高文武

(1. 安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，合肥 230411；2. 復(fù)旦大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200433)

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基于導(dǎo)數(shù)信息的Multiquadric擬插值

高文武1，2

(1. 安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，合肥 230411；2. 復(fù)旦大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200433)

摘要：為了使MQ擬插值能夠更好地處理泛函信息的擬合問題，運(yùn)用擬插值理論、數(shù)值逼近理論，研究了基于導(dǎo)數(shù)信息的MQ擬插值的構(gòu)造理論及其性質(zhì).通過本文的研究，構(gòu)造了一類基于導(dǎo)數(shù)信息的MQ擬插值格式并討論了它的收斂性及保形性，為MQ擬插值在幾何造型、微分方程數(shù)值解、構(gòu)造動(dòng)態(tài)輪廓線等領(lǐng)域的應(yīng)用提供了理論依據(jù).

關(guān)鍵詞：MQ擬插值； 導(dǎo)數(shù)信息； 保形性； 收斂性

擬插值是數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域一個(gè)重要的工具，它的一個(gè)最大優(yōu)點(diǎn)在于不需要求解大型線性方程組就能直接給出逼近函數(shù).在擬插值的研究和應(yīng)用中，MQ(Multiquadric)擬插值受到了更多的親睞.Buhmann[1]討論了MQ擬插值的收斂性問題.Powell[2]討論了具有線性多項(xiàng)式再生的MQ擬插值格式.Beatson和Powell[3]分別通過對定義在有界區(qū)間的被逼函數(shù)進(jìn)行常數(shù)延拓、線性延拓的辦法構(gòu)造了3種定義在有界區(qū)間上的MQ擬插值格式LA、LB和LC，并給出了相應(yīng)的誤差估計(jì).Wu和Schaback[4]對LC進(jìn)行了改進(jìn)，構(gòu)造了一種不需要端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)信息的擬插值算子LD，并研究了這4種算子的性質(zhì).Beatson甚至將MQ擬插值應(yīng)用到電影“指環(huán)王Ⅲ”的場景設(shè)計(jì)中去.另外，Beatson和Dyn[5]從理論上系統(tǒng)地研究了MQ B-樣條的一些性質(zhì)以及MQ B-樣條擬插值格式的構(gòu)造方法.

最近，Ma和Wu[6]給出了MQ擬插值對高階導(dǎo)數(shù)逼近階的估計(jì)和最佳形狀參數(shù)的選取準(zhǔn)則.Ma和Wu[7]還研究了MQ擬插值逼近高階導(dǎo)數(shù)的穩(wěn)定性，從理論上證明了用MQ擬插值來逼近高階導(dǎo)數(shù)要比用高階差商逼近高階導(dǎo)數(shù)更穩(wěn)定.

但是，以往對MQ擬插值的討論都是針對采樣信息是離散函數(shù)值的情形.在一些場合，我們可能會較容易獲得被逼函數(shù)的離散導(dǎo)數(shù)值(例如方程數(shù)值解、地震數(shù)據(jù)、遙感數(shù)據(jù)等).因而，為了使得MQ擬插值能夠應(yīng)用到更多的領(lǐng)域，非常有必要討論針對離散導(dǎo)數(shù)值的MQ擬插值的構(gòu)造問題.

本文構(gòu)造一個(gè)基于離散導(dǎo)數(shù)信息的MQ擬插值格式并給出該格式的誤差估計(jì).另外，本文還證明了構(gòu)造的擬插值具有保單調(diào)性、保凸性.這些性質(zhì)為該擬插值應(yīng)用在幾何造型、構(gòu)造動(dòng)態(tài)輪廓線等領(lǐng)域提供了理論依據(jù).

1MQ擬插值

本節(jié)介紹MQ擬插值的一些基本知識.

這里c為一個(gè)正的形狀參數(shù).給定采樣信息{(xj，f(xj))}j∈，{xj}為定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的嚴(yán)格單調(diào)遞增序列，則MQ擬插值的一般形式為

由于在實(shí)際應(yīng)用中，采樣信息通常來自于某個(gè)有界的區(qū)間.因此，Beatson和Powell[3]首先構(gòu)造了定義在有界區(qū)間[x0，xN]的MQ擬插值.隨后，Wu和Schaback[4]對文獻(xiàn)[3]的結(jié)果進(jìn)行了改進(jìn)并討論了MQ擬插值的收斂性和保形性.

Wu和Schaback[4]構(gòu)造擬插值算子LD為

這里

對于這個(gè)擬插值算子，它的誤差估計(jì)有如下引理.

引理1[4]對于f(x)∈C2[x0，xN]，存在與h及c無關(guān)的常數(shù)K1，K2，K3，使得擬插值LDf(x)的誤差滿足

‖LDf-f‖∞≤K1h2+K2ch+K3c2|lgh|.

進(jìn)一步，當(dāng)取形狀參數(shù)c2|lgh|=O(h2)時(shí)‖LDf-f‖∞≤O(h2)；當(dāng)c=O(h)時(shí)，‖LDf-f‖∞≤O(h2|lgh|).

而且，這個(gè)擬插值還具有保單調(diào)性和保凸性.

但是，以往對MQ擬插值的研究都是針對采用信息是離散函數(shù)值的情況，限制了MQ擬插值的應(yīng)用范圍.為了使MQ擬插值有更廣泛地應(yīng)用，下節(jié)將構(gòu)造一個(gè)針對離散導(dǎo)數(shù)值的MQ擬插值格式.

2基于導(dǎo)數(shù)信息的MQ擬插值的構(gòu)造及性質(zhì)

-∞=…=xj-1

下面，我們將從Qf′(x)出發(fā)，構(gòu)造f(x)的MQ擬插值.

由于Qf′(x)是f′(x)的一個(gè)擬插值算子，所以

是f(x)的一個(gè)逼近函數(shù).為了得到f*(x)的表達(dá)式，將Qf′(x)改寫成

這里的二階差商是關(guān)于自變量y進(jìn)行的.從而有

于是，令

(1)

這里

更進(jìn)一步，有下面的引理成立.

引理4如果函數(shù)f(x)∈C()且滿足|f′(x)|≤M|x|2-ε，這里M為任意的正數(shù)，ε為任意小的正數(shù)，則和式(1)絕對收斂.

證只需要證明和式

絕對收斂.連續(xù)利用兩次中值定理得

這里

ξj∈(x-xj+1，x-xj-1).

又因?yàn)楫?dāng)ξj趨于無窮大時(shí)，

φ″(ξj)=O(|ξj|-3)，

所以引理成立.

定理1記f(x)∈C3()且滿足引理4的條件，則擬插值格式(1)的誤差估計(jì)為

證由引理1有

‖Qf′-f′‖∞≤(K1h2+K2ch+K3c2|lgh|).

又因?yàn)?/p>

|Qf′(x)-f′(x)|≤‖Qf′-f′‖∞≤(K1h2+K2ch+K3c2|lgh|)，

所以定理成立.

下面，研究這個(gè)擬插值格式的一些性質(zhì).

對擬插值格式(1)兩邊求導(dǎo)得

由于

以及

所以不等式組

-1<φ′(x-xm)<φ′(x-xk)<1

對所有的m>k恒成立.特別地，

-1<φ′(x-xj+1)<φ′(x-xj-1)<1.

這樣就得到下面的定理.

定理2如果數(shù)據(jù)信息{f′(xj)}j∈以及)采自于一個(gè)單調(diào)函數(shù)f(x)，那么，擬插值f(x)也是一個(gè)單調(diào)函數(shù).

定理3如果數(shù)據(jù){f′(xj)}j∈以及)采自于一個(gè)凸(凹、線性)函數(shù)，那么，擬插值f(x)也是一個(gè)凸(凹、線性)函數(shù).

所以有

又因?yàn)棣铡?x)>0，故定理成立.

下面討論定義在有界區(qū)間[a，b]上的擬插值的構(gòu)造問題.

2.2定義在有界區(qū)間[a，b]上的MQ擬插值的構(gòu)造及性質(zhì)

這樣就得到了數(shù)據(jù){f′(xj)}j∈以及).顯然′(x)滿足引理4的條件，應(yīng)用上面的擬插值格式有

(2)

經(jīng)過一些簡單的推導(dǎo)可以得到

(3)

證對擬插值格式(3)兩邊同時(shí)求導(dǎo)得

由于φ′(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增且-1<φ′(x)<1，因此有

證將擬插值格式(3)改寫成

對此等式兩端同時(shí)求二階導(dǎo)數(shù)有

又由于φ″(x)>0，所以定理成立.

注2這里僅討論f(x)線性延拓的情況，感興趣的讀者可以討論用其他的延拓方法來構(gòu)造定義在有界區(qū)間上的擬插值格式.

注3還可以從2k-1階的MQ函數(shù)

出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)基于k階導(dǎo)數(shù)信息的擬插值格式.

3結(jié)論

利用MQ函數(shù)，本文構(gòu)造了一個(gè)基于離散導(dǎo)數(shù)信息的MQ擬插值格式.它解決了經(jīng)典的MQ擬插值只能針對離散函數(shù)值的缺陷，拓寬了MQ擬插值的研究和應(yīng)用領(lǐng)域.另外，本文還推導(dǎo)出這個(gè)擬插值的誤差估計(jì)和保單調(diào)性、保凸性等性質(zhì)，為MQ擬插值在方程數(shù)值解、幾何造型等領(lǐng)域的應(yīng)用提供了理論依據(jù).

參考文獻(xiàn)：

[1]BUHMANN M. Convergence of univariate quasi-interpolation using multiquadrics [J].IMAJNumerAnal， 1988，8： 365-383.

[2]POWELL M. Univariate multiquadric approximation： Reproduction of linear polynomial [M]∥Multivariate approximation and interpolation. Basel： Birkhauser Verlag， 1990： 227-240.

[3]BEATSON R， POWELL M. Univariate multiquadric approximation： Quasi-interpolation to scattered data [J].ConstrApprox， 1992，8： 275-288.

[4]WU Z M， SCHABACK R. Shape preserving properties and convergence of univariate multiquadric quasi-interpolation [J].ActaMathApplSinica， 1994，10： 441-446.

[5]BEATSON R， DYN N. Multiquadric B-splines [J].JApproxTheory， 1996，87： 1-24.

[6]MA L M， WU Z M. Approximation to thek-th derivatives by multiquadric quasi-intepolation method [J].JComputApplMath， 2009，2： 925-932.

[7]MA L M， WU Z M. Stability of multiquadric quasi-interpolation to approximate high order derivatives [J].SciChinMath， 2010，53： 985-992.

[8]HARDY R. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces [J].JGeophRes， 1971，76： 1905-1915.

文章編號：0427-7104(2016)03-0298-06

收稿日期：2014-04-08

基金項(xiàng)目：上海市現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金(12DZ 2272800)

作者簡介：高文武(1981—)，男，博士，E-mail： 09110180027@fudan.edu.cn.

中圖分類號：O 174.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

MQ Quasi-interpolation for Derivative Data

GAO Wenwu1，2

(1.SchoolofEconomics，AnhuiUniversity，Hefei230411，China；2.SchoolofMathematicalSciences，F(xiàn)udanUniversity，Shanghai200433，China)

Abstract：For better applications of MQ(Multiquadric) quasi-interpolation in dealing with linear functional data fitting problems， the paper studies construction and properties of MQ quasi-interpolation for derivative data with the theories of classical quasi-interpolation and numerical approximation. A quasi-interpolation scheme for derivative data is constructed in the paper. Moreover， convergence and shape preserving properties of the quasi-interpolation are also derived. The paper provides a theoretical background of MQ quasi-interpolation for applications in geometric modeling， numerical solution of differential equations， construction of active contours and so forth.

Keywords：MQ quasi-interpolation； derivative data； shape preserving properties； convergence