,alnx0).

圖2

當a>e時,根據(jù)函數(shù)h(x)=alnx的圖象的特征知,2個函數(shù)的圖象有2個交點,原方程有2個實數(shù)根; 當0

又因為x≠1,所以h(x)在(0,1)、(1,e)上均為減函數(shù),在(e,+∞)上是增函數(shù).

圖3

當x∈(0,1)時,x→0,g(x)→+∞;x→1,g(x)→-∞, 當x∈(1,+∞)時,x→1,g(x)→+∞,g(e)=e,x→+∞,g(x)→+∞,(如圖3所示)

當a>e時,2個函數(shù)的圖象有2個交點;當a=e或a<0時,2個函數(shù)的圖象有1個交點;當0≤a

2已知方程有解,利用導數(shù)求參數(shù)范圍

分析利用函數(shù)與方程思想,將方程在區(qū)間上有解問題,轉(zhuǎn)化為2個函數(shù)圖象有交點,此時根據(jù)例1的3種解法,求解參數(shù)的取值范圍.

當a≤1時,因為x∈(1,+∞),所以f′(x)>0恒成立,所以f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),所以f(x)>f(1)=1>0,f(x)=x-alnx在(1,+∞)上的圖象與x軸沒有交點,此時方程x-alnx=0在區(qū)間(1,+∞)上無解.

解法2設函數(shù)g(x)=alnx,x∈[1,+∞)的圖象與y=x的圖象有交點,根據(jù)例1解法2知,當a≥e時,2個函數(shù)的圖象有交點,所以實數(shù)a的取值范圍是[e,+∞).

當已知方程在某區(qū)間上有幾個解,求參數(shù)的取值范圍,常常利用方法2,即利用函數(shù)與方程、變量分離和等價轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為2個函數(shù)有幾個交點,從而求出參數(shù)的取值范圍.

變式已知方程x-alnx=0在區(qū)間(1,+∞)上有2個不相等的實數(shù)解.求實數(shù)a的取值范圍.

答案: (e,+∞).

(作者單位：江蘇省大豐高級中學)