連德忠，謝錦山，吳敏麗，袁　飛

(1. 龍巖學(xué)院 信息工程學(xué)院，龍巖 364000； 2. 廈門大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廈門 361005)

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四元數(shù)方程AXB+CYD=E通解中復(fù)矩陣分量極秩

連德忠1，謝錦山1，吳敏麗1，袁飛2

(1. 龍巖學(xué)院 信息工程學(xué)院，龍巖 364000； 2. 廈門大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廈門 361005)

摘要：借助四元數(shù)矩陣的復(fù)表示方式Φ(·)，將四元數(shù)體上的線性矩陣方程AXB+CYD=E轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)域上的等價復(fù)矩陣方程Φ(D)=Φ(E).同時，利用該復(fù)矩陣方程的通解和分塊矩陣的極秩性質(zhì)，求出原四元數(shù)矩陣方程通解中復(fù)矩陣分量集{X0}、{X1}、{Y0}和{Y1}的最大秩、最小秩公式.作為這些極秩公式的應(yīng)用，推導(dǎo)出了該四元數(shù)矩陣方程通解中包含復(fù)矩陣解或全為復(fù)矩陣解的充要條件.

關(guān)鍵詞：四元數(shù)； 矩陣方程； 復(fù)表示； 分塊矩陣； 極秩

在四元數(shù)代數(shù)理論中，有關(guān)四元數(shù)矩陣方程通解及其最大秩、最小秩問題，是近年來國內(nèi)外學(xué)者比較關(guān)注的熱門課題[1-4].由于四元數(shù)之間的乘積不可交換，造成四元數(shù)體上矩陣之間的運算比復(fù)數(shù)域上矩陣之間的運算要復(fù)雜得多，例如復(fù)矩陣常見的基本性質(zhì)

本文將借助四元數(shù)矩陣的復(fù)表示，探討四元數(shù)體上常見的一類線性矩陣方程

AXB+CYD=E

(1)

的可解性和通解中的復(fù)矩陣分量集的最大秩、最小秩問題，其中，四元數(shù)矩陣A、B、C、D、E已知.

A=A00+A01i+A10j+A11k∈Hm×p(A00，A01，A10，A11∈m×p)，

記

A00+A01i=A0∈Cm×p，A10+A11i=A1∈Cm×p，

那么

A=A00+A01i+A10j+A11ij=A00+A01i+(A10+A11i)j=A0+A1j(A0，A1∈Cm×p).

同理，四元數(shù)矩陣B、C、D、E，四元數(shù)變量矩陣X、Y也可以這樣表示.因此，對于每一個四元數(shù)矩陣，都可以引進(jìn)一種等價的復(fù)矩陣Φ(·)表示，借助這種復(fù)表示，可將矩陣方程(1)轉(zhuǎn)換為等價的復(fù)矩陣方程，而該方程的復(fù)矩陣解又可以等價映射為矩陣方程(1)的四元數(shù)矩陣解.

本文用I代表特定階數(shù)的單位矩陣，分別用R(A)和N(A)表示四元數(shù)矩陣A的列右空間和行左空間.由文獻(xiàn)[1]可知，dimR(A)=dimN(A)，故將dimR(A)或dimN(A)稱為A的秩，并記為r(A).另外，本文沿用A+代表A的莫菲(Moore-Penrose)逆，本文用LA=I-A+A和RA=I-AA+代表由A誘導(dǎo)出的兩個算子.

1方程(1)的解集中復(fù)矩陣分量極秩

定義1[5-6]對于實四元數(shù)體上的任意一個矩陣M=M0+M1j，(M0，M1∈Cm×n)，定義

為矩陣M的復(fù)表示矩陣.

依照定義1，不難驗證四元數(shù)矩陣的復(fù)表示矩陣具有以下性質(zhì).

引理1[5-6]對于任意矩陣M、N∈Hm×n，

(a) M=N?Φ(M)=Φ(N)；

(b)Φ(M+N)=Φ(M)+Φ(N)，Φ(MN)=Φ(M)Φ(N)，Φ(kM)=kΦ(M)(k∈)；

(d) r[Φ(M)]=2r(M)；

(e) [Φ(MH)]=[Φ(M)]H.

引理2[5-6]對于任意矩陣M∈Hm×n，

(a) [Φ(M+)]=[Φ(M)]+；

(b)Φ(RM)=RΦ(M)，Φ(LM)=LΦ(M).

引理3對于任意復(fù)矩陣Y∈C2m×2n，存在唯一一個四元數(shù)矩陣X∈Hm×n，滿足

下面介紹類似于方程(1)的復(fù)矩陣方程有解的充要條件，文獻(xiàn)[3]中的相關(guān)結(jié)論在復(fù)數(shù)域上自然成立.

那么復(fù)矩陣方程

(2)

有解的充要條件為

其通解可表示為

本文還用到下列有關(guān)分塊矩陣秩的引理.

引理5[7-8]設(shè)復(fù)矩陣A∈Cm×n、B∈Cm×k、C∈Cl×n、D∈Cj×k、E∈Cl×i，那么它們滿足：

引理6[7-8]假設(shè)復(fù)矩陣A∈Cm×n、B1∈Cm×p1、B2∈Cm×p2、C1∈Cq1×n、C2∈Cq2×n都已知，那么

下面，我們考察四元數(shù)矩陣方程(1)中的復(fù)矩陣解集極秩.

定理1(a) 設(shè)四元數(shù)矩陣A=A0+A1j∈Hm×p、B=B0+B1j∈Hq×m、C=C0+C1j∈Hm×s、D=D0+D1j∈Ht×n、E=E0+E1j∈Hm×n都已知，那么四元數(shù)矩陣方程(1)可解的充要條件是復(fù)矩陣方程

(3)

可解；

(b) 如果四元數(shù)矩陣方程(1)可解，記

那么

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

證(a)如果四元數(shù)矩陣方程(1)有一對四元數(shù)矩陣特解{X0，Y0}，那么{X0，Y0}滿足方程(1)，對該等式兩邊都取四元數(shù)矩陣實表示，可得

Φ(A)Φ(X0)Φ(B)+Φ(C)Φ(Y0)Φ(D)=Φ(E).

根據(jù)引理1中的性質(zhì)(c)，可知

即{X0，Y0}就是四元數(shù)矩陣方程(1)的一對特解.

(b) 假設(shè)四元數(shù)矩陣方程(1)有一對特解{X0，Y0}，那么復(fù)矩陣方程(3)至少有一對特解{Φ(X0)，Φ(Y0)}.根據(jù)引理4可知復(fù)矩陣方程(3)的通解為

其中：U∈C2s×2t、V∈C2p×2q、W∈C2p×2q、Z∈C2s×2t、K∈C2s×2t，U、V、W、Z、K為任意復(fù)矩陣.

根據(jù)引理2的性質(zhì)可知，

LΦ(A)=Φ(LA)，RΦ(B)=Φ(RB)，

因此，復(fù)矩陣方程(3)的通解可表示為：

設(shè)

由引理3可知

又記

那么

利用引理1的性質(zhì)(c)，可得

而

即

因此

令

上述各分塊矩陣的秩均可按引理5進(jìn)行化簡，其中：

由

MLM=0=RACLM，RNN=0=RNDLB，

可得

AA+CLM=CLM，RNDB+B=RND.

因此

Φ(A)Φ(A+CLM)=Φ(CLM)=Φ(C)LΦ(M)，Φ(RNDB+)Φ(B)=Φ(RND)=RΦ(N)Φ(D).

上述分塊矩陣的秩等于

同樣的方法可推導(dǎo)出其他分塊矩陣的秩：

根據(jù)上述結(jié)論可證明極秩等式(4)和(5)成立.

用類似的方法可以證明，極秩等式(6)～(11)也成立.

2復(fù)矩陣分量極秩的應(yīng)用

借助定理1，不難判斷四元數(shù)矩陣方程(1)是否包含復(fù)矩陣解、方程(1)的通解是否全為復(fù)矩陣解.

(12)

(13)

(b) 如果四元數(shù)矩陣方程(1)可解，那么方程(1)所有的解均為復(fù)矩陣的充要條件是下列兩個秩等式同時成立：

(14)

(15)

四元數(shù)矩陣方程(1)所有的解均為復(fù)矩陣的充要條件是

由定理1中的極秩等式(6)、(7)、(10)、(11)不難推導(dǎo)出等式(12)～(15).

參考文獻(xiàn)：

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[10]連德忠，袁飛.四元數(shù)方程AXAH=B厄米特解中的復(fù)矩陣極秩 [J].廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，53(3)： 305-309.

文章編號：0427-7104(2016)03-0288-10

收稿日期：2015-02-09

基金項目：國家自然科學(xué)基金(10271099)；福建省科技廳自然科學(xué)基金(2015J05010)；福建省教育廳科技A類重點項目(JA14299)；龍巖學(xué)院國家基金培育項目(LG2014001)；龍巖學(xué)院博士科研啟動基金(LB2014018)

作者簡介：連德忠(1963—)，男，副教授，E-mail： liandezhong@163.com.

中圖分類號：O 151.23

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Extremal Ranks of Complex Components in General Solutions of Quaternion Equation AXB+CYD=E

LIAN Dezhong1， XIE Jinshan1， WU Minli1， YUAN Fei2

(1.CollegeofInformationEngineering，LongyanUniversity，Longyan364000，China；2.SchoolofMathematicalSciences，XiamenUniversity，Xiamen361005，China)

Abstract：By using a complex representation of quaternion matrix Φ(·)， the linear matrix equation AXB+CYD=E over quaternion field is changed into the matrix equation Φ(D)=Φ(E) over complex field. According to the general solutions of this complex matrix equation and many properties about extremal ranks of block matrix， the maximal and minimal ranks of complex matrices {X0}，{X1}，{Y0}，{Y1} are formulated. These complex matrices are the complex components of the general solutions {X=X0+X1j，Y=Y0+Y1j} of the quaternion matrix equation. As an application， we give the necessary and sufficient conditions for these special cases： (a) There is at least a pair of complex matrices0} in the general solutions of the quaternion matrix equation；(b) All matrices in the general solutions of the quaternion matrix equation are complex.

Keywords：quaternion； matrix equations； complex representation； block matrix； extremal ranks